陕西省2010年高考数学论文(理科)试卷分析北师大版.doc.doc陕西省2010年高考数学论文(理科)试卷分析北师大版.doc.doc

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12010年陕西省高考数学(理科)试卷分析2010年陕西省高考题已揭开神秘的面纱,从以下几个方面谈谈本人对理科试卷的一些看法,不当之处恳请各位同仁批评指正。一、试卷综述2010年是陕西省实行新课程标准后的第一个高考年。在保持基本稳定的前提下,今年的陕西理科数学试卷的布局有所调整。总题量数改为21题,比09年减少了一个小题。命题严格遵守普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科﹒课程标准实验﹒2010年版)(以下简称考试大纲)和2010年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷考试说明(理科﹒课程标准实验版)(以下简称考试说明),遵循“有助于高等学校选拔新生,有助于中学实施素质教育和课程改革,有助于对学生创新意识、实践能力的培养”的指导思想。命题根据了陕西省高中数学教学的实际情况,重点考查高中数学的主体内容,适当考查新课标的新增内容,体现了新课程改革的理念。试卷在考查基础知识、基本技能和基本能力的基础上,突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意思的考查。试卷的知识覆盖面广,只有选修23中的第二章离散型随机变量及其分布列、期望和方差一反常态没有涉及到。命题稳中有变,稳中有新。题目数量、难度安排适宜,题目立意新颖,试卷难、中、易比例恰当。试卷具有较高的信度、效度和区分度。达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。整套试卷难度不大,比09年容易。具体,选择题中18题比较简单,9、10两题有难度。填空题中,11、12、13、15题考生容易下手,14题较难。6道解答题中,第(6)题为明显的送分题,其余每题都有一定的思维量,其中第(18)题的第(Ⅱ)问、第(20)题的第(Ⅱ)问、第(21)题相对较难一点,但也没有过难题,所以解答题区分度不是非常明显。相比较而言,选择题与填空题的区分度更好。二、知识点分布按照考试大纲和考试说明,从20个大项进行了题数和分值的统计(其中把基本初等函数Ⅱ、三角恒等变换和解三角形合并在一起)章节题号分值备注集合(1)51第(6)题是样本平均数与程序框图的综合应用。2第(8)题是圆锥曲线与平面解析几何初步的综合应用。3第(9)数列的单调性及推理与证明和常用逻辑用语综合应用。4第(10)考查考生阅读理解能力和整函数的知识的综合应用。5第(13)题是定积分与几何概型的综合应用。函数概念与基本初等函数Ⅰ(5)(10)(21)24三角函数与解三角形(3)(17)17平面向量(11)(20)18数列(9)(16)18不等式(1)(14)(21)28立体几何初步(7)(18)17空间向量与立体几何(18)122平面解析几何初步(8)56第(14)题考查实际问题建模能力及线性规划与不等式的综合应用。7第(15)(C)题表面为极坐标与参数方程化为直角坐标方程后即为直线与圆的位置关系问题。8第(17)题是实际问题建模能力与方位角及解三角形和三角变换综合应用。9第(18)题是空间向量与立体几何及空间想象能力和计算能力,推理证明能力的综合应用。10第(19)题是概率与统计的综合应用及识图用图能力和实际问题处理能力的考查。11第(20)题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系和平面向量的运算。12第(21)题主要考查函数、函数的导数、导数的几何意义和不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。圆锥曲线(8)(20)18算法初步(6)5计数原理(二项式定理)(4)5概率与统计(6)(13)(19)22随机变量及其分布列、统计案例无0常用逻辑用语(9)5导数及其应用(13)(21)19复数(2)5推理与证明(12)(18)(Ⅰ)2125几何证明选讲(15)(B)5坐标系与参数方程(15)(C)5不等式选讲(15)(A)5三、试题特点1试题稳中有变,稳中有新2010年陕西省实行新课程标准后的第一个高考年。在题目的排列顺序上,延续了一贯的由易到难的排列原则,体现高考中的人文关怀精神,有利于考生稳定情绪,顺利作答。整张试卷难度适中,可以看出陕西的数学自主命题已逐步走向成熟。在保持基本稳定的前提下,今年的陕西文理科数学试卷的布局均有所调整。总题量数改为21题,比09年减少了一个小题。在题目类型的分布上也有所变化,不仅减少了两道选择题,增加了一道填空题,而且填空题的分值也有所上升。这种变动增大了试题的区分度,更好地体现出高考试题的选拔功能。例如第(6)题、第(8)题、第(9)题、第(10)题、第(13)题、第(14)、第(19)的第(Ⅲ)问、第(20)题的第(Ⅱ)问、第(21)题都比较有新意。特别是第(14)题、第(17)题、第(19)题在情景设置上更贴近现实生活。对统计与概率的考查过去在解答题中设置两问,第一问为求事件的概率,第二问为求随机变量的分布列、期望值或方差,而今年在解答题第19却一反常态考查了抽样方法、直方图,由图获得信息求解问题。32思维量大,计算量小整套试卷无论是选择、填空,还是解答计算量都不大,推理过程也不繁杂。重点考查通性通法,避免偏题、怪题,很好地控制了运算量,加大思维量。每道解答题只要想到合理的解法很快就能解决问题。只有第(20)题的第(Ⅱ)问,如果联立方程利用借助于韦达定理解题,计算量较大一点。这完全符合新课改的理念。3注重基础知识,突出课改理念试题覆盖了高中数学中的主要知识点,突出了对主干知识的考查力度。解答题则沿袭了多年的传统做法,分别涉及函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计等内容,体现了平稳过渡的精神。同时试卷中渗入了新课改元素。例如,在对解析几何的考核中,添入了极坐标和参数方程的内容。在对题目的选配上,突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意识的考查,避免繁杂运算的理念。对选修内容的考查比例进行统计,发现约占总分值的33,完全符合考试说明的要求。统计应用题情景设置贴近生活、贴近时代,清新公平。体现了关注实际,注重应用的新课改理念。4注重考查数学的各种思想和能力41数形结合的思想数形结合的思想是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。利用这种数学思想往往能简化解题过程,在今年的高考试题中特别突出。比如第(6)、(7)、8、(13)、(14)、(15)A、B、(17)、(18)、(19)、(20)都涉及数形结合。例1、【第(14)题】(满分5分)铁矿石A和B的含铁率A,冶炼每万吨铁矿石的的排放量B及每万吨铁矿石的价格C如下表AB万吨C(百万元)A5013B700.56某冶炼厂至少要生产19万吨铁,若要求的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元答案15解析设购买铁矿石A为X万吨,购买铁矿石B为Y万吨。由题意有5070190,0052XYXYXY即57190,024XYXYXY作出不等式组表示的平面区域如图所示。目标函数为Z3X6Y,由YY2XY4CBAO5X7Y19X4571924XYXY解得A1,2,∴当目标函数Z3X6Y过点A1,2时Z最小316215(百万元)例2、【第(13)题】满分5分从如图所示的长方形区域内任取一个点M(X,Y),则点M取自阴影部分的概率为。答案13解析12311030331XDXXS影阴,3S长方形,∴所求的概率P13SS影阴长方形。例3、【第(19)题】(本小题满分12分)为了解学生身高情况,某校以10的比例对全校700名学生按性别进行出样检查,测得身高情况的统计图如下(Ⅰ)估计该小男生的人数;(Ⅱ)估计该校学生身高在170185CM之间的概率;(Ⅲ)从样本中身高在165180CM之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170180CM之间的概率。解析(Ⅰ)样本中男生人数为40,由分层出样比例为10估计全校男生人数为400。(Ⅱ)有统计图知,样本中身高在170185CM之间的学生有141343135人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170185CM之间的频率350570F,有F估计该校学生身高在170180CM之间的概率P05(Ⅲ)样本中女生身高在165180CM之间的人数为10,身高在170180CM之间的人数为4。设A表示事件“从样本中身高在165180CM之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170180CM之间”,则2112664422101022133AACCCCCCPP(或)42分类讨论的思想分类讨论思想是一种重要的数学思想,这种思想能够使我们思路清晰,处理问题井井有条,5真正做到不重不漏,养成严谨慎密的思维习惯。这种思想应该在中学数学的教学中得到充分的重视。在2010年的数学理科试题中得到充分的体现。比如第(20)、第(21)题。例4、【第(21)题】(满分14分)已知函数F(X)X,G(X)ALNX,AR。(Ⅰ)曲线YFX与曲线YGX相交,且在交点处有相同的切线,求A的值及该切线的方程;(Ⅱ)设函数HXFXGX,当HX存在最小之时,求其最小值(A)的解析式;(Ⅲ)对(2)中的(A),证明当A(0,)时,(A)1解析(Ⅰ)FX12X,GXAXX0,由已知得12LNAXXXAX,解得A2E,XE2,∴两条曲线交点的坐标为(E2,E)。切线的斜率为K2FE12E。切线的方程为YE12EXE2。【考查了函数与方程的思想、曲线求交点、导数的几何意义】(Ⅱ)由条件知12LN022AXAHXXAXXHXXXX(Ⅰ)当A0时,令HX0,解得X24A,所以当0X24A时HX0,HX在(0,24A)上递减;当X24A时,HX0,HX在(0,24A)上递增。所以X24A是HX在(0,∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是HX的最小值点。所以Φ(A)H24A2AALN24A2A1LN2A。(Ⅱ)当A≤0时,202XAHXX,HX在(0,∞)递增,无最小值。故HX的最小值Φ(A)的解析式为Φ(A)2A1LN2AAO。【考查了分类讨论的思想,导数的运算,导数的应用,不等式的解法】。(Ⅲ)由(Ⅱ)知2LN2AA,对任意的A0,B0,2LN22LN2LN422ABABAB①22LN2LNLN422ABABABAB②2242LN22LNLN42ABABABABABABAB③由①、②、③6得222ABABABAB。【考查了导数的运算,证明不等式】43函数与方程的思想今年的试卷中,更多地体现了函数与方程的思想,例如第(4)题,第(5)题,第(8)题,第(11)题,第(15)题C,第(16)题,第(20)题,第(21)题,都是利用了函数和方程的思想。例5、【第(20)题】(本小题满分13分)如图,椭圆C221XYAB的顶点为1,2,1,2AABB,焦点为1,2,FF11221122117,2ABABBFBFABSSⅠ求椭圆C的方程;Ⅱ设N是过原点的直线,L是与N垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,1,OP是否存在上述直线L使1APPB成立若存在,求出直线L的方程;若不存在,请说明理由。解析(Ⅰ)由117,AB知227AB①由112211222ABABBFBFSS知A2C,②又B2A2C2③由①②③解得A24,B23,故椭圆C的方程为22143XY。(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(X1,Y1)X2,Y2假设使1APPB成立的直线L不存在,(Ⅰ)当L不垂直于X轴时,设L的方程为YKXM。由L与N垂直相交于P点且1,OP得211MK,即221MK。∵1APPB,1,OP∴210010OAOBOPPAOPPBOPOPPBOPPAPAPB即12120XXYY,将YKXM代入椭圆方程得2223484120KXKMXM,由根与系数的关系可得122834KMXXK④212241234MXXK⑤2212121212121201XXYYXXKXMKXMKXXKMXXM。将④⑤代入上式并化简得22222214128340KMKMMK⑥7将221MK代入⑥并化简得2510K,矛盾,即此时直线不存在。(Ⅱ)当直线L垂直于X轴时,满足1,OP的直线L的方程为11XX或。当1X时A,B,P的坐标分别为331,,1,,1,022,∴330,,0,22APPB,∴914APPB。当1X时同理可得1APPB,矛盾,即此时直线也不存在。综上可知,使1APPB成立的直线L不存在。44转化与化归思想转化与化归思想的考查在整套试题中处处可见,主要体现化繁为简的转化;文字语言、图形语言、数学语言互译转化;数学形式之间的转化;知识与方法的迁移等。特别是第(12)、(13)、(14)、(15)C、(17)、(19)、(20)、(21)等题更为明显。例6、【第(15)题中C】坐标系与参数方程选做题已知圆C的参数方程为COS1SINXY为参数),以原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线L的极坐标方程为SIN1,则直线L与圆C的交点的直角坐标为。答案1,1,1,1解析将圆的参数方程化为普通方程,将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,再联立求解。45充分体现、挖掘考生的各项数学能力数学能力是指空间想象能力,抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,数据处理能力,以及应用意识和创新意识,在2009年试题中,这些能力都得到了充分的体现。451运算求解能力(1)(2)(4)(5)(7)(8)(11)(13)(14)(15)中A、C(16)(17)(20)(21)。452数据处理能力(19)。453空间想象能力(7)(18)。454抽象概括能力(6)(9)(10)(12)(14)(18)(20)(21)455推理论证能力(9)(18)(20)(21)456应用意识和创新意识(10)(13)(14)(17)(19)(21)5体现宽口径,多角度的命题思路2010年的试题中,体现命题者这样一种命题思路,即鼓励考试宽口径、多角度的思考和解决问题,不拘泥于某一解法,不局限考生的思想,每个命题尽可能让考生可以从不同角度入手,均能得到好的结果,避免思路单一,想到了就能做,想不到就失败的“华山一条道”的尴尬局面。例7、【第18题】(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,APAB2,BC22,E,F分别是AD,PC的中点。8(Ⅰ)证明PC⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。解法一(向量法)(Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系。∵APAB2,BCAD22,四边形ABCD是矩形。∴A,B,C,D的坐标为A0,0,0,B2,0,0,C2,22,0,D0,22,0,P0,0,2又E,F分别是AD,PC的中点,∴E0,2,0,F1,2,1。∴PC(2,22,2)BF(1,2,1)EF(1,0,1),∴PCBF2420,PCEF2020,∴PC⊥BF,PC⊥EF,∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EFF,∴PC⊥平面BEF。(II)由(I)知平面BEF的法向量12,22,2NPC平面BAP的法向量20,22,0NAD,128NN设平面BEF与平面BAP的夹角为Θ,则12121282,2422NNCOSCOSNNNN,4∴平面BEF与平面BAP的夹角为4解法二(综合法)(I)连接PE,EC在RTPAE和RTCDE中,PAABCD,AEDE,∴PECE,即△PEC是等腰三角形,又F是PC的中点,∴EF⊥PC,又2222BPAPABBC,F是PC的中点,∴BF⊥PC又BFEFFPC平面BEF。(Ⅱ)∵PA平面ABCD,∴PABC又ABCD为矩形,∴ABBC,∴BC平面BAP,BCPB,又由(I)知PC平面BEF∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角。在△PBC中,PBBC,∠PBC2,∴∠PCB4。∴平面BEF与平面BAP的夹角为4。9四、对今后高三复习的启示今年是我省进入新课改后的第一次高考,今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度,及高三复习的方向。我认为应该做好以下几个方面1夯实基础,落实基本知识和基本技能的学习从今年的试卷中不难看出,函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容,从本文的知识点统计中更是一目了然。试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等性质及变换;数列的基本运算及应用;不等式的求解与证明;三角函数图象与性质;空间图形的识别及线面的位置关系(包括体积和夹角);圆锥曲线的基本概念、性质及应用;几种常见类型的概率和统计图表及用样本估计总体问题等。所以今后的高三复习这些内容仍然是重中之重,只有夯实这些章节的基础知识,才能从容应对高考。2坚定新课程改革方向随着新课程改革的不断深入,执行和推广新课标是大势所趋,所以新课标中新增加的教学内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到随机变量的概率分布列、期望与方差、三角函数的图象及变换、独立性检验(22列联表)与回归分析中的基本概念和性质、统计中的散点图、茎叶图、回归直线方程等,我们在今后的高三复习中更应引起重视。3通法为主,变法为辅,培养能力重视高中数学的通性通法,倡导举一反三、一题多解和多题一解,努力培养学生“五种能力、两个意识”,即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同,必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”。前者与统计有关,后者与应用问题有关。另外,“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”,逻辑思维能力注重是演绎推理,“合情推理”也应引起我们的重视,它可以有效地培养学生的创新意识,这正是新课改大力倡导的。今年的试题中在“数据处理能力”方面体现得很明显,所以我们要加以重视。4注意立体几何的命题动向今年试题中立体几何题目,可用向量法和综合法均可解,但学生用综合法求解较出力。回归立体几何的核心培养学生的空间想象能力和推理论证能力。所以教学中不能完全依赖向量工具,也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力,也就是要适当加强学生用综合法解立体几何题的训练。【参考文献】1教育部考试中心,普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科﹒课程标准实验﹒2010年版),高等教育出版社,2010122陕西省2010年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷考试说明(理科﹒课程标准实验版),
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