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数学的完美之旅数学悖论与三次数学危机摘要古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精确的思考,也正是悖论直接导致了三次数学危机,并不断推动数学走向完整与完美。关键词数学悖论;三次数学危机;数学的完美1引言“现在我说一句假话。”这句话是真是假“悖论PARADOX”,也可叫“逆论”或“反论”。悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾、语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾。“一般而言,悖论的某个答案单独看是很有说服力的,而势均力敌的对手之间的‘拉锯战’则使问题保持了生气。”1悖论有四种主要形式。1.一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。2.一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)3.某一理论的公理和推理原则看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题“悖论是有趣的”是每一个接触过悖论的人的感受;“悖论是极其重要的”接受这一观点的人却少之又少。但请不要小看悖论,生活中存在悖论,如“涂写一个告示,上书不准涂写”2古今中外也有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精确的思考,也正是悖论直接导致了三次数学危机,并不断推动数学走向完美。2第一次数学危机“在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。”3这句话很精确地道出了三次数学危机的本质。公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯考虑了一个问题边长为1的正方形其对角线长度是多少呢这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。这一个小小的2不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上任何量都“应该”表示成有理数。可是这一为人们的经验所确信的常识性论断居然被小小的2的存在而推翻了希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,它成为一场巨大数学风波的导火索,直接触发了第一次数学危机。但也正是希帕索斯的发现,让人们认识到直觉、经验乃至实验都不是完全可靠的,推理论证才是可靠的。促使人们进一步去认识和理解无理数,引导古希腊数学走向一条迥异于其它古代民族数学的发展道路,从而开始了几何优先发展的时期。虽然这一做法一度阻碍了代数的发展,但之后,数学家逐步解决了这一由主观认识错误而造成的悖论,使数学获得长足进步。3第二次数学危机
编号:201402160857010907    类型:共享资源    大小:37.50KB    格式:DOC    上传时间:2014-02-16
  
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