有理数的概念经典例题透析.doc.doc

经典例题透析类型一：有理数分类的问题1：请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里。1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,.正整数集合:负整数集合:整数集合:正分数集合:负分数集合:分数集合:思路点拨:这种关于有理数的分类问题，关键是要掌握各种数的概念。小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数。有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它们都是分数。解析：正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数：-3.88，；分数：0.0708，3.14159265，-3.88，总结升华：有理数包括整数和分数，分数包含有限小数和无限循环小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，比如等。所以，我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一部分数不是有理数，那么这部分数我们将在今后学习研究。举一反三：【变式1】在数-100,70.8,-7,-3.8,0,中,不是分数的是_；不是小数的是_；不是有理数的是_。【答案】-100，-7，0，；-100，-7，0，；，。【变式】下列四种说法，正确的是().(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数【答案】类型二：正负数的概念1：若把向北走7km记为7km，则10km表示的含义是（）A.向北走10kmB.向西走10kmC.向东走10kmD.向南走10km思路点拨：“正”和“负”相对，7km表示向北走7km，则10km表示向南走10km.答案：D总结升华：在一对具有相反意义的量中，若先规定一个为正，则另一个就用负表示；若先规定一个为负，则另一个就用正表示。举一反三：【变式】(1)如果收入300元记作+300元，那么支出500元用_表示，0元表示_.(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？答案：(1)-500元；既没有收入也没有支出.(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示。类型三：与数轴相关的问题1:数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_.思路点拨:到原点的距离等于5.5的点既可以在原点左边，也可以在原点右边，因此这样的点有两个。解析：5.5或-5.5总结升华：与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小。2：如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_.思路点拨:数轴上的点表示的数右边的比左边的大。因此，被污染的部分的数大于-1.3，小于2.6，再考虑这一范围内的整数即可。解析：-1,0,1,2总结升华：利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用，要能由“形”看出“量”的一些关系。举一反三：【变式1】实数在数轴上表示如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【变式2】一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是_.【答案】-2【变式3】数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_.【答案】-2或-4类型四：与相反数相关的问题1：（1）的相反数是_，3与_互为相反数（2）的相反数是_，的相反数是_，的相反数是_.（3）0的相反数是_.（4）已知那么的相反数是_.已知，则a的相反数是_.思路点拨:(1)代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，O的相反数是0相反数必须成对出现，不能单独存在例如+5和5互为相反数，或者说+5是5的相反数，5是+5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开例如+3与3互为相反数，而+3与2虽然符号不同，但它们不是相反数(2)几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等这两点是关于原点对称的(3)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可一般地，数a的相反数是a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式注意a不一定是负数注意：当aO时，a0(正数的相反数是负数)；当a=O时，a=O(0的相反数是0)；当a0时，aO(负数的相反数是正数)(4)互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为相反数(5)多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.解析：（1），3；（2）m,-(-m+1),-(m+1)；(3)0(4)-9,9总结升华：求相反数时，要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件，即“符号不同而数字相同”的两个数。举一反三：【变式1】(1)一个数的相反数的倒数是-4,这个数是_.(2)如果与-3互为相反数,那么等于()A.3B.-3C.D.【答案】(1)(2)A类型五：与绝对值相关的问题：的绝对值是_.思路点拨:（1）取绝对值也是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.（2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.（3）任何一个有理数都是由两部分组成：符