材料力学第07章(弯曲变形)-06 (2)

71 工程中的弯曲变形问题 72 挠曲线的微分方程 73 用积分法求 弯曲变形 74 用叠加 法求 弯曲变形 75 简单超静定 梁 76 提高弯曲刚度的一些措施 第七章 弯曲变形 71 工程中的弯曲变形问题 P l F 横截面绕其中性轴转动的角度。 1.挠度 w ： 2.转角 ： 二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： w =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 ta n 条件：小变形 F x w w C C1 与 w坐标同向为正，反之为负。 ddxw横截面形心在垂直于 x轴方向的线位移。 反时针转动为正。 72 挠曲线的微分方程 zEIM 1在纯弯曲时 EIz 梁的抗弯刚度。 M M d23)1(12ww 由 72 挠曲线的微分方程 zEIxM)(1 在横力弯曲时， 忽略剪力对梁位移的影响 或： 23)1(12ww zEIM 1在纯弯曲时 F x x w w x 0w挠曲线近似微分方程 11 2 wzEIxMw )( zEIxMww )()1( 232 在小变形的条件下， zEIxMw)(0w取“ +” 取“ +” w x 0M0MM M M M )( xMwEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： xxMwEI d)(E Iw 73 用积分法求 弯曲变形 积分常数 C、 D由边界条件确定。 CCx D xxxM d)d)(挠曲线近似微分方程 zEIxMw)( 求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。 （ 1） 建立坐标系并写出弯矩方程 )()( xlFxM （ 2） 写出 微分方程并积分 （ 3） 应用位移边界条件 求积分常数 )( xMwEI wEI361 Fx，0 D 0C解： 例 1 当 x =0时， wA=0， x w x F l A B wA= A= 0 FxFl FxFl 221 FxFlx CEIw Cx D221 F lx(4)写出挠曲线方程并画出曲线 )3(6 32 xlxEIFw )2(2 2xlxEIF )3(6 32 xlxEIFw )( 33m a x EIFlw(5)最大挠度及最大转角 x w F l )2(2 2xlxEIF A B max wmax x=l 时， ) ( 22m a x EIFl例 2 222)( xqxqlxM 解： )( xMwEI 24 xqlwEI 312 xqlE I w 边界条件 : 当 x=0 时， wA= 0 (1) 当 x=l 时， wB= 0 (2) 由（ 1）得 D= 0 由（ 2）得 Cllqql 4424120243qlC 求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。 q A B x x w 2qlFFBA FA FB 222 xqxql 36xq C424xq CxDl 24641 332 qlxqxqlEI xqlxqxqlEIw2424121 343时，和当 lxx 0时，当 2lx )( 3845 4m a xEIqlwEIql243m a x 最大挠度及最大转角 x q A B w B A wmax l 例 3 11 )( xFxM A解： )( 11 xMwEI 211 2 xFwEI A1131 16 xCxFE I w A 22 )( xFxM A)( 22 xMwEI 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A FlbF A l F A B D a b FA FB x x1 x2 求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。 1xF A)( 22 axFxF A 22 )(2 axF 2Cw )( 2 axF 1C1Dl F A B D a b w x x1 x2 边界条件 : 当 x1=x2=a 时， w1=w2 (3) 当 x2=l时， w2=0 (2) 连续条件 : 当 x1=0时， w1=0 (1) 光滑条件 : 当 x1=x2=a 时， w1=w2 (4) A B D a b D A B a b F F 1211 2 CxFwEI A 11131 16 DxCxFE I w A 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A 22 )(2 axF 2Cl F A B D a b w x x1 x2 当 x1=x2=a 时， w1=w2 (3) 连续条件 : 光滑条件 : 当 x1=x2=a 时， w1=w2 (4) 由（ 4）得： C1=C2 由（ 3）得： D1=D2 1211 2 CxFwEI A 11131 16 DxCxFE I w A 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A 22 )(2 axF 2Cl F A B D a b w x x1 x2 由（ 4）得： C1=C2 由（ 3）得： D1=D2 边界条件 : 当 x2=l时， w2=0 (2) 当 x1=0时， w1=0 (1) 由（ 1）得： D1=0， 由（ 2）得： 0)(66 2332 lCalFlFE I w A)(6 2212 bllFbCC D2=D1=0 确定 最大转角 当 x1=0时， A= )(6 blE I lF b a 当 x2=l时， B= )(6 alE I lF a b Bba m a x l F A B D a b w x x1 x2 0, 0 BA )(3 baEI lFb a D 最大挠度发生在 AD段。 确定 最大挠度 0, 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l 确定 最大转角 当 x1=0时， A= )(6 blE I lF b a 当 x2=l时， B= )(6 alE I lF a b Bba m a x l F A B D a b w x x1 x2 0, 0 BA )(3 baEI lFb a D 最大挠度发生在 AD段。 确定 最大挠度 0, 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l l F A B D a b w x x1 x2 , 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l llxb 577.03 , 0 0 EIF b lw39 2m a x EIF b lwl 483 22 %65.222m a x llwww A B F l/2 w x l/2 , 时当 ba EIFl w wl/ 4832m a x EIFl162 m a x maxw w m ax F l 其中 称为许可转角； 称为许可挠度。 wF 梁的刚度条件 F A B l 桥梁 )1 0 0 02 5 0(llw l 桥式起重机 )750500(llw 一般用途的轴 )100005100003( llw 齿轮或轴承处 r a d 001.0 q A B 74 用叠加 法求 弯曲变形 叠加原理 :多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 叠加原理的使用条件： 小变形、材料在线弹性范围内工作。 = q F A C B + F A B 按叠加原理求 C点挠度 和 A点转角。 解、 (1)载荷分解如图 (2)查表计算简单载荷引起的变形。 EIaFwFC 48)2()( 3EIaqwqC 384)2(5)( 4 + = EIFa63EIqa245 4qCFCC www )()( EIFa63 )(例 1 EIqa245 4B q F A C a a (wC)q A B q (wC)F F B A qAFAA )()( )43(12 2qaFEIa EIFa42EIqa33EIaFFA 16)2()( 2EIaqqA 24)2()( 3+ A B q F B A (A)q (A)F 利用 变形表 求 B点挠度。 例 5 B F F A C a a 变形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B B F A C B F A C a a w1 w2 C 1 变形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B B F F A C a a 解 : 1wEIaFw3)2( 32 EIFa65 3EIFa65 321 www B EIFa611 3 )(EIFa38 3EIFa3 3aw CC 11 21 www B EIFa38 3aEIFa 2 2B F A C B F A C a a w1 w2 C 1 变形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B F A a a a C EIFawG 1211 321 ww 22 ww G )(例 6 按叠加原理求跨中 G点挠度。 F A C F E D G a a a w1 w2 12 ww G 解： 查第 190页第 9栏 EIFa2423 348 )4)3(3( 222EIaaFa 22 wA C F a a a A B C l a C w2 F A B C l a 用 逐段刚化法 求 B点挠度。 = + F l a A B C 等价 等价 21 www B F B l a A C 刚化 AC段 刚化 BC 段 F M=Fa 例 7 w1 B C F a w1 w2 EIFaw3 31 aw C 2 aEIMl 3EIF la3221 www B EIFa33EIF la32aEI lFa 3 )()(解： F l a A B C B C F a w1 M=Fa C A B C l a w2 例 求跨中 C点挠度。 F A C a D B a a a F/2 wB C D B a a F/2 wB2 C D B a a Fa/2 F/2 wB2 C D B a a F/2 wB C D B a a F/2 wB1 C D B a a 例 F A C B 2a a 求 C点的水平和垂直位移。 F A C B 2a a F A C B 2a M=Fa A B M=Fa A q l B 75 简单超静定 梁 A l B 静定 梁 超静定 梁 一次静不定 静定 梁 超静定 梁 一次静不定 A A q A l 解题步骤： (4)比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。 FB 用 比较变形法 解超静定 梁 （ 1）去掉 多余约束得到静定基。 A B （ 2）加上原载荷。 （ 3）加上多余约束反力，得到相当系统。 （ 5）在相当系统上求其他量。 已知： q、 EI、 l 试画出梁的弯矩图 q 0Bw= 比较变形法 EIlFw BF B 3303 834 EIlFEIql BqlF B 83 q A B qw+ FB A B BFw EIqlw q 8 4方向假设正确，向上 解： BFqB www 0变形协调方程： FB A B q A B q 85 qlFA 8 2qlM A 85qlFS图 83ql+ M图 82ql1289 2ql + 画剪力图和弯矩图 FA MA FB ql83A B q 85qlFS图 83ql+ FA MA FB ql83l A B q M图 22ql qlFS图 + M图 82ql1289 2ql + 最大弯矩将增加 3倍 3 88 2222qlqlql若没有支座 B，则梁内最大弯矩将增加： l A B q A l q M图 22ql M图 82ql1289 2ql + 变形协调方程： 0 MqA 静定基的另一种取法： MA A l q A B l q lw B 结构如图，求 BC 杆拉力。 FN = + l1 EAq l A B C EIl B 解： NFqB www EIlFEIql3 83N4变形协调方程 q A B wB EAlFEIlFEIql 1N3N43 8 例 10 EAlFl 1Nq A B FN A B )3(8314NEIlAlIqlF解得：例 6 已知： EI=5 103 kNm 2。绘梁的剪力图和弯矩图 FB 30kN A B 4m 3m 2m 20kN/m C D 30kN A B 4m 3m 2m 20kN/m C D 30kN 20kN/m 例 6 MB 已知： EI=