直线方程讲课.ppt

直线与方程复习,KPF, 求直线方程,一.复习回顾,直线的方程与方程的直线,直的倾斜角和斜率,概念辨析,直线的方程,4,5,斜率公式,斜率公式的形式特点及适用范围,确定一条直线需要具备几个独立条件,6,以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。,直线的方程与方程的直线,直线的倾斜角和斜率,在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。,倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K表示。,斜 率 公 式,经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线的斜率公式：,3,斜率公式的形式特点及适用范围, 斜率公式与两点的顺序无关， 即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒； 斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角； 斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记， 并且会灵活运用; 当x1=x2 ,y1y2时，直线的倾斜角900，没有斜率.,4,确定一条直线需要具备几个独立条件,1 直线经过一个已知点及方向（即斜率）; 2 直线经过两个已知点；,5,如果把直线当作结论，如何根据这些条件求出直线方程？,直线的方程,若直线L经过点P1（1，2），且斜率为1，求直线L的方程.,思考,1、直线方程的点斜式和斜截式,若直线L经过点p1(x1,y1)，且斜率为k，求L的方程？,问题1,平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？,问题2：,不能,因为斜率可能不存在. 因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.,纵截距：,直线L与Y轴交点的纵坐标。,横截距：,直线L与X轴交点的横坐标。,已知直线的斜率为K，与Y轴的交点是P（0，b）， 求直线L的方程？,说明：,(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。,(2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。,问题3：,(3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用 斜截式比用点斜式更方便.,(4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？ 什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.,如果直线 l 的倾斜角为0，那么经过一点P1(x1，y1) 的直线l的方程为 。,y=y1,x=x1,一条直线经过点P（-2，3），倾斜角为45，求这条直线的方程，并画出图形。,课堂练习,(一）,写出下列直线的点斜式方程；,（1）经过点A（2，5），斜率是4； （2）经过点B（3，-1），斜率是 ； （3）经过点C（- ，2），倾斜角是30； （4）经过点D（0，3），倾斜角是0； （5）经过点E（4，-2），倾斜角是120；,答案,（二）,小结,方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的点斜式；,方程y=kx+b是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式；,求直线方程应注意分类： ()当k存在时,经过点P1(x1，y1)的方程为y-y1=k(x-x1) ； () 当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的方程为 x=x1 。,方程y=kx+b是y-y1=k(x-x1) 的特殊情况，其图形是直线，运用它们解决问题的前提是k存在。,通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,点(x0,y0) 斜率k,截距b 斜率k,k存在,k存在,2、直线方程的两点式和截距式,已知直线上两点A(x1,y1), B(x2,y2) ,(x1x2)求直线方程.,范围的区别,应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程： A(2,1),B(6,-3)； A(-4,-5),B(0,0),由于这个方程是由直线上两点确定的,探究1：哪些直线不能用两点式表示？,探究2：若要包含倾斜角为900或0的直线， 应把两点式变成什么形式？,探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的， 还有没有其他的途径来进行推导呢？,例1 : 求过下列两点的直线的两点式方程， 再化为斜截式方程. （1）A（2,1），B（0，3）； （2）A（1，2），B（3,4） （3）A（0,5），B(5,0)； （4）A(a,0) B(0,b )（a,b均不为0）,例题,直线与x轴交于一点（a,0）,定义a为直线在x轴上的截距； 直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.,以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的， 所以叫做直线方程的截距式.,由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？,探究4：a,b表示截距，是不是表示直线 与坐标轴的两个交点到原点的距离？,探究5：有没有截距式不能表示的直线？,补充练习,B,通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,小结,P1(x1,y1) P2(x2,y2),x轴上的截距 y轴上的截距,a0且b0,3、直线方程的一般形式,P(x1,y1)及k,k及b,P(x1,y1)及 P2(x2,y2),a及b,a0且b0,直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?,P(x1,y1)及k,k及b,P(x1,y1)及 P2(x2,y2),a及b,a0且b0,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?,问题1：平面内的任一条直线，一定可以用 以上四种形式之一来表示吗？,问题2：是否存在某种形式的直线方程， 它能表示平面内的任何一条直线？,探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程 都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全 为0)的形式吗？,探究1：方程Ax+By+C=0 (A、B不全为0) 总表示直线吗？,Ax+By+C=0(其中A、B、C是常数，A、B不全为0) 的形式，叫做直线方程的一般式,例题,解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜 式是 y + 4 = (-4/3 )（x 6） 化成一般式，得 4x+3y 12=0,例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为-4/3， 求直线的点斜式和一般式方程.,注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.,2.已知直线Ax+By+C=0 (1)当B0时，斜率是多少?当B0时呢? (2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?,补充练习,直线方程的五种形式,点斜式： y-y1=k(x-x1) 适合斜率存在 斜截式： y=kx+b 适合斜率存在 两点式： 适合与坐标轴不垂直 截距式： 同上且不适合过原点 一般式：Ax+By+C=0 适合所有直线,1. 直线方程的五种形式,2、两条直线的位置关系 有斜率的两条直线 l1： y = k1x + b1 l2： y = k2x +b2 l1l2 k1 = k2且b1b2 l1 l2 k1 k2=1 l1 与l2重合 k1 = k2且b1=b2,(2) 一般式的两条直线 l1：A1x + B1y + C1 = 0 l2：A2x + B2y + C2 = 0 l1l2 A1 B2 A2 B10且 B1 C2 B2 C10 l1 l2 A1 A2 +B1 B20 l1 与l2相交 A1 B2 A2 B10 l1 与l2重合 A1 B2 A2 B10且 B1 C2 B2 C10,总结:,（1）两直线平行的充要条件：,斜率相等，截距不等或,（2）两直线垂直的充要条件：,K1K2=-1或A1A2+B1B2=0,（3）两直线相交：夹角与直线到直线的角差别,3、到角与夹角 （1）l1到l2的角：l1绕交点逆时针旋转到 l2所转的角（0） tan= (2) l1与l2的夹角： tan= （090）,4、点到直线的距离 (1) 点P(x0 ，y0)到直线l:Ax + By + C= 0距离 (2) 两条平行直线 l1: Ax + By + C1 = 0与l2 ：Ax + By+ C2 = 0 之间的距离为d = (3)点(x0,y0)到直线x=a的距离d= (4)点(x0,y0)到直线x=a的距离d=,5、有关对称问题 (1) 中心对称问题 点(x，y)关于定点(a，b)的对称点 (2ax,2by)。 曲线C：f (x，y) = 0,关于点A(a，b)的 对称曲线C1的方程为f (2ax,2by) = 0 (2) 轴对称问题 点P(x，y)关于直线l：Ax + By + C = 0 对称点为P(x1 ，y1)，则klk=-1 且PP的中点在l上,关于直线的对称分两种情况： 1)当两直线平行时，用平行直线间的距 离公式；2) 当两直线相交时，用“到角公 式”求斜率来解决。 (3)常见直线关于直线对称有： 设直线l: Ax+By+C=0 或 f(x,y)=0 1)l关于x轴的对称直线是：f(x,-y)=0 2) l关于y轴的对称直线是：f(-x, y)=0 3) l关于y=x的对称直线是：f(y,x)=0 4)l关于y=-