讲矩阵的代数运算和数据分析.ppt

第六讲 矩阵的代数运算 和数据分析,2019年9月20日星期五,2019年9月20日星期五,,2,第六讲 矩阵的代数运算 和数据分析,6.1 矩阵的代数运算 6.2 数据分析,2019年9月20日星期五,,3,6.1 矩阵的代数运算,e i g ( A ) 求包含矩阵A的特征值的向量。 X , D = e i g ( A ) 产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。,2019年9月20日星期五,,4,6.1矩阵的代数运算,d e t ( A ) 求方阵A的行列式。 r a n k ( A ) 求A的秩，即A中线性无关的行数和列数。 i n v ( A ) 求方阵A的逆矩阵。如果A是奇异矩阵或者近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。,2019年9月20日星期五,,5,6.1矩阵的代数运算,线性系统的求解和L U分解 M AT L A B用如下命令求解系统A x = b：则 x = A b。如果A是一个奇异矩阵，或者是近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。 L U分解方法就是令A = L U，其中U是一个上三角矩阵， L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三角矩阵。,2019年9月20日星期五,,6,6.1矩阵的代数运算, L , U = l u ( A ) 求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。L是一个带有单位对角线 的下三角矩阵和交换矩阵，即P的逆矩阵的乘积，见下个命令。 L , U , P = l u ( A ) 求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P，满足L U = PA。,2019年9月20日星期五,,7,6.1矩阵的代数运算,Q R分解。 假设A是nn的矩阵，那么A就可以分解成：A = Q R ，其中Q是一个正交矩阵， R是一个大小和A相同的上三角矩阵，因此A x = b可以表示为 Q R x = b或者等同于：R x = Q b 。这个方程组的系数矩阵是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比较， Q R因式分解的主要优点在于有更高的稳定性，然而它的数学运算更麻烦一些。,2019年9月20日星期五,,8,6.1矩阵的代数运算, Q , R = q r ( A ) 求得mm的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列形成了一个正交基，Q和R满足A = Q R。 Q , R , P = q r ( A ) 求得矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的列形成一个正交基，R的对角线元素按大小降序排列，它们满足A P=Q R。 Q , R = q r ( A , 0 ) 求矩阵A的Q R因式分解。如果在mn的矩阵A中行数小于列数，则给出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交换矩阵。,2019年9月20日星期五,,9,6.1矩阵的代数运算,向量范数 n o r m ( x ) 求欧几里得范数。 n o r m ( x , i n f ) 求无穷范数，即| | x | | = m a x ( a b s ( x ) )。 n o r m ( x , 1 ) 求1 -范数。 n o r m ( x , p ) 求p -范数， 。 n o r m ( x ,i n f ) 求向量x的元素的绝对值的最小值，即m i n ( a b s ( x ) )。注意，这不是向量的范数。,2019年9月20日星期五,,10,6.1矩阵的代数运算,矩阵范数 n o r m ( A ) 求欧几里得范数| | A | |2， n o r m ( A , 1 ) 求列范数| | A | |1，等于A的列向量的1 -范数的最大值。 n o r m ( A , 2 ) 求欧几里得范数| | A | |2，和n o r m ( A )一样。 n o r m ( A , i n f ) 求行范数| | A | | (inf)，等于A的行向量的1 -范数的最大值。,2019年9月20日星期五,,11,6.1矩阵的代数运算,c o n d ( A ) 求A的欧几里得范数的条件数。 c o n d ( A , p ) 求p-范数的条件数， p的值可以是1、2、或者inf,2019年9月20日星期五,,12,6.2 数据分析,1.最大值和最小值 m a x ( x ) 返回x中最大的元素值，如果x是复数，则返回m a x ( a b s ( x ) )值。 m a x ( A ) 返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；如果A为复数时，则返回m a x ( a b s ( A ) )值。,2019年9月20日星期五,,13,6.2 数据分析, y , i n d = m a x ( A )返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存每列的最大数的行下标。 m a x ( A , B ) 返回一个和A、B相同维数的矩阵，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。,2019年9月20日星期五,,14,6.2 数据分析,max(A , k)将A中小于k的数换成k。 m i n ( x ) 返回向量x中最小的元素。该命令关于矩阵的操作和m a x一样，如果x是复数，则返回m i n ( a b s ( x ) )值。,2019年9月20日星期五,,15,6.2 数据分析,2.求和、乘积和差分 s u m ( x ) 返回向量x所有元素的和。 s u m ( A ) 返回一个包含矩阵A各列元素之和的行向量。 c u m s u m ( x ) 返回一个x中元素累计和的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素之和，以此类推。,2019年9月20日星期五,,16,6.2 数据分析,c u m s u m ( A ) 返回一个与A同样大小的矩阵，它的列是A中列的累计和。 3. 乘积 p r o d ( x ) 返回x中各元素乘积。 p r o d ( A ) 返回一个元素是列乘积的多维矩阵。,2019年9月20日星期五,,17,6.2 数据分析,cumprod ( x ) 返回一个x中各元素累计积的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素的累计积，以此类推。 cumprod ( A ) 返回一个矩阵，其中列元素是A中列元素的累计积。,2019年9月20日星期五,,18,6.2 数据分析,4. 差分和梯度 diff ( x ) 给出一个长度为n1的向量，它的元素是长度为n的向量x中相邻的元素的差。如果x= (x1 x2. . . xn)，则d i f f( x )= (x2x1 x3x2. . . xnxn1)。 diff ( A ) 对A按列作差分。就是d i f f ( A ) = A ( 2 : m , : )A ( 1 : m1 , : )。 diff ( x , k ) 求出第k次差分， d i f f ( x , 2 )和d i f f ( d i f f ( x ) )等价。,2019年9月20日星期五,,19,6.2 数据分析,5. 平均值、中值和标准差 m e a n ( x ) 求出向量x的算术平均值。 m e a n ( A) 返回按列求算术平均值的行向量。 m e d i a n ( x ) 求出向量x中元素的中值。 m e d i a n ( A )返回按列求中值的行向量。 s t d ( x ) 求出向量x中元素的标准差。 s t d ( A)返回按列求标准差的行向量。,2019年9月20日星期五,,20,6.2 数据分析,6. 协方差和相关系数 cov ( x ) 求向量x的协方差。 cov ( A ) 求协方差矩阵，对角线元素是A中各列的方差。 cov ( x , y ) 等同于cov(x y)，x和y是列向量。 corrcoef ( A ) 求相关矩阵。 corrcoef ( x , y ) 等同于corrcoef(x y) ，x和y是列向量。,2019年9月20日星期五,,21,6.2 数据