2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第5讲定积分与微积分基本定理教案理（含解析）新人教A版.docx

第5讲定积分与微积分基本定理基础知识整合1定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)1定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零2函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.1已知t是常数，若(2x2)dx8，则t()A1B2C2或4D4答案D解析由(2x2)dx8得，(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)2(2019南昌模拟)若dx3ln 2(a1)，则a的值是()A2B3 C4D6答案A解析由题意可知dx(x2ln x)a2ln a13ln 2，解得a2.3直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B2 C. D.答案C解析由已知得l：y1，解方程组得交点坐标为(2，1)，(2,1)如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S2dx22.4(2019海南模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则6f(x)dx等于()A0B4 C8D16答案D解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，所以对应的面积相等，即f(x)dxf(x)dx，故所求为8216.5(2019南昌模拟)设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_答案解析f(x)dxx2dxdxx3ln xln e.6若 (sinxmcosx)dxm，则实数m_.答案解析 (sinxmcosx)dx(cosxmsinx) (0m)(10)m，解得m.核心考向突破考向一定积分的计算例1计算下列定积分：(1) (3x22x1)dx；(2)dx；(3)|1x|dx；(4)dx.解(1) (3x22x1)dx(x3x2x)|24.(2)因为(ln x)，所以dx2dx2ln x|2(ln 2ln 1)2ln 2.(3)若1x0，则x1，若1x0，则x1，于是|1x|dx(1x)dx(x1)dx|1.(4)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x1)2y21的面积的，故dx.触类旁通求定积分时应注意的几点(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限即时训练1.计算下列定积分：(1)dx；(2)(2xex)dx；(3)cosxdx；(4)dx.解(1)y，x2y21，y0.dx几何意义为个圆的面积dx.(2)(2xex)dx(x2ex)|1e11e.(3)因为(sinx)cosx，所以cosxdxsinxsinsin00.(4)因为(x2)2x，所以dx2xdxdxx2|.考向二利用定积分求图形的面积角度求曲线围成平面图形的面积例2(2019榆林模拟)曲线ysinx与yx 围成的封闭图形的面积为()A1B2 C.D2答案B解析当x时，sin1，1，故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为，根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交点坐标为，故两曲线所围成的封闭图形的面积为2dx222.触类旁通求曲线围成平面图形面积的方法对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间即时训练2.由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_答案2解析如图所示，由yx210，得抛物线与x轴的交点分别为(1,0)和(1,0)所以S|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.角度已知曲线围成图形的面积求参数例3(2018合肥模拟)由曲线f(x)与y轴及直线ym(m0)围成的图形的面积为，则m的值为()A2B3 C1D8答案A解析由题知曲线f(x)与直线ym的交点为(m2，m)，则Sm3m3，解得m2.触类旁通已知曲线围成图形的面积求参数的方法已知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值即时训练3.已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于()A2B1 C3D4答案C解析由消去y得x2kx0，所以x0或xk，则阴影部分的面积为(kxx2)dx，即k3k3，解得k3.角度与概率的交汇问题例4如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y(x0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为()Aln 2B1ln 2C2ln 2D1ln 2答案D解析由得x.触类旁通与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算即时训练4.如图所示，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)sinx(x(0，)及直线xa(a(0，)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是()A. B. C. D.答案B解析阴影部分的面积为Ssinxdx(cosx)|cosa(cos0)1cosa.点落在阴影部分的概率为P，cosa，又a(0，)，a.故选B.考向三定积分在物理中的应用例5一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825ln C425ln 5D450ln 2答案C解析由v(t)0，得t4.故刹车距离为sv(t)dtdt|425ln 5.触类旁通定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)(v(t)0)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是即时训练5.列车以72 km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t.再根据v和t应用定积分求出路程已知列车速度v07