家电公司研发部资料材料力学习题答案.doc

第六章 简单的超静定问题6-1图示由三根杆组成的结构,已知各杆的弹性模量E、横截面积A及杆长L均相同，试求各杆轴力，画出变形图和受力图。 解：如图所示，取中间节点作为研究对象，由受力平衡得： 对于1、2、3杆，根据胡克定律，可知其变形量分别为： 再由几何连续条件得： 于是，由上述方程联立解得： 6-2如图所示，三根同材料等长度和等截面的柔索，互成，在O点相连接，各索预受张力10kN，索3在垂直方向。之后，在O点施加荷载F,试计算在三种不同情况下，各索所承受之力：（a）F=9kN (b)F=15kN (c)F=21kN。答：（a）F=9kN时， （b）F=15kN时， （c）F=21kN时，解：首先计算当绳索3刚好无拉力时荷载F的值。 如图所示，取节点O作为研究对象。 由于绳索上实现施加了10KN的拉力，因此由节点的竖向平衡可知：则F=10KN(1) 由于F=9KN10KN 于是绳索3中没有拉力。 因此由节点的竖向平衡可知：则(3) 由于F=21KN10KN 于是绳索3中没有拉力。 因此由节点的竖向平衡可知：则6-3图示对称结构中，杆BC为刚性杆，其余四根杆的EA均相同，试求荷载F作用下四根杆的轴力。解： 此题为对称结构上作用对称荷载，因此结构的受力和变形均对称。 于是可得 取刚性杆BC作为研究对象，由竖直方向的受力平衡得： 再由胡克定律得： 且由于对称荷载作用，加载时刚性杆BC的运动为竖直方向的平动。 有 由以上方程可以解得： 6-4图示结构，各杆抗拉刚度均为EA, 试求各杆的轴力。解： 此题为对称结构受对称荷载作用,因此AB、BC杆的轴力相等，设为 则 对于DB杆，由于杆件在E点受集中力作用，则轴力应该分为两部分考虑。设DE段轴力为，EB段轴力为。 于是,其中 再由受力平衡条件得： 由变形协调条件得： 于是，由上式解得： 6-5刚性杆ABC由材料相同、横截面积相等的三根杆悬挂，其结构及受力如图，试分析三根杆的受力分配比。解：本题为一次超静定问题，由受力图（b），得 则 （1）ABC杆为刚性杆，由变形几何图（c）可得变形协调条件 （2）物理关系为： （3）由方程（1）（3）得 上式代入（2）得 （4）（3）再代入（4）得 再结合（1）得结论：三杆受力相同6-6一杆系如图所示，1、2、3杆铰接在滑块E上，滑块E能沿竖向移动，杆2在竖直位置。图中F、EA均为已知。各杆的EA相同，长度均为L，试求E点处的支反力。 解： 由节点处的变形协调条件及几何条件得： 由胡克定律得： 即 取滑块E作为研究对象，由水平和竖直方向上的受力平衡得： 于是解得： 方向水平向右6-7图示结构中，BC为刚性杆，1、2两杆的抗拉（压）刚度均为EA, 试求两杆的轴力。解： 如图所示，取整体为研究对象，对B点取矩得： 由变形协调条件得： 其中： 于是，可以解得：6-8刚性梁由材料相同、截面积相等的三根立柱支撑，其结构和受力如图所示，如使刚性梁保持水平，试求：（1）荷载F作用点的位置x；(2) 此时各立柱中的轴力。解： 由于梁要保持水平，所以 即 又由于 则 又 对1柱低端取矩， 由竖直方向的受力平衡得： 由以上三式得： 6-9 刚性梁悬挂在三根杆上，已知A钢=2A铜，钢=，E钢=210GPa,铜=，E铜=100GPa, 试求当温度升高C时各杆横截面上的应力。解： 如图所示，为对称结构受对称荷载作用，因此刚性梁一定是平行移动。即 由题中条件,可得以下四式: 由第一式和第四式分别得: 由以上四式联立可以解得: ，6-10 如图所示，斜杆DC的长度比要求短，已知DB和DC杆的面积A=200mm2, 材料的E=200GPa。试求：装配后DB杆和DC杆的轴力。解： 为刚性杆，假设其移动到 如图（b）所示由几何关系知： （1）由物理关系知：（2） （3）由受力图（c）知：（4）（1）（2）（3）（4）联立，解得 6-11图示结构的刚性杆吊在两根钢杆上，已知=0.1mm,E=200GPa, ,。试求装配后并在荷载F作用下两杆横截面上的应力。解：由变形几何图（b）得 （1）由物理关系知 （2） （3）由受力图（c）得 （4）（1）（2）（3）（4）联立，解得 6-12 图示结构，已知BC杆的横截面积为BD杆的四倍，两杆材料的，E=200GPa,当温度升高时，试求BC杆和BD杆横 截面上的应力。解：如图所示，BC、BD杆在受温度作用后都会伸长。其中 按如图所示的变形图可得，杆BC和BD的压缩量分别为： 而再有 由以上方程联立可以解得：6-13 ABC为刚性等边三角形板，1、2、3、4杆均为钢制，各杆的长度均为l，截面积均为A，杆件的尺寸及布置如图所示，已知A、D之间的距离为，当把A、D装配在一起时，假定各杆的应力仍在弹性极限之内，试求各杆中的内力。答：解：取刚性三角板作为研究对象，由竖向位移条件得： 根据胡克定律得： 根据受力平衡条件得： 带入后解得;6-14结构由相同材料的杆件组成，横梁可视作刚体。若1、2杆的横截面积为A, 线膨胀系数为，AB杆横截面积为2A, 在F作用的同时，1、2杆温度升高T, AB杆温度不变，此时横梁已与AB杆接触，试求1、2杆之内力。解：取横梁作为研究对象，由竖向受力平衡得： 分别对于每个杆件，他们的变形量 再根据变形协调条件： 联立以上方程，可解得： 6-15一阶梯形钢杆，两段的横截面面积在时，将两杆固定，试求当温度升高至时，各段杆内的温度应力及C截面的位移。已知线膨胀系数。 解：当温度升高至时，1、2两杆的伸长量 设两杆中产生的轴力为F，则由轴力产生的压缩量 由变形协调条件知， 于是，得 有轴力可以计算出轴向应力为 针对AC杆，其由温度影响产生的伸长量为，有荷载作用产生的缩短量为于是，C截面的位移为6-16三根对称排列的竖杆，下端系一刚性横梁，两侧杆的横截面积,长L1=4m，中间杆的，三根杆的材料相同，且具有图示的弹性应力应变关系。试求在荷载F=50kN作用下的横梁的位移。答：=12mm解：此题为对称结构受对称荷载作用,因此受力和变形均对称,刚性横梁竖直向下平动. 因此有: 由题中条件可得以下三式: 材料的应力应变关系如图所示,为折线,因此可以采用试算法. 若三根竖杆的弹性模量均为100GPa, 则长杆和短杆上作用的力最大为20KN和10KN，由竖向的受力平衡可知，不和题意。若三根竖杆的弹性模量均为20GPa, 则长杆和短杆上作用的力最小为20KN和10KN。应变最小为由以上三式解得：，不合题意由于中间的杆件较长，当有同样变形量的时候应变较小，因此假设中间杆件的弹性模量为100GPa，而两侧杆件的弹性模量为20GPa。则由以上三式解得：则变形量 6-17图示两端固定的受扭阶梯形圆截面杆，其中间段的直径为两边段的二倍，试求支反力偶矩。解：去掉B端约束，代之以反力偶，如图(b)所示。由受力平衡方程： 则 作扭矩图，如图（c）所示由物理关系知 （1）（2） 由几何关系知，（3） （1）（2）（3）（4）联立，解得：6-18试求图示结构中BD杆的轴力，已知梁AB与CD的抗弯刚度为EI, 杆BD的抗拉刚度为EA。解：如图（a）所示，由几何关系知（1）如图（b）所示，CD杆上作用均布力及轴力，方向向上。单独作用均布力时，如图（c）所示（2）单独作用轴力时，如图（d）所示（3）则 （4）如图（e），AB上作用轴力，方向向下（5）（4）（5）代入（1）得（6）由物理关系知 （7）（6）（7）联立，得6-19右端固结于能竖向方向移动的刚性滑块，滑块上有荷载P作用，试作此梁的弯矩图并求梁在其与滑块交接处的挠度。 解：滑块B受到竖直向下的荷载P的作用，同时，由于右端为刚性墙壁，所产生的边界条件是杆件在B端的转角为零。 当滑块只受竖向荷载作用时，所产生的挠度为 而在B端产生的转角为 由于右侧刚性墙的存在，相当于将滑块向相反方向转动了一个的角度。 实际上是右侧的刚性墙对滑块施加了一个集中力偶的作用。当作用集中力偶时，自由端的转角为 所以相当于右侧墙对杆施加了一个逆时针方向的力偶，大小为 则产生的向上的挠度为 于是，总的挠度6-20图示结构中，AB梁的抗弯刚度为EI, BC杆和BD杆的抗拉（压）刚度为EA, 试求BC杆和BD杆的轴力。解：设BC、BD两杆的轴力分别为、 取B节点为研究对象，由竖直方向的受力平衡得， B节点在荷载作用下产生的挠度为： 而杆BD在荷载作用下的缩短量为： 由变形协调条件有： 于是，有6-21木梁ACB两端铰支，中点C处为弹簧支撑。若弹簧刚度k=500kN/m，且知L=4m, b=60mm, h=80mm, E=1.0MPa，均布荷载q=10kN/m，试求弹簧的支撑反力。解：设弹簧的支撑反力为F,则由叠加原理可得,梁跨中的挠度为而梁跨中的挠度刚好为弹簧的变形量,则其中:则将数据代入,可解得: 6-22一悬臂梁在室温下，正好靠在光滑斜面上，梁的横截面面积为A，惯性矩为I，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，试求当温度升高度时，梁内的最大弯矩。解：由弯矩图可知：斜面光滑，且与水平面成荷载情况如图且有 解得：6-23如图所示两梁相互垂直并在中点相互接触，设两梁材料及长度均相同，而截面的主惯性矩分别为,试求两梁所受荷载之比及梁内最大弯矩之比。解：设两梁接触处相互作用力为,则两梁情况分别如图(b)和图(c)因为两个梁中点相互接触，两个梁中点挠度应该是相等的即：而6-24图示结构，由于制造上的原因，DE杆的D点与B点之