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2011年高中数学辅导-高考数学解题思想方法大全2011年高中数学辅导-高考数学解题思想方法大全 -- 5 元

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高中数学解题思想大全目录前言2第一章高中数学解题基本方法3一、配方法3二、换元法7三、待定系数法14四、定义法19五、数学归纳法23六、参数法28七、反证法32八、消去法九、分析与综合法十、特殊与一般法十一、类比与归纳法十二、观察与实验法第二章高中数学常用的数学思想35一、数形结合思想35二、分类讨论思想41三、函数与方程思想47四、转化(化归)思想54第三章高考热点问题和解题策略59一、应用问题59二、探索性问题65三、选择题解答策略71四、填空题解答策略7733附录一、高考数学试卷分析二、两套高考模拟试卷三、参考答案前言美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去套,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查①常用数学方法配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等②数学逻辑方法分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等③数学思维方法观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等④常用数学思想函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说,知识是基础,方法是手段,思想是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是能力。为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。44第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧,从而完成配方。有时也将其称为凑配法。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如a2+b2=a+b2-2ab=a-b2+2aba2+ab+b2=a+b2-ab=a-b2+3ab=a+b22+(32b)2a2+b2+c2+ab+bc+ca=12a+b2+b+c2+c+a2a2+b2+c2=a+b+c2-2ab+bc+ca=a+b-c2-2ab-bc-ca=结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2x2+12x=x+1x2-2=x-1x2+2等等。Ⅰ、再现性题组1.在正项等比数列{an}中,a1a52a3a5a3a725,则a3+a5=_______。2.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。A.141C.k∈RD.k=14或k=13.已知sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为______。A.1B.-1C.1或-1D.04.函数y=log12-2x2+5x+3的单调递增区间是_____。A.(-∞,54B.54,∞C.-12,54D.54,35.已知方程x2a2xa10的两根x1、x2,则点Px1,x2在圆x2y24上,则实数a=_____。55【简解】1小题利用等比数列性质ampamp=am2,将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是5。2小题配方成圆的标准方程形式x-a2+y-b2=r2,解r20即可,选B。3小题已知等式经配方成sin2α+cos2α2-2sin2αcos2α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题答案3-11。Ⅱ、示范性题组例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6【分析】先转换为数学表达式设长方体长宽高分别为x,y,z,则211424xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24而得211424xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为xyz222=xyzxyyzxz22=6112=5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x2+kx+20的两实根为p、q,若pq2qp2≤7成立,求实数k的取值范围。【解】方程x2+kx+20的两实根为p、q,由韦达定理得p+q=-k,pq=2,pq2qp2=pqpq442=pqpqpq2222222=pqpqpqpq2222222=k22484≤7,解得k≤-10或k≥10。又∵p、q为方程x2+kx+20的两实根,∴△=k2-8≥0即k≥22或k≤-22综合起来,k的取值范围是-10≤k≤-22或者22≤k≤10。【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式Δ已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对△讨论,结果将66出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对△的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a2+ab+b20,求aab1998+bab1998。【分析】对已知式可以联想变形为ab2+ab+1=0,则ab=ω(ω为1的立方虚根)或配方为a+b2=ab。则代入所求式即得。【解】由a2+ab+b20变形得ab2+ab+1=0,设ω=ab,则ω2+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以1=ba,ω3=3=1。又由a2+ab+b20变形得a+b2=ab,所以aab1998+bab1998=aab2999+bab2999=ab999+ba999=ω999+999=2。【注】本题通过配方,简化了所求的表达式巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由a2+ab+b2=0变形得ab2+ab+1=0,解出ba=132i后,化成三角形式,代入所求表达式的变形ab999+ba999后,完成后面的运算。此方法用于只是未132i联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a2+ab+b2=0解出a=132ib,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。Ⅲ、巩固性题组1.函数y=x-a2+x-b2(a、b为常数)的最小值为_____。A.8B.ab22C.ab222D.最小值不存在2.α、β是方程x2-2ax+a+6=0的两实根,则α12β12的最小值是_____。A.-494B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2x+8y有_____。A.最大值22B.最大值22C.最小值22B.最小值224.椭圆x2-2ax+3y2+a2-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。A.2B.-6C.-2或-6D.2或65.化简218sin+228cos的结果是_____。A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4-2sin4776.设F1和F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是_________。7.若x-1,则fx=x2+2x+11x的最小值为___________。8.已知2〈β0②是否存在一个实数t,使当t∈mt,nt时,fx1,t1,m∈R,x=logst+logts,y=logs4t+logt4s+mlogs2t+logt2s,①将y表示为x的函数y=fx,并求出fx的定义域②若关于x的方程fx=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。88二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=x+1x的值域时,易发现x∈0,1,设x=sin2α,α∈0,2,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=S2+t,y=S2-t等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈0,2。Ⅰ、再现性题组1.y=sinxcosx+sinxcosx的最大值是_________。2.设fx2+1=loga4-x4(a1),则fx的值域是_______________。3.已知数列{an}中,a1=-1,an1an=an1-an,则数列通项an=___________。4.设实数x、y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。5.方程1313xx=3的解是_______________。6.不等式log22x-1log22x1-2〈2的解集是_______________。99【简解】1小题设sinxcosx=t∈-2,2,则y=t22+t-12,对称轴t=-1,当t=2,ymax=12+22小题设x2+1=tt≥1,则ft=logat12+4,所以值域为-∞,loga43小题已知变形为11an-1an=-1,设bn=1an,则b1=-1,bn=-1+n-11=-n,所以an=-1n4小题设x+y=k,则x2-2kx+1=0,△=4k2-4≥0,所以k≥1或k≤-15小题设3x=y,则3y2+2y-1=0,解得y=13,所以x=-16小题设log22x-1=y,则yy+12,解得-2y1,所以x∈log254,log23。Ⅱ、示范性题组例1.实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5(①式),设S=x2+y2,求1Smax+1Smin的值。(93年全国高中数学联赛题)【分析】由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1,于是进行三角换元,设xSyScossinαα代入①式求Smax和Smin的值。【解】设xSyScossinαα代入①式得4S-5Ssinαcosα=5解得S=10852sinα∵1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴1013≤1085sin≤103∴1Smax+1Smin=310+1310=1610=85此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=810SS的有界性而求,即解不等式|810SS|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的有界法。【另解】由S=x2+y2,设x2=S2+t,y2=S2-t,t∈-S2,S2,
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wodedtt上传于2014-03-29

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