解一元一次方程技法与思路.ppt

解一元一次方程 的技法與思路,黃志洪 教育局中學校本課程發展組 神召會康樂中學(借調老師),在根基上搭建,數學課程指引 (小一至小六) 2000 代數範疇 學生須懂得利用代數符號作記錄，列出方程及解不超過兩步計算的方程。在學習列方程及解方程前，學生須掌握加法、減法、乘法和除法算式中各部分之間的關係，以便他們能根據這些關係求未知數。方程不應包括同類項運算，所涉及的數字不宜太繁複，只可有一個未知數，且分母亦不可含有未知數。在解方程後，教師應要求學生用正確的驗算方式，進行驗算。 TSA 已教課程 課前預測 / 評估,路途回歸法,所在地是從家出發， 經過若干路程到逹， 若行回頭路就可回到家中。,結果是從未知數出發， 經過若干運算而成， 若進行逆運算就可得到未知數 (方程的解)。,用於描述未知數經過若干運算得一結果的方程,路途回歸法,針對未知數出現一次的方程 進行逆末運算，逐步還原。 原則：加減互逆、乘除互逆。,練習/課堂活動 目的：了解方程的含意，弄清當中的運算次序。,3,3,1,+1,4,4,用逆末運算表解方程,3,3,1,+1,4,4,用逆末運算表解方程,3,3,1,+1,4,4,用逆末運算表解方程,4,4,2,+2,3,3,+1,1,用逆末運算表可解下列方程嗎？,可以！ 但需重組方程。,連續加減，次序可變： 例：1 + 2 = 2 + 1 = 3 例：3 + 4 = 4 + 3 = -1 例： - 2 + 3 = 3 - 2 = 1 例： - 1 - 2 = - 2 - 1= - 3,方程 y+17=33 和方程 17+y=33 是否同解？ 方程 2y-7=3 和方程-7+2y=3 是否同解？ 為何？,重組方程,練習： 重組方程後，用逆末運算表解方程,解方程的基本概念,一元方程表逹未知數值有左方等於右方的相等關係。 為求得知未知數使相等關係成真的值 (方程的解)，我們就需進行解方程。 在解方程時，目的在簡化這相等關係，直到求出方程的解。 (即得知未知數使相等關係成真的值),解方程的基本思路,對方程進行同解變形， 從而簡化相等關係，直至得解。,方程：左方 = 右方,同解變形,未知數 = 確知數值 (解),方程：2x 3 = 9,方程：4x 3 = 2x + 5,同解變形,同解變形,x = 6 (解),x = 4 (解),解方程 2x 3 = 9 時 的同解變形過程：,2x 3 = 9 2x 3 + 3 = 9 + 3 2x = 12 2x 2 = 12 2 x = 6,每行都是一方程 /相等關係， 有著同一的解(x = 6)。 解(x = 6)能使每行的相等關係成真。,不能加等號於每行之首！,解方程的技法 同解變形,(一)恆等變形 將左右兩方各自作恆等變形 (包括化簡、展開、因式分解、通分等) 合併同類、去括號,(二) 等式性質(平衡原理/天平法則) 1. 如果X=Y， 那麼Xa = Ya，Xb =Yb。 移項歸類 2. 如果X=Y， 那麼cX=cY，X d=Y d（c，d0）。 倍方程,解方程的技法 同解變形,路途回歸法中的逆末運算,其實是使用天平法則，也是同解變形。,解方程的技法 合併同類, (逆末運算),3x = 24 x = 8,15x - 12x = -11 + 35 ？,解方程的技法 合併同類,關注：Dyscalculia / MD (數障)！,解方程的技法 移項歸類,移項歸類目的： 將未知數移至方程的一邊，而數值移至另一邊。 為合併同類作預備。,15x - 12x = -11 + 35 3x = 24 (合併同類) x = 8 (逆末運算),15x - 35 = 12x -11 ？,解方程的技法 移項歸類,運用等式性質1 ，也可視作加減的逆末運算的結果。,教學活動：(方形咭背後為一x項，圓形咭後為數值),解方程的技法 移項歸類,教學活動(續)：,解方程的技法 移項歸類,教學活動總結：,讓學生觀察，找出規律，發現移項的變形方法。 以口訣移加作減、移減作加幫助記憶。 給出移項的概念： 把方程中的某一項，從方程的一邊移到另一邊， 需改變符號，這種變形叫做移項。 習慣上把含有未知數的項移到左方， 不含未知數的項(數值)移到右方。 但有時為求簡單(令最終的係數為正)，也可靈活處理。 通過練習加以鞏固，達到靈活運用移項歸類,15x - 35 = 12x -11 ？, 15x - 12x = -11 + 35 3x = 24 x = 8,解方程的技法 去括號,5(3x - 7) = 12x - 11 ？ 可否移項歸類 ？,15x - 35 = 12x - 11 15x - 12x = -11 + 35 (移項歸類) 3x = 24 (合併同類) x = 8 (逆末運算),去括號目的： 撤去括號有便於移項歸類及合併同類。,若方程含有括號，我們必須先撤去括號 (展開當中的項)，才可移項歸類。,解方程的技法 去括號,基於乘法分配性質。,太 多 了 ！ 不 需 學 生 強 記 ！,解方程的技法 去括號,讓學生自我發現去括號規律。 再完成跟進練習 。,解方程的技法 去括號,要訣：同號正、異號負； 括前正正負不變、括前負正負號變。,解方程的技法 去括號,多層括號： 去括號可由內而外，也可由外而內。,解方程的技法 去括號,多層括號(另例)：,由外而內還是由內而外較好？,解方程的技法 倍方程,5(3x - 7) = 12x -11 15x - 35 = 12x - 11 (去括號) 15x - 12x = -11 + 35 (移項歸類) 3x = 24 (合併同類) x = 8 (逆末運算), ？,倍方程目的： 係數變整(去分母、去小數) ，簡化方程。,解方程的技法 倍方程,讓學生自我發現倍多少： 哪個變形對解方程有幫助？,解方程的技法 倍方程,哪個變形對解方程有幫助？ 有否更佳的變形對解方程有幫助？,解方程的技法 倍方程, ？,倍方程： 60！,總結： 乘以所有分母的最小公倍數 左方、右方都要乘 每項都要乘，不可漏乘不含分母項 分子多過一項，作為一整體要加括號 不能直接把分母去掉，需通過約分約去分母 除去分母外，倍方程也可用於去小數 倍方程也可倍細方程，例：440x+640=3280,簡表解方程 例一,簡表解方程 例二,簡表解方程 例三,簡表解方程 例四,與前表四個練習為一系列。 用簡表做此練習可輕易將需做的 變形分類安排在前四個練習中。 (留意一題多法) 學生在不同學習階段完成前四個 練習後，應能輕易完成此練習。 盼藉此給學生信心解較難的方程 。 注意此一系列用了不同的字母， 方便初學或能力稍遜的同學參照 。 教師可設計多幾個系列，可在一 系列中全用同一字母，鼓勵同學 不作無謂的參照，進一步提升信 心。,教學小點子,創設問題情境激發學生的求知欲。 數學家丟番圖墓碑上