应力张量不变量例题.ppt

一、应力张量不变量及其应用,二阶张量的定义:,二阶张量主不变量：,知识要点回顾,一、应力张量不变量及其应用,应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。,利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。,试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？,例 题,一、应力张量不变量及其应用,对于,两个应力张量表示同一应力状态。,例 题 解 答,一、应力张量不变量及其应用,1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此定义了应力的状态。,2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 的三个主不变量是否相同来实现。,二、几种重要应力的计算,知识要点回顾,1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。,1、主应力,2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。,二、几种重要应力的计算,知识要点回顾,2、最大切应力,1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的切应力为最大切应力，记为 。,取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为,最大切应力计算公式,2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。,？,二、几种重要应力的计算,知识要点回顾,1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。,3、八面体应力,2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。,二、几种重要应力的计算,八面体平面的方向余弦,3、八面体应力,知识要点回顾,二、几种重要应力的计算,知识要点回顾,3、等效应力,2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。,1）取八面体切应力绝对值的 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应力或应力强度，用 表示。,等效应力定义式,二、几种重要应力的计算,对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为,例 题,画出该点的应力单元体；,试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；,求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。,二、几种重要应力的计算,例 题 解 答,画出该点的应力单元体,二、几种重要应力的计算,用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向,例 题 解 答,计算应力张量的三个主不变量,应力状态特征方程,二、几种重要应力的计算,用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向,例 题 解 答,齐次线性应力 平衡方程组,方向余弦条件,将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向,二、几种重要应力的计算,用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向,最大切应力,八面体应力,二、几种重要应力的计算,等效应力,三、应变连续方程问题,知识要点回顾,小应变几何方程,六个应变分量取决于三个位移分量？,这六个分量之间应该存在某种联系！,三、应变连续方程问题,知识要点回顾,小应变几何方程,(1)式加(2)式,三、应变连续方程问题,在每个坐标平面内，两个线应变 一经确定，则切应变分量随之被确定！,切应变到线应变？,知识要点回顾,三、应变连续方程问题,在三维空间内三个切应变分量一经 确定，则线应变分量也就被确定！,知识要点回顾,三、应变连续方程问题,设,试问上述应变场在什么情况下成立？,其中a、b为常数，,例 题,例 题 解 答,应变分析问题小 结,1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、 等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相 似，此处不再重复。,2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自 动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。,应力应变分析问题小结,1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断应力、应变状态的异同；,2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法。,3、掌握应变连续方程。,第四节 屈服准则 Part 4. Yield Criterion,P105-P116,本节主要内容 Contents,基本概念 Concepts 屈雷斯加屈服准则 Tresca yield criterion 米塞斯屈服准则 Mises yield criterion 屈服准则的几何描述 Geometrical representation of yield criterion 屈服准则的实验验证与比较 Tests & comparison of yield criterions 应变硬化材料的屈服准则 Yield criterions of strain hardening material,掌握标准 要求熟练掌握并能应用 要求熟练掌握 要求了解,一、屈服准则的基本概念 1. Concept of yield criterion,1.1 材料的屈服与屈服准则 1.1 Yield and yield criterion of material,材料的屈服,材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料的屈服。,屈服准则,在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，又称为塑性条件。,屈服函数,弹性状态,塑性状态,实际变形中不存在,1.2 有关屈服函数的讨论 1.2 Discussion on yield function,1.3 关于材料性质的基本概念 1.3 Concept on material properties,b 理想弹塑性,a 实际金属材料,d 弹塑性硬化,c 理想刚塑性,e 刚塑性硬化,有物理屈服点,无明显物理屈服点,1、实际金属材料在比例极限以下,2、金属在慢速热变形时,3、金属在冷变形时,4、金属在冷变形屈服平台部分,1.4 实际对材料模型的处理 1.4 Actual material model,理想弹性材料,理想塑性材料,弹塑性硬化材料,理想塑性,二、Tresca屈服准则 2. Tresca yield criterion,屈雷斯加屈服准则,2.1 屈雷斯加屈服准则的内容(1864) 2.1 Definition of Tresca yield criterion,当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。又称为最大切应力不变条件。,材料单向拉伸时的应力 Stress of uniaxial stretch,屈雷斯加屈服准则的数学表达式 Mathematical representation of Tresca yield criterion,2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则 2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test,如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为,2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则 2.3 Tresca yield criterion of any stress state,屈雷斯加屈服准则可写成,2.4 平面变形状态的Tresca屈服准则 2.4 Tresca yield criterion of plane strain state,或者,三、 Mises屈服准则 3. Mises yield criterion,米塞斯/米席斯屈服准则,3.1 Mises屈服准则的内容(1913) 3.1 Contents of Mises yield criterion,在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就进入塑性状态。,单向拉伸,3.2 几种应力状态下的Mises屈服准则 3.2 Mises yield criterion of several stress states,纯切应力状态,Mises屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系,Mises屈服准则的等效形式,3.3 Mises屈服准则与等效应力 3.3 Mises yield criterion and equivalent stress,1、相同点,1) 屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。,2) 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的。,3) 各表达式都和应力球张量无关。,2、不同点,屈雷斯加屈服准则,未考虑中间应力,使用不方便,米塞斯屈服准则,考虑中间应力,使用方便,3.4 Tresca、Mises屈服准则的比较 3.4 Comparison of Tresca & Mises Yield Criterion,变形体单位体积内的总弹性变形能,1924年汉基（H.Hencky）,在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性变形能达到某一常数时，材料开始屈服。,3.5 Mises屈服准则的物理意义(P109) 3.5 Physical meaning of Mieses YC,体积变化引起的单位体积弹性变形能,3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能 3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change,形状变化引起的单位体积弹性变形能,广义胡克定律,Mises屈服准则又称为能量准则或能量条件,3.7 Mises屈服准则的能量性质 3.7 Energy property of Mises yield criterion,应力偏张量第二不变量的能量性质,等效应力的能量性质,Mises屈服准则的能量性质,例题,一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r ，壁厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）,解：先求各应力分量,（在内表面）,（在外表面）,例题,外表面的屈服条件,1）由Mises屈服准则,例题,2）由Tresca屈服准则,两种屈服准则所算出气压的大小比较？,知识点小结,屈服函数 根据应力应变曲线对材料的分类 屈雷斯加屈服准则 米塞斯屈服准则 由屈服准则求解简单力学问题的方法,屈服准则的几何描述 Geometrical representation of yield criterion,屈服表面与屈服轨迹 Yield surface and yield locus,主应力坐标系下应力对等倾线的分解 Stress decomposed to isocline in principal stress coordinates,在等倾线上分解出了静水应力矢量,等倾线定义,任意应力矢量,在等倾线上的分量,应力对等倾线垂面的分解 Stress decomposed to orthogonal plane of isocline,在等倾线垂面上分解出等效应力、应力偏量,由等倾线垂面内应力分量表示的屈服条件 Yield conditions represented in the stress component on the orthogonal plane of isocline,Mises屈服准则与PM长度的关系,点屈服,Mises屈服表面,圆,Tresca屈服准则在主应力空间的几何表述 Geometrical representation of Tresca yield criterion in principal stress space,Tresca屈服准则,两个互相平行平面之间的区域,同理适用于其它两对表面,在主应力坐标系中的几何意义,Mises、Tresca屈服表面的关系 Relation of Mises yield surface and Tresca yield surface,三对Tresca屈服区域的交集是一正六棱柱。,Tresca正六棱柱的边长,Tresca正六棱柱的中心轴线,Mises屈服表面的半径,Mises屈服表面的中心轴线,Tresca屈服表面内接于Mises屈服表面。,Mises、Tresca屈服表面的关系,屈服表面的几何意义 Geometrical meaning of yield surface,若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服表面之外。,两向应力状态下的屈服方程 The yield equation at bidirectional stress state,椭 圆,内接于椭圆的六边形,Mises屈服表面,Tresca屈服表面,两向应力状态下的屈服轨迹 Yield locus at bidirectional stress state,两向应力状态下的屈服轨迹 Yield locus at bidirectional stress state,重合点与差别最大点,平面上的屈服轨迹,平面上的屈服轨迹 Yield locus onplane,在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON 的平面称为 平面。,屈服轨迹的几何意义 Geometrical meaning of yield locus,若两向主应力平面中一点应力状态矢量的端点位于屈服轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服轨迹之外。,两种屈服准则 的实验验证与比较,Test on yield criterions,罗德(Lode)屈服准则实验1926 Lodes test on yield criterions,薄壁圆管拉伸膨胀,罗德(Lode)参数 Lode parameter,Tresca准则,Mises准则,Lode参数,罗德(Lode)实验(1926) Lode test,Lode实验资料(1926) 1米塞斯准则 2屈雷斯加准则,泰勒-奎乃屈服准则实验1931 Taylor-Quinney yield criterion test,薄壁圆管拉伸扭转 Drawing and torsion of thin wall tube,泰勒(Taylor)与奎乃(Quinney)实验(1931),Tresca准则,Mises准则,Taylor -Quinney实验结果,钢,铜,铝,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,2,1,Taylor及Quinney实验资料(1931) 1-Mises准则 2-Tresca准则,关于屈服准则的一般结论 General conclusions,1)多数金属符合Mises屈服准则,2)当主应力大小已知时，Tresca屈服函数是线性的， 使用起来方便。,用修正系数表示中间应力的影响