三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题04导数及其应用（解答题）文（含解析）.docx

专题04 导数及其应用（解答题）1【2019年高考全国卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax0，故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2【2019年高考全国卷文数】已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）的定义域为（0，+）.因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，故存在唯一，使得.又当时，单调递减；当时，单调递增.因此，存在唯一的极值点.（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3【2019年高考天津文数】设函数，其中.（）若a0，讨论的单调性；（）若，（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】（）在内单调递增.；（）（i）见解析；（ii）见解析.【解析】（）解：由已知，的定义域为，且.因此当a0时，从而，所以在内单调递增.（）证明：（i）由（）知.令，由，可知在内单调递减，又，且.故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，所以在内单调递增；当时，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，故在内单调递减，从而当时，所以.从而，又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，即从而，即.因为当时，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.4【2019年高考全国卷文数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当0a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在0,1的最小值为，最大值为或.于是，所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是当时，单调递增，所以的取值范围是综上，的取值范围是【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5【2019年高考北京文数】已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值【答案】（）与；（）见解析；（）.【解析】（）由得令，即，得或又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与（）令由得令得或的情况如下：所以的最小值为，最大值为故，即（）由（）知，当时，；当时，；当时，综上，当最小时，【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围注：e=2.71828为自然对数的底数【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】（1）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（2）由，得当时，等价于令，则设，则（i）当时，则记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，因此，（ii）当时，令，则，故在上单调递增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有综上所述，所求a的取值范围是【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用7【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下：+00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力8【2018年高考全国卷文数】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因此【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，令，求出的最小值即可证明.9【2018年高考全国卷文数】已知函数（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【答案】（1）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增；（2）见解析.【解析】（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex由题设知，f （2）=0，所以a=从而f（x）=，f （x）=当0x2时，f （x）2时，f （x）0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当a时，f（x）设g（x）=，则当0x1时，g（x）1时，g（x）0所以x=1是g（x）的最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当时，【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.10【2018年高考全国卷文数】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【答案】（1）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减；（2）见解析.【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f（x）=令f（x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f（x）0；当x（，）时，f（x）0（或f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0a1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a1时，=0，解得x1=，x2=易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=0g(x)的极小值g(x2)=g()=若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.13【2018年高考浙江】已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【答案】（）见解析；（）见解析.【解析】（）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）0+24ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.14【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为1600（cossincos）平方米，sin的取值范围是，1；（2）当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=，故OE=40cos，EC=40sin，则矩形ABCD的面积为240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP的面积为240cos（4040sin）=1600（cossincos）过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10令GOK=0，则sin0=，0（0，）当0，时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是，1答：矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为1600（cossincos）平方米，sin的取值范围是，1（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，设f（）=sincos+cos，0，则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.15【2018年高考江苏】记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得令，则b0函数，则由f（x）=g（x）且f（x）=g（x），得，即，（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.16【2017年高考全国卷文数】已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）【解析】（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增（2）若，则，所以若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时综上，的取值范围为【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值17【2017年高考全国卷文数】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）在和单调递减，在单调递增；（2）. 【解析】（1）.令得.当时，；当时，；当时，.所以在和单调递减，在单调递增.（2）.当a1时，设函数h(x)=（1x）ex，h(x)= xex0（x0），因此h(x)在0，+)单调递减，而h(0)=1，故h(x)1，所以f(x)=（x+1）h(x)x+1ax+1.当0a1时，设函数g（x）=exx1，g（x）=ex10（x0），所以g（x）在0，+)单调递增，而g(0)=0，故exx+1.当0x1时，取，则.当时，取则.综上，a的取值范围是1，+）.【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.18【2017年高考全国卷文数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当a0时，证明【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）详见解析【解析】（1）的定义域为（0，+），.若，则当时，故在（0，+）单调递增.若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设，则.当时，；当x（1，+）时，.所以在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x0时，.从而当a0时，即.【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19【2017年高考浙江】已知函数f(x)=（x）（）（1）求f(x)的导函数；（2）求f(x)在区间上的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以（2）由，解得或因为x（，1）1（1，）（，）0+0f（x）0又，所以f（x）在区间上的取值范围是【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值20【2017年高考北京文数】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（）；（）最大值为1；最小值为.【解析】（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.21【2017年高考天津文数】设，已知函数，（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围【答案】（）递增区间为，递减区间为；（）（）见解析，（）【解析】（）由，可得，令，解得或由，得当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为（）（i）因为，由题意知，所以，解得所以，在处的导数等于0（ii）因为，由，可得又因为，故为的极大值点，由（）知另一方面，由于，故，由（）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立由，得，令，所以，令，解得（舍去），或因为，故的值域为所以，的取值范围是【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求的取值范围的关键是得出，然后构造函数进行求解22【2017年高考山东文数】已知函数.（）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；（）设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（）,（）见解析.【解析】（）由题意，所以，当时，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（）因为，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2