中医数学模型.pdf

收稿日期:2007204229文章编号:100424337(2007)0620747204中图分类号:R311文献标识码:A医学数学模型探讨中医数学模型于振锋(淮阴工学院计科系淮安223001)摘要:中医五行学说数学模型是完全以中医理论为基础,以黄帝内经等古代医学文献为主要的参考资料进行归纳和整理的一种处理中医问题的有效方法。必要的数学假设,精练的数学语言对中医五行学说理论加以描述,并且初步建立起中医数学模型。同时为其他中医理论的数学建模提供了参考依据,从而逐步实现中医与现代科学接轨。关键词:五行学说；相生函数；相生速率函数；相克函数；相克速率函数本课题为“国家中医药管理局中医药科学技术研究基金中医基础研究”立项项目,由辽宁中医学院、大连医科大学附属二院、大连理工大学三方承担单位联合承办。在该课题的研究过程中,经过较长时间的探讨和整理,发现很难把中医所有复杂的理论体系用一个数学模型准确地表达出来,因此我们最终选择了先针对五行学说理论建立数学模型,五行学说理论是中医理论的基础,中医的其他理论学说(脏象学说、气血运行学说)都是以此为基础建立和发展起来的,因此五行学说数学模型的建立对整个中医数学模型的建立起着促进和发展的作用,只有构建一个完整的五行学说数学模型,其他理论模型才能更好地建立和发展。然后再将这些理论模型有机地结合起来,这就是我们这一课题的总体研究构想。因此本研究仅在于建立五行学说数学模型。笔者有幸能于大连理工大学读研期间参加这一课题的研究工作,即使现在已工作仍然继续该课题的研究,在以往大量工作基础上构建了这一数学模型。黄帝内经之“气交变大论篇”中对五行的生、克变化过程有着较为详细的论述,篇中记载五行之太过与不及都会导致不良的结果,且其衍变过程又有着一定的规律即:金克木、木克土、土克水、水克火、火克金的相克规律；木生火、火生土、土生金、金生水、水生土的相生规律。以此为依据,我们便有了下面建立五行学说数学模型的推理过程。1平衡态的数学假设当人体不发生病变时,可认为五行之间达到平衡,这种平衡是动态的平衡,绝对静态的平衡是不存在的。但在考虑问题时,我们可以假定五行之间处于静态平衡,就是既不相生也不相克,此时五行量相等,把金、木、土、水、火分别用x1、x2、x3、x4、x5表示,他们可以看作是五行的各个量值。则有:x1=x2=x3=x4=x5静态平衡2五行关系式的确定五行之间除了主要的相生、相克外,还有相乘、相侮的异常反应。在建立数学模型的时候只考虑其主要的相生、相克关系,扬弃其负面的、处于次要地位的相乘、相侮的异常关系,这是建立数学模型的基本原则。讨论如下:对于五行关系而言,当其中一个量变化时,以上这一静态平衡便被破坏,而趋向于另一个新的平衡态方向发展。假如火过剩,火克金,金的量开始减少,金量减少就将生水以克火,使火的量减少力求不再克金。而在这一过程中,金被火克,金量是逐渐在减少的,同时金生水又要消耗金的量,因此金的量是一直在减少。而火克金也要消耗火的量,同时火又被金生成的水所克,因此火的量也是逐渐在减少。因为水克火的前提是水的量要大于火的量,因此金生水使水的量高于火的量时水才起到克制火的作用,因此这个过程中水的量是在逐渐增加的,而到此为止仍然不是平衡态。火被水克,火便生土以克制水,水的量便开始减少,这样土、水、火三者便又重复着火、金、水三者的以上步骤,以后以此类推直到平衡。在整个相生相克的过程中,每个量都有增有减,最后达到相等(静态平衡)。而事实上5个量不可能相等,这只是它们的发展趋势。以上是一个量的太过导致其它量随之变化的过程。当所有量都变化(太过和不及)时,其变化规律也是相同的,区别只是不是逐次变化,而是同时发生变化。由此便可以推导x1、x2、x3、x4、x5之间的函数关系。下面就以x1为例来讨论与x2、x3、x4、x5之间的函数关系。经过上面整个过程以后只有x3生x1使x1增加,x5克x1使x1减少,x1生x4使x1减少,x1克x2使x1减少。令函数fi是相克速率函数,i=1、2、3、4、5；函数gi是相生速率函数,i=1、2、3、4、5。便有下面的五行关系图(图1)。如图1所示,对于x1而言,其速率等价于x1克制x2消耗x1的速率、x3生x1增加x1的速率、x1生x4消耗x1的速率、x5克制x1使x1747数理医药学杂志2007年第20卷第6期减少的速率4个速率的叠加。由此便得到关系式:x1量变化的速率=x1克制x2消耗x1的速率+x3生x1增加x1的速率+x1生x4消耗x1的速率+x5克制x1使x1减少的速率(1)由图1我们不难看到,无论五行量太过或不及,它们之间的这种关系是不变的,因此我们便给出了五行之间其它的关系式:x2量变化的速率=x2克制x3消耗x2的速率+x4生x2增加x2的速率+x2生x5消耗x2的速率+x1克制x2使x2减少的速率；(2)x3量变化的速率=x3克制x4消耗x3的速率+x5生x3增加的x3速率+x3生x1消耗x3的速率+x2克制x3使x3减少的速率；(3)x4量变化的速率=x4克制x5消耗x4的速率+x1生x4增加x4的速率+x4生x2消耗x4的速率+x3克制x4使x4减少的速率；(4)x5量变化的速率=x5克制x1消耗x5的速率+x2生x5增加x5的速率+x5生x3消耗x5的速率+x4克制x5使x5减少的速率。(5)这样五行之间便建立了(1)(5)所表示的初步关系式。图1五行生克关系图3相克速率函数fi、相生速率函数gi的确定311相克速率函数fi的确定金(x1)fi木(x2)f1起作用的前提是x1x2,金(x1)克木(x2)消耗x1使x1减少,dx10,比值dx1/dt0(值中的负号代表相克,符号后的值表示相克速率),x2被克制而减少,dx2/dt1时,随着x1/x2值的增加,x1克x2的能力逐渐加强,|f1(x1/x2)|的值渐大,dx1/dt和dx2/dt便是渐小的负值；而x1与x2几近相等即x1/x21时,x1几乎不克制x2,此时x1克x2的能力最弱,|f1(x1/x2)|0,dx1/dt0,dx2/dt0；当x1小于x2即x1/x21时,随着u=x1/x2值的增大,|f1(x1/x2)|逐渐增大。因此可近似地用数学中的自然对数ln(u)(u1)函数代替相克速率函数f1(u),有f1ln,见图2。图2相克速率函数可得到关系式:f1(x1/x2)=ln(x1/x2)x1/x210x1/x21(7)而其它的x2克x3的相克速率函数f2、x3克x4的相克速率函数f3、x4克x5的相克速率函数f4、x5克x1的相克速率函数f5的推导过程与x1克x2的相克速率函数f1推导过程完全相同,相克速率函数都是同一函数。便有:f1(u)=f2(u)=f3(u)=f4(u)=f5(u)=f(u)=ln(u)u10ux2。木(x2)生火(x5)导致x2的量被消耗而减少,dx2x1产生克制金(x1)的作用,然后x5847JournalofMathematicalMedicineVol.20No.62007有增(x2生x5)有减(x5克x1),但增加量大于减少量,增长幅度(与前面比较)已经很小直至平衡,这一过程中dx50,所以有dx2/dt0(值中的正号代表被生关系,负号后的值表示相生速率)。方法同上,x2生x5的速率便可以用比值dx2/dt来表示,x5被x2所生的速率用dx5/dt表示；令v=x2/x5,v为x2与x5的比重,x2生x5的能力便可以用|g1(x2/x5)|来表示。x2生x5的能力|g1(x2/x5)|与比重x2/x5成反比关系,当x2小于x5即x2/x51时,随着x2/x5值的减小,说明x2被x1克的越来越强烈,这样x2生x5的速率也要越快才满足最终的平衡趋势,此时x2生x5的能力也是逐渐加强的,|g1(x2/x5)|的值渐大,对x2而言,dx2/dt便是一个渐小的负值,对x5而言,dx5/dt便是一个渐大的正值；而x2与x5几近相等(即x2/x51)时,说明整个系统趋于平衡,x2生x5的能力也最弱,因此|g1(x2/x5)|0,dx2/dt0,dx5/dt0；当x2/x51时,说明x2量很大,没有受到x1的克制,x2不生x5,便有|g1(x2/x5)|=0,dx2/dt=0,dx5/dt=0。)。这样便可得到关系式:dx2/dt=-|g1(x2/x5)|=-dx5/dt(9)关系式(9)中g1未知,表示x2生x5的相生速率函数。综上所述,当v=x2/x51时,x2不再生x5,即|g1(x2/x5)|=0g1(v)=0；当v=x2/x51时,随着v=x2/x5值的减少,x2生x5的能力逐渐增强,|g1(x2/x5)|的值逐渐增大,便于与相克速率函数相同,我们把相生速率函数g1看成是负函数,这时g1(x2/x5)的值是渐小的负数。它便可以用自然对数ln替代g1函数,即g1ln(0v1)。这样做的目的是可以把相克速率函数与相生速率函数统一为一个函数表示,区别只是定义域不同,见图3。图3相生速率函数这样便得到关系式:g1(x2/x5)=0x2/x50ln(x2/x5)01(10)而其它的x3生x1的相生速率函数g2、x4生x2的相生速率函数g3、x5生x3的相生速率函数g4、x1生x4的相生速率函数g5的推导过程与x2生x5的相生速率函数g1推导过程完全相同,相生速率函数都是同一函数。便有:g1(v)=g2(v)=g3(v)=g4(v)=g5(v)=g(v)=0v0ln(v)01(11)相克速率函数f与相生速率函数g可统一为一个函数如图4,由图4可以看出,两个函数相连接组成一个自然对数函数ln,区别仅是定义域不同。在定义域(0,1)内表现为相生速率函数,在定义域(1,+)内表现为相克速率函数,因此可把f函数和g函数看成是自然对数函数ln。图4相生速率函数与相克速率函数关系图4五行学说数学模型的确定通过上面的分析,便可确定五行量之间初步的数学模型如下:dx1/dt=-|f1(x1/x2)|+|g2(x3/x1)|-|g5(x1/x4)|-|f5(x5/x1)|(12)dx2/dt=-|f2(x2/x3)|+|g3(x4/x2)|-|g1(x2/x5)|-|f1(x1/x2)|(13)dx3/dt=-|f3(x3/x4)|+|g4(x5/x3)|-|g2(x3/x1)|-|f2(x2/x3)|(14)dx4/dt=-|f4(x4/x5)|+|g5(x1/x4)|-|g3(x4/x2)|-|f3(x3/x4)|(15)dx5/dt=-|f5(x5/x1)|+|g1(x2/x5)|-|g4(x5/x3)|-|f4(x4/x5)|(16)把上面5个公式中的相生速率函数、相克速率函数用自947数理医药学杂志2007年第20卷第6期然对数代替并去绝对值简化为下面所表示的五行量之间的数学模型:dx1/dt=-ln(x1/x2)-ln(x3/x1)+ln(x1/x4)-ln(x5/x1)(17)dx2/dt=-ln(x2/x3)-ln(x4/x2)+ln(x2/x5)-ln(x1/x2)(18)dx3/dt=-ln(x3/x4)-ln(x5/x3)+ln(x3/x1)-ln(x2/x3)(19)dx4/dt=-ln(x4/x5)-ln(x1/x4)+ln(x4/x2)-ln(x3/x4)(20)dx5/dt=-ln(x5/x1)-ln(x2/x5)+ln(x5/x3)-ln(x4/x5)(21)进一步化简为:dx1/dt=ln(x12x2/x3x4x5)(22)dx2/dt=ln(x22x3/x1x4x5)(23)dx3/dt=ln(x32x4/x1x2x5)(24)dx4/dt=ln(x42x5/x1x2x3)(25)dx5/dt=ln(x52x1/x2x3x4)(26)这样五行之间便建立了(22)(26)5个关系式的数学模型。5结语此五行学说数学模型的建立是紧密依据中医五行学说理论建立起来的,应用数学语言对五行学说理论进行了较为严密的推理论述,五行学说数学模型的建立是“用数学方法解决中医问题”的一种新的尝试,此模型的建立有其重要的理论意义,为后面的其他中医理论学说模型的建立提供了一种探讨思想,希望能推动中医数学模型构建的发展。更有其现实意义的是,用于计算机模拟可建立相应的辅助软件以减少医务人员的误诊等等。在此推理过程中为利于表达加入一些必要的数学假设。如:五行平衡假设五个量相等；相生、相克速率与两个量的比重成比例关系；相生速率函数、相克速率函数都可以用函数近似代替。由于这些假设的存在,导致些许误差在所难免,希望感兴趣的专家及学者们给予批评指正。参考文献1谢华1黄帝内经1第1版1中医古籍出版社,20031TheMathematicalModelaboutTraditionalChineseMedicalScienceYuZhenfeng(DepartmentofComputingScienceofHuaiyinInstituteofTechnologyHuaian,Huaian223001)AbstractThemathematicalmodelofFiveElementsTheoryisbasedontrad