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第一章第一章 复变函数与解析函数复变函数与解析函数 习题习题 1.1.1 1.设是 z 复数，且z=1，求证 11 ( 2 z z =+) 是实数11 . 解: 11 () 2 z z =+= 1 * 2 1*1 ()() 22 zz zz z = + zx= 由 1z = 时，11x ， 11 2写出下列各复数的三角表示式和指数表示式： 3 (1)i 1 (2) i e + (3)13i (4)aib+ （5）1 cos sin,0i+ （6） 3 ( 3) i + （7） 2 1 i i + 解： （1）由 (2 2 ik ie )+ = ，0,1,2k = 3 i 2 () 63 22 cos()sin() 6363 ik eki k + =+ （2），因 1 (cos1sin1) ii eeeei + =+1= （3）13i= (3 ) 2 3 132 i i arctgk ee + += 2(cossin) 33 i = （4） 1 2 (arg2) 22 b ik a aibabe + +=+ 1 (arg) 224 2 b ik a ab e + =+ 224 11 cos(arg)sin(arg) 22 bb abkik aa =+ （5） 2 1 cossin2sin2sincossin 222 i iei 2 +=+ （6） 3 3 2 33 ( 3)111 ( 3)sin 888( 3) ( 3) i i iie ii 2 i += = + （7） 4 2 22(cossin 14 i i ei i ) 4 = + 3根据棣摩弗公式用sin和cos表示cos4和sin4 解：cossin(cossin )nnini+=+ 0 ! sincos !()! k n kn k k i n k nk = = 2 432 4!4!4! cos4sin4cossin cossincos 0!4!1!3!2!2! ii i 2 +=+ 34 34 4!4! sincossin 3!1!4!0! ii + 42242 (cos6sincossin)4cos sin (cossin)i 2 =+ 422 cos4cos6sincossin4=+ 22 sin44cos sin (cossin)= 4.求证 1 1 sin()sin 22 cos 2sin 2 n k n k = + = 1 1 cos()cos 22 sin 2sin 2 n k n k = + = 证 ： 利 用 等 比 级 数 前n项 求 和 公 式 1(1 ) 1 n n aq s q = 计 算 1 n ik k e = ， 并 将 欧 拉 公 式 cossin ik ekik =+ 代入，可得 11 (1) (cossin) 1 iin nn ik i kk ee kike e = += 分子母同乘（-1） 11 () 22 111 222 1 2 sin 2 ini iin iii eeee i eee + = i 11 cos()cossin()sin 2222 2sin2sin 22 nn i + = + 由两式实部与实部相等，虚部与虚部相等，即得证。 5已知反正切的主值范围为 cot 22 y ar x 00 0 22 22 00 00 0( )0 limlim nnpn np npnnpnnpnnpn npnnpnnpnnpn nn nn n zzzz zz xxxxyzz yxxyzz xy xxyy nz + + + + + = =N时，成立。由 （） （y） y（） （y） 根据微积分学中实数序列的科西判别法可知，必存在实数 和 ，使 ， 因而当时， 的极 000 limlim nnn nn zxiyxyz =+=+=限存在（） 10. .( 22 lim0 n nN = n nn n 1+i 试用 -N的语言证明序列（） 的极限为0。 2 1+i1 证任给 0，要使 （）-0，就要求（），在不等式两边 22 lnln 取对数整理后可得 n-今取N=-，当时 lnln 1+i 即可满足上述要求。按极限的定义，即有（） 2 ) 1 1 11. 1 21(4)1 2121 (5)(6)1 (21)(7)sincos 66 n nn nn ni nnn nn ini = = + += nnnnn nnnn 求下列序列的聚点和极限。 3+4i （1）z =（）（）z （ ）（3）zz （ ） 6 i1 z =z =n+(）z （1+ ）（8）z （1+） n2n ( ) 0lim0 11 2 limlim 22 lim0; lim0; (5)1, 6 , n nn n n n n n n n z z i z MNnNz = = = = nn nn 解(1)通过证明 z在的极限为 ，即得z （ ）z，z， 无极限 (3)仿照(1),同理可证 (4)仿照(1),同理可证 有四个聚点：，没有极限； 序列趋于无穷远点的几何意义是，任给以原点为中心，半径为 总可以找到一个当时 序列的复数均在该大圆之外 换句话 说，0,lim 13 (7)0,1 22 1 1lim1 lim1 2 n n nn zz = = 无穷远点就像点一样 不规定其辐角，故； 有七个聚点：， ，无极限，也没有上下极限(不是实数序列) (8)有四个聚点：， ，无极限， 习题习题 1.1.2， 1. 试在复平面上画出下述点集的位置。 (1) 2 1 Re() 2 z ; (2)0arg(1) 4 z 1 0 1 y 1 x 有移项， 即有即在 的 邻域内 2 22 22 9.( )1 00 ( )( ) 11,1,2 2 2 f zzz zz f zf zzzzz zzzzzzz zzzzzzzzzz z = = ，使 0 zz 时 000 ( )()f zf zzzzz= =+ = = + + + = + ? 实变二元函数的可微性定义是什么？设 试证明函数在（ ， ）点不可微。 证 设为二元函数，若 且当 =（） （）亦即（ ）是关于 的高阶无穷小量 ，则称 在可微，且称为在 22 2 22 2 22 ) ( , )( , ) 0 0(0,0)(0,0)(0,0) (0,0)(,)(0,0) (0,0)0(0,0)0 xy xy xy u dxu dyu x yu x y uuxuyxy xy uuxyu xy xy uuxy x + = + + = + =+ = 点的全微分， 记作du=用反证法证明函数不可微。假设函数 在（ ， ）可微，设（） （） （） 令一方面，综合上两式，并将 （） （） （） ，代入，有 （） （） （） 22 1 20 22 2 ( , )( , )(0,0) y x xyxx u x yu x y + = = （） 今取，有，当， 不趋向于 ， 违背可微的假设，即在不可微. 0 00 00 5. . ()( ) (, )(, ) ( , )( , ) ( )limlim (, )( , )(, )( , ) limlim zx xx f zx f zzf zu xx yiv xx yu x yiv x y fz zx u xx yu x yv xx yv x y i x = + = + =+ 已知（z）在点z可导，试分别计算 z平行于x轴及y轴趋于0时的极限值，并 由两者相等导出C-R条件。 解 （1）令 y=0, 即 00 00 (2) ()( ) ( ,)( ,) ( , )( , ) ( )limlim ( ,)( , )( ,)( , ) limlim zy yy uv i xxx xzi y f zzf zu x yyiv x yyu x yiv x y fz zx u x yyu x yv x yyv x yuv ii yyyy =+ = + = + =+= + 令=0, 即 两式联立，让等式两边实部与虚部分别相等即为 C-R条件。 习题习题 1.1.4 1 下列函数在何处满足C-R条件？ （1） 1 z =（2）x=（3） 2 z z=（4） z e=(5)wz= 解： （1） * 222 1zxi zx z = + y y ， 22 x xy = + 22 y xy = + 22222 22222 2 ()() x xyxyx xyxy + = = + 2 22 2 () y 2 xy xy = + 22 2 () x 2 xy xy = + 22222 22222 ()2 ()() y xyyyx xyxy 2 + = = + 显然，除外，0z = xy = ， yx = ，满足C-R条件当0z =时，偏导数不存在。 （2） ,0xx=1,0,0,0 xyxy ，= 故全平面处 不满足C-R条件 （3） 2 22 ()()z zxyxiy=+ 32 ，xxy=+， 23 x yy=+ 222 3,2,2, xyxy xyxyxyxy 2 3=+=+ 由 xy =得3 2222 3xyxy=+.x即y+= 1） 由 yx = 得22即xyxy= 0xy = 2） 将1）2）联立的。即只有0xy=0z =点满足C-R条件 （4）(cossin ) zx iyx eeeyiy + =+ cos x ey= sin x ey= cos ,sin ,sin ,cos xxx xyxy eyeyeye x y= =故在全平 面满足C-R条件 0 2 00 (,0)(0,0) (5)(0,0)lim ()0 limlim, x xx x x xx xx = = x uu 全平面处处不满足，即使在（0，0）点u 也没有确定的极限。 2.试求下列函数的导数。 （1） （2） 22 ( )(46)f zzz=+ 2 ( ) 1 z fz z = 解： （1） 22 ( )2(46)(24)4(46)(2f zzzzzzz=+=+ ) （2） 22 2(1)2 ( 1)2 ( ) (1)(1) zz fz zz = 3 ：证明在极坐标( , ) 中，C-R条件为： （1） 1 = （2） = 方 法 一 ： 由 直 角 坐 标 系 中 的 柯 西-黎 曼 条 件 出 发 ， 通 过 变 量 代 换 证 明 ， 由 cos ,sinxy=， 得 22 ,arctan y xy x =+= （1）cossin xy xyxy =+=+ 11 () xy xy =+ 1 (sin )cos ) xy =+ cossin yx = 由C-R条件, xyyx = 知 1 = (1)cossin xy xyxy =+=+ 1 (sin )cos xy ) = + cossin yx = + 由C-R条件, xyyx = = 知 1 = 方法二： 令, i ze = ii zei e =+? ( )( , )( , )f zi =+ （1）0=? i ze =? i=+? 0 ( )lim() i i i fzei e + = + ? ? ? 2）令0=? i zi e =? 0 1 ( )lim() i i ii fze i e + =+ ? ? ? 由于导数与的方式无关上两式应相等，取两式的实部与实部相等虚部与虚部相 0z ? 1 = 1 = 4., ( )( , )( , )( ,)( ,)( ,) ( ,)0 111 (),();, 222 ,( )( , )( , )( , zzx y f zu x yiv x yU z ziV z zF z z F z zCR z xy zzzyzz zz zzx yf zu x yiv x yU z z =+=+= = += =+= 以 及取代作为复变函数的独立变量，即令 证明与条件等价，此条件有何优越性。 证 利用z=x+iy及=x-iy得x= 以 及取代，得 1 2i )( ,)( ,) ( , )( ,)( ,)( ,), ( , )( ,)( ,)( ,)( ,) 11 0( ,)()() 22 1 ()( 22 iV z zF z z u x yu x z zz zU z z v x yv x z zz zV z zF z zz fxfyuvuv F z zii zxzyzxxiyy uviu xyy += = = =+=+ =+ 式中，y ，y求对的偏导，将上各式 代入得 2 ) ( )( ,) 1 ( ,)0(), 2 v x f zF z zz F z zzzzzz z = =+ 由上式实部和虚部分别为0，即得C-R条件； 反之亦然。这表明，若复变函数显含，必然导致 ，必不可导。例如，Rez=等等。 习题习题 1.1.5 1.试讨论下述函数是否解析 （1）（2） * zz 22 xiy=+（3）xyiy=+ 解： （1）()()2xiyxiyiy=+= 0,2y= 0,0,0,2 xyxy = 不满足C-R条件，不解析。 （2） 22 xiy=+ 22 ,xy= 2 ,0,0,2 xyxy xy= 仅于满足C-R条件，不解析。 0z = （3）xyiy=+ ,xyy= ,0, xyxy yx1= 仅于满足C-R条件，不解析。 0z = 2.证明下列函数是调和函数，并求与它相应的解析 函数( )f zui=+ v y= 。 （1）ue（2）cos x 22xyy=+（3）cosxshy= 2222 (4),( )1;(5),(0)0uxyxy f iivxxyf=+= += += 解： （1）ue cos x y= 22 22 coscos0 xx uu eyey xy += ，为调和函数 u 由C-R条件得：1）cos x u ey xy = 2）sin x u ey xy = = 将1）对y积分: cos( )sin( ) xx eydyg xeyg x=+=+ 将上式代入2）求 g(x) sin( )sin xx eyg xey+= ( )0, ( )g xg xc= ( )(cossin ) xz f zuieyiyiceic=+=+=+ (2) 22xyy=+ 22 22 0 xy += 为调和函数 由C-R条件得：1）22 u x xy =+ 2）2 u y xy = = 将1）对x积分: 2 (22)( )2( )uxdxg yxxg y=+=+ 将上式代入2）求 g(y) 2 ( )2 ,( )g yyg yyc= = + 22 2uxxy=+c 22 ( )(2)(22 )f zuixxycixyy=+=+ （3）cosxshy= 22 22 coscos0xshyxshy xy += += ,为调和函数 由C-R条件得： （1） cos u xchy xy = ， （2） sin u xshy xy = = 将（1）对x积分:cos( )sin( )uxchydxg yxchyg y=+=+ 将上式代入2）求 g(y)sin( )sinxshyg yxshy+= ( )0, ( )g yg yc= ( )sincosf zuixcixshy=+=+ 22 22 222 11 (4)(2) 22 11 ( , )2 22 1 ,( )( ,0)( ,0)(1) 22222 (5)cos2sin 2 xyxy CRdvv dxv dyu dxu dydxyxy v x yxyxyc iiii f zu ziv zzzz CR =+=+=+ =+ =+=+=+ += i 采用全微分法，由条件得 得利用f(i)=-1+i得x=0,y=1时v=1，由上式可求得 c=由此得 采用全微分法。由v=及条件，可得 2 11 cos,sin 2222 1 cossin( 2cos) 22222 2cos 2 ( )2cos2 sin22 22 (0)00( )2 i uvuv uduu du dddd uc f zuivceczc fcf zz = =+= =+ =+=+ +=+ =+ = 的全微分为 得 易见 将代入上式得，由此得 3.试 证明：若( )f z在区域D内解析，且满足下列条件之一时，则 ( )f z在内D为常数。 （1） 若Re( )f z=常数， 0,0 yx = 0, 0 ( , ) 0 () () x y x y dxdy yx 0 =+= (常数) ( )f zi=+=常 复数 若Im( )f z=常数 同理可证 （2）( )f z在内为常数 D 方法一： 设 22 ( )f zc=+= 1） 若，则0c = 22 0+=，即0,( )f z=为常数 2） 若，0c 22 c2+=，将此式分别对,x y求导 10 xx += 1 0 xy = 2 0 yx += 2 0 yy += 这是关于 x 及 y 的二元线性齐次方程组。 由于系树行列式 222 0c =+= 故 x 及 y 只有 零解，即 x = y =0 即=常数，由 22 c2+=（常数）知为常数 ( )f z =常数 方法二： 1) 若( )0f z （( )f z为常数，即点均不0） z 这时可利用结论3（1） ，作出函数( )ln( )zf z= 由于 arg( ) ( )ln( ) if z zf z e=ln( )arg( )f zif z=+ 即( ) z的实部为常数，由3（1）知( ) z为常数 故ln( )( )f zz= 为常数，故( )f z为常数 , ( ) ( )( ) ;, ( ) yyyyyy zD f zuivfzuivCR vuvuuv uvf z =+= = = = = xxxxxx (3)f在 内解析 解 由及解析，得条件为 u,vu-v四式联立有u=v 由此得 ， 为常数，即为常数。 0 4 试求电势为 0 ，位于的半无限大导体平面附近的等位线及电力线方程。 0x 解： 1. 作变换z= 则平面的全平面变为z平面的上半平面。 2. 平面的等势 线与电力线方程。 等势线方程 1 c=（常数） 电力线方程 2 c=（常数） 3.z平面的等势线方程与电力线方程 电力线 等势线 z= 22 ()izxiy+=+ 22 2ixiy+=+ 22 2 x y = = 将上式代入下式的平方，消去 222222 44()4yx 4 4x =+=+ 4 等势线方程即为： 22 11 44yc xc=+ 将上式代入下式的平方，消去， 222222 44()4yx 4 4x = += + 4 电力线方程即为： 22 22 44yc xc= = 本题若作变换lnz=则改变了它的边界条件成为等位体 22 2 2 2 22 22 22 2222 22 4.( )( )4( ) ( ) ( )( ),2222 ( )( ) 2(),2() ( )( ) ( ) xx xxxxxxyyyyyy xxyy f zDf zfz f zuv f zuivf zuvuvuuvv xxx f zf z uvuuvvuvuuvv xy f zDfzuivviu fz = =+=+=+=+ =+=+ =+= 若在 内解析，试证明： 解由得因而 同理 因为在 内解析，其导数为，其模方为 2 2222 22 22 2 2222 22 2 2222 0,0 ( )2()() 24( ) xxyy xxyyxxyy xxyyxxyyxxyy xxyy uvuvuv uuuvvv f zuvuvu uuv vv xy uvuvfz =+=+ =+=+= +=+ =+= 考虑 ， 为调和函数. 由以上各式可得 （） 22 1212 1212 5. sincossin()sincossincos cos()coscossinsin zzzz zzzz += = 21 22 12 12122112121 试由定义出发证明，实变函数的三角恒等式与双曲恒等式可推广到 复变函数:(1)z=1;(2)zzz; (3)zz;(4)ch z-sh z=1; (5)sh(zz )=shz chzshz chz;(6)ch(zz )=chz chzshz shz 22 2222 sincos 22 1 (22)1 4 iziziziz i zi zi zi z eeee z i eeee + + =+= 2 22 解 仅以(1)为例证明：z=() +() 6. 22 i izi izzz eeee shz i = 试证明双曲线函数与三角函数的关系如(24)所示。 解 以shz=-isin(iz)为例证明，由公式的右边出发，有 -isin(iz)=-i= 7.(1)(sin )cos ;(2)(cos )sin ;(3)();(4)() (3)() 22 zzzz zzzzshzchzchzshz eeee shzchz = = + = 试证明： 证