小学数学解题思路技巧49doc(一、二年级用)【老师手中宝、家长身边的贴心家教】

余数的妙用 知识要点 1被除数 =除数商余数； 2余数要比除数小； 3会解有余数除法的应用题。 范例解析 例 1 如图 1-1。把 14 个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？ 解 14 3 = 4 余 2 每班分得 4 个还余 2 个。 例 2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？ 解 第一个竖式不对，它的余数 8 比除数 5 还大，还可商 1，即商应为 8； 第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数； 第三个竖式是对的，余数 3 小于除数 5。 说明 计 算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是： 被除数 = 除数商余数 被除数余数 = 除数商 例 3 把 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17 分别除以 3 时，各得哪些余数？ 解 11 3 = 3 余 2； 12 3 = 4 余 0； 13 3 = 4 余 1； 14 3 = 4 余 2； 15 3 = 5 余 0； 16 3 = 5 余 1； 17 3 = 5 余 2。 说明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处 呢！ 例 4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装 50 只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？ 解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组， 50 只灯泡可以分成 50 6 = 8（组）余 2（只） 于是，其中有四种颜色的灯泡各配 8 只，另两种颜色的灯泡各配 9 只。 例 5 今天是星期三，再过 20 天是星期几？ 解 今天是星期三，因为一个星期有 7 天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了 3 天。所以有 （ 20 3） 7 = 3 余 2 即再过 20 天是星期二。 例 6 把 4、 7、 18、 2 四个数填入下式的括号中。 （ ）（ ） = （ ）余（ ） 分析 第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数 18。其次，除数比余数要大，因此，第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是 7 4 大于 18，所以最后一个括号中只能填数 4。即题中式子填数如下： （ 18 ）（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ） 思路技巧 正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。 习题精选 看 图填数。 11 3 = _( 根 ) _（ 根 ） 14 4 = _( 份 ) _（ 个 ） 14 3 = _( 个 ) _（ 个 ） 下面各题的计算对吗？把不对的改过来。 38 5 = 6 8 49 6 = 7 7 49 8 = 5 9 33 4 = 8 1 2 1 = 1 1 17 3 = 5 2 （ ）里最大能填几？ （ ） 8 55 （ ） 5 19 （ ） 7 33 （ ） 9 62 （ ） 6 50 （ ） 4 14 55 除以 7，商几余几？除以 8 呢？除以 9 呢？ 被 4 除没有余数的： _ 被 9 除没有余数的： _ 用下面各数除以 2 时，得到哪些余数？除以 4 时，得到哪些余数？ 11、 13、 14、 15、 17、 19 用下面各数分别除以 5、 6 时，各得到哪些余数？ 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17 把 23、 7、 3、 2 填入两个式子中，使它们的余数相同。 （ ）（ ） = （ ）（ ） （ ）（ ） = （ ）（ ） 下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？ （ ） 7 = （ ） 1 （ ） 6 = （ ） 5 （ ） 5 = （ ） 4 在里填上适当的数。 在机场 上停着 20 架飞机，准备每 3 架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ 把 16 张风景画片平均分给 5 个同学，每人分得几张？还剩几张？ 把 16 张风景画片分给同学，每人分得 5 张，可以分给几个同学？还剩几张？ 一件衬衣前面要钉 5 个纽扣，袖口要钉 2 个纽扣，一共要钉几个纽扣？ 现有 45 个纽扣，每件钉 7 个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？ 有 30 千克水果糖，每盒装 4 千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？ 一个星期有 7 天，十月份有 31 天，十月份里有几个星期零几天？ 学校开会庆 “六一”，有 9 面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？ 学校开会庆“六一”，有 9 面彩旗，会场两边各插 4 面旗，中间插 1 面旗，共插了几面旗？ 小学二年级下应用题精编（ 3） 1、本书有 680 页，小晨第一天看了 328 页，第二天看了 285 页。这本书还有多少页没看？ 2 爸爸带了 980 元钱。买一辆自行车用去 276 元，买一台电风扇用去 189 元。爸爸还剩多少元？ 3、小明有 186 张画片，送给小方 98 张，送给小云 35 张。小明还剩多少张？ 4、学校图书室有 684 册故事书。一年级同学借去 179 册，二 年级同学借去 134 册。图书室还剩多少册故事书？ 5、王爷爷养了 348 只鸡。昨天卖了 156 只，今天卖了 97 只，还剩多少只鸡？ 6、二（ 1）班有男生 19 人，女生 14 人。二（ 2）班比二（ 1）班少 2 人。二（ 2）班有多少人？ 7、农场养了 348 只公鸡， 295 只母鸡。养鸭的只数比鸡的只数多 68 只。农场养了多少只鸭？ 8、同学们做红花 208 朵，黄花 167 朵。做绿花的朵数比红花和黄花的总数少 59 朵。做绿花多少朵？ 9、小云有邮票 138 张，小军有邮票 175 张。小明的邮票的张数比小云和小军的总数多 37 张。小明有多少张邮票？ 10、学校原来有 680 本练习本，用去 478 本。又买来 350 本。学校现在有多少本练习本？ 11、汽车原来有 37 人，到小庄站下去 19 人，到新村站又上来 8 人。现在车上有多少人？ 12、原来有 95 张白纸，上星期用了 67 张，这星期又买来 53 张。小方现在有几张白纸？ 13、体育队有 17 人，合唱队有 45 人。舞蹈队的人数比体育队和合唱队的总人数少 4 人。舞蹈队有多少人？ 14、小明看一本 430 页的书，第一天看了 147 页，第二天看了 108 页。这本书小明还有多少页没看？ 15、奶奶养了 24 只鸡，养鸭的只数比鸡多 16 只。养鹅的只数比 鸭少 8 只。奶奶养了几只鹅？ 16、体育室有 235 根跳绳。上午借出 87 根，下午借出 104 根。还剩多少根跳绳？ 17、同学们做纸花。做红花 258 朵，做黄花 175 朵，做白花 64 朵。同学们一共做了多少朵花？ 18、小东有 248 张画片，送给小方 39 张，送给小明 73 张。小东还剩多少张画片？ 19、同学们拍球。小军拍了 108 下，小红比小军多拍了 47 下，小方比小红少拍 13 下。小方拍了多少下？ 20、一辆公共汽车上原来有 43 人。到中心站下去 24 人，到花园站又下去了 5 人。车上现在还有多少人？ 21、小明买一枝铅笔用去 8 角钱，买 一块橡皮用去 5 角。他付给营业员 2 元钱。应找回多少钱？ 22、同学们做纸花。做红花 371 朵，做黄花 168 朵，做白花的朵数比红花和黄花的总朵数少35 朵，同学们做白花多少朵？ 23、李老师有 415 本练习本，发给二年级同学 196 本，一年级同学 208 本。李老师还剩多少本？ 24、农场有公鸡 286 只，母鸡 357 只。养的鸭比鸡的只数少 194 只。农场养鸭多少只？ 25、火车从扬州站出发，车上有 343 人，到达镇江站下去 167 人，到达南京站又上来 209人。这时火车上有多少人？ 26、二年级有男生 47 人，女生 55 人。三年级比二年 级多 14 人，三年级有多少人？ 27、同学们做纸花，第一组做了 168 朵，第二组做了 204 朵，第三组做的和第二组同样多。三个组一共做了多少朵花？ 28、同学们去植树，一年级栽了 47 棵，二年级栽了 54 棵，三年级栽的比一、二年级栽的总棵数少 17 棵。三年级栽了多少棵树？ 29、小方看一本 548 页的书。第一天看了 146 页，第二天看了 207 页。这本书还有多少页没看？ 30、小明有 34 个红球， 28 个黄球和 76 个白球。小明一共有多少个球？ 31、军军有 309 张画，方方有 196 张画。小红比军军和方方的总张数少 254 张。小红有多 少张？ 32、学校买来 89 个球，其中 25 个是篮球， 37 个是排球，剩下的是皮球。皮球有多少个？ 33、校栽了 45 棵杨树，柳树比杨树少 17 棵，水杉树比柳树多 31 棵。水杉树有多少棵？ 34、同学们做纸花。做红花 107 朵，做黄花 35 朵，做白花 26 朵。做红花的朵数比黄花和白花的总朵数多几朵？ 35、小红有 64 张纸。做纸花用去 27 张，做纸船用去 19 张。小红还剩多少张纸？ 36、一辆火车上原有 967 人。先下去 288 人，后来又上来 105 人。火车上现在有多少人？ 37、家里原来有 43 个苹果，妈妈又买来 15 个，小明吃了 19 个。 现在还有多少个苹果？ 38、图书室原来有 543 本童话书。借给二年级 106 本，给借三年级 264 本。还剩多少本 39、学校举行运动会，二（ 1）班男生得了 28 分，女生得了 24 分，二（ 2）班比二（ 1）班多得了 5 分，二（ 2）班得了多少分？ 40、商店里有 4 盒皮球，每盒 6 个。卖出 20 个，还剩多少个？ 41、一辆汽车里有乘客 32 人，到邮电大楼站下去 9 人。又上来 13 人，这时车上有乘客多少人？ 42、三年级买来科技书 18 本，故事书 24 本。把这些书平均分给三年级六个班，平均每个班分多少本？ 43、学校开展植树活动，运回树苗 76 棵。五年级领走 27 棵，六年级领走 33 棵，还剩下多少棵树苗？ 44、幼儿园买了 48 个白皮球， 24 个花皮球，平均分给 9 个班，每班分得几个？ 45、小芳看一本书，每天看 5 页， 9 天后还剩 56 页，这本书一共多少页？ 46、学校买粉笔，白粉笔比彩色粉笔多 42 盒，彩色粉笔 39 盒，买了多少盒白粉笔？ 47、同学们参加方块队训练，三年级 34 人，四年级 47 人，每 9 人一行，应排几行？ 48、植树节四、五年级同学种了 108 棵柳树，还种了 3 行杨树，每行 7 棵。 （ 1）种的杨树比柳树少多少棵？ （ 2）四年级比五年级少多少棵树？ （ 3）四 、五年级共种树多少棵？ 1、原来有 22 人看戏，来了 13 人，又走了 6 人，现在看戏的有多少人？ 2、面包房做了 54 个面包，第一组买了 22 个，第二组买了 8 个，还剩多少个？ 3、男生有 22 人，女生有 21 人，其中有 16 人参加比赛，还有多少人没参加？ 4、三个小组一共收集了 94 个矿泉水瓶，第一组收集了 34 个，第二组收集了 29 个，第三组收集了多少个？ 5、汽车里有 41 人，中途有 13 人上车， 9 人下车，车上现在还有多少人？ 6、小红有 28 个气球，小芳有 24 个气球，送给幼儿园小朋友 15 个，还剩多少个？ 7、小军和小丽做灯笼 ，小军做了 21 个，小丽做了 18 个，送给老师 50 个，他们还要做多少个？ 8、故事书有 74 页，小丽第一天看了 20 页，第二天看了 23 页，还剩多少页没有看？ 9、羊圈里原来有 58 只羊，先走了 6 只，又走了 7 只，现在还有多少只？ 10、小东上午做了 10 道数学题，下午做的比上午多 3 道，小东一共做了多少道？ 11、小红看故事书，第一天看了 15 页，第二天看的比第一天少 6 页，两天一共看了多少页？ 12、小明今年 8 岁，爸爸今年 35 岁。爸爸 50 岁时，小明多少岁？ 13、小东今年 6 岁，妈妈今年 30 岁。小东 12 岁时，妈妈多少岁？ 14、爸爸、妈妈和哥哥都掰了 9 个玉米，我掰了 6 个，我们家一共掰了多少个玉米？ 15、小明种了 5 行萝卜，每行 9 个。送给邻居 15 个，还剩多少个？ 16、会议室里，单人椅有 30 把，双人椅有 8 把，一共能坐多少人？ 17、食堂运来 3 车大米，每车 8 袋，吃掉 18 袋后，还剩多少袋？ 18、有 40 人要过河，租 8 条小船（每条小船限乘 4 人）和 1 条大船（每条大船限乘 6 人），够坐吗？ 19、小明买一支钢笔花了 8 元，买书包的钱是买钢笔的 6 倍，小明一共花了多少钱？我有50 元，要买一件 29 元的衣服和一副 18 元的眼镜，还剩多少元？（两种方法） 20、小李有 43 张邮票，小生的邮票比小李多 9 张，小英的邮票比小生少 14 张。（ 1）小生有邮票多少张？ （ 2）小英有邮票多少张？ （ 3）他们三人一共有邮票多少张？ 21、小明和爸爸、妈妈一起去动物园玩，用 20 元买票够吗？ 票价：儿童票每张： 5 元；成人票每张： 8 元。 23、 2002 年世界杯亚洲区十强赛 B 组得分，中国队主场得分 12 分，客场得分比主场得分少5 分，中国队的总分 是多少分？ 24、 2002 年世界杯亚洲区十强赛 B 组得分，卡塔尔队主场得分 3 分，客场得分是主场得分的 2 倍，卡塔尔队的总分是多少分？ 25、 小明今年 8 岁，爸爸的年龄是小明的 4 倍，爸爸比小明大多少岁？ 26、小刚存了 8 元，小兵存的是小刚的 9 倍，小兵和小刚一共存了多少钱？ 27、 6 个小朋友要折 80 只纸鹤，每人已折了 9 只，还要折多少只？ 12 元能买 3 辆小汽车，要买 5 辆小汽车要多少元？ 28、有 2 箱水，每箱有 8 瓶，把这些水平均分给 4 个同学，每个同学能分几瓶？ 29、 2 张纸可以做 8 朵花， 5 张纸能做多少朵？ 30、同学们去公园划船，每 6 人一组，需要 4 条船。如果每 8 人一组，需要几条船？ 31、张姨用 15 元买了 3 双鞋，买 5 双鞋要多少元？ 32、王老师买 8 条跳绳 用了 40 元，一个皮球比一条跳绳贵 3 元，一个皮球多少元？ 33、有 4 篮苹果，每篮 9 个，把苹果平均分给 6 个小朋友，每人几个？ 34、小红每天做 8 朵红花，做了 3 天。她要把红花奖给 6 个小朋友，平均每人多少朵？ 35、妈妈买了 3 个茶杯用去 24 元，爸爸买了 4 个碗用去 36 元。茶杯和碗哪个贵？贵多少？ 40、 25 人用一条船过河，每次只能坐 5 人，要几次才能过完？ 41、有 4 只小兔，小猴的只数是小兔的 3 倍，现在每 2 只小猴分成一组去抬东西，可以分成几组？ 42、 3 个小动物吃了 12 个苹果， 7 个小动物要吃多少个苹果？ 43、一本故事 书 24 页，小红每天看 6 页，几天看完？这本故事书小明 8 天看完，每天要看几页？ 44、小东有 4 元，小明的钱的小东的 3 倍。小明买 6 个本子刚好把钱用完，每个本子几元？ 45、小朋友吃早餐，每 6 人坐一张桌子，要坐 2 张桌子，一共有多少人？ 46、妈妈买了 4 盒彩笔，每盒 8 支，用去了 15 支，还剩多少支？ 47、小明和小红写字，小明写了 3 行，每行 6 个，小红写了 15 个，谁写得多？多几个？ 48、小明和小红写字，小明写了 3 行，每行 6 个，小红写了 4 行，每行 5 个，两人一共写了多少个？ 49、操场上有 6 行，每行 6 人，如果排成 4 行，每行 有多少人？ 50、有 24 张画，平均挂在 6 间教室，每间教室有多少张？ 1、商店里有 4 盒皮球，每盒 6 个，卖出 20 个，还剩多少个？ 例 2 商店里有 4 盒皮球，每盒 6 个，卖出 20个，还剩多少个？ 小明有 6 套画片，每套 3 张。又买来 4 张，现在有多少张？ （ 1）工厂先盖了 5 排房，每排 9 间。又盖了 15 间，一共盖了多少间房？ （ 2）同学们栽了 4 行果树，每行 6 棵。有 15 棵是杏树，剩下的是桃树。栽了多少棵桃树？ （ 3）食堂买来 60 棵白菜，吃了 56 棵。又买来 30 棵，现在有多少棵？ （ 4）商店里有 9 袋乒乓球，每袋 5 个。卖了 28 个，现在还 有多少个乒乓球？ （ 1）同学们做了 40 朵花，送给托儿所 30 朵，还剩多少朵？ （ 2）同学们分 5 组做纸花，每组做 8 朵。送给托儿所 30 朵，还剩多少朵？ （ 3）老师出了 20 道乘法算式， 16 道除法算式。小华算了 32 道，还有几道没算？ （ 4）老师出了 4 栏算式，每栏 9 道。小明算了 34 道，还有几道没算？ （ 5）同学们做了 16 只红风车， 20 只花风车。送给幼儿园 18 只，还有多少只？ （ 6）同学们分 4 组做风车，每组做 9 只。送给幼儿园 18 只，还有多少只？ 同学们去看电影。一年级去了 6 组，每组 7 人。二年级去了 45 人。一年级去了多少 人？二年级比一年级多去多少人？ 妈妈买回 8 千克苹果，平均每千克有 6 个。送王奶奶 28 个，还剩多少个？ 玩具厂打算做 50 个布娃娃。已经做了 32 个，剩下的要在 3 天内做完，平均每天做多少个？ （ 3）粮店第一次运进面粉 25 袋，第二次运进 35 袋，卖出 30 袋，还剩多少袋？ （ 4）鱼缸里共有 50 条金鱼，其中红金鱼有 15 条，花金鱼 20 条，其余是黑金鱼。黑金鱼有多少条？（用两 乘法巧算 知识要点 用乘法口诀计算减法； 乘法的交换律、结合律。用字母表示为： b = b， (b c) = ( b) c； 乘法对加法的分配律，用字母表示为： (b c) = b c； b c = (b c) 范例解析 例 1 下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？ 21 12 = 9 31 13 = 18 41 14 = 27 51 15 = 36 61 16 = 45 71 17 = 54 81 18 = 63 91 19 = 72 分析 首先看被减数和减数的关系，它们正好是被减数的十位数字与个位数字的位置交换了一下就得到减数；其次，它们的差正好是 9 的倍数。即 9 的 1 倍、 2 倍、 3 倍、 4 倍、5 倍、 6 倍、 7 倍、 8 倍，也即是 9 的乘法口诀的得数。这是说明道理？ 因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个 9，如 10 1，差 1 个 9； 20 2，差 2 个 9； 30 3，差 3个 9；反过来也一样， 1 10，差 1个 9； 2 20，差 2个 9； 3 30，差 3 个 9； 所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将大数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与 9 的乘积。即可用的乘法口诀计算。 例 2 下面一组减法题，看谁算得快。 72 27 = （ ） 43 34 = （ ） 83 38 = （ ） 53 35 = （ ） 94 49 = （ ） 63 36 = （ ） 87 78 = （ ） 73 37 = （ ） 解 五九四 十五 一九得九 五九四十五 二九一十八 五九四十五 三九二十七 五九四十五 四九三十六 例 3 简便计算下列各题。 214 5 8 6 586 5 1607 4 5 25 8 125 4 解 214 5 8 = 214（ 5 8） = 214 40 = 8560 6 586 5 = （ 6 5） 586 = 30 58 = 17580 1607 4 5 = 1607（ 4 5） = 1607 20 = 32140 25 8 125 4 = （ 25 4）（ 125 8） = 100 1000 = 100000 例 4 下面有一组乘法算式，看谁算得快。 1 99 = 2 99 = 3 99 = 4 99 = 5 99 = 6 99 = 7 99 = 8 99 = 9 99 = 分析 我们首先找规律。从 2 99 看起，它可以靠成是： 2 99 = 2（ 100 1） = 2 100 2 1 = 200 2 =198 照这样计算 ， 3 99 = 300 3 = 297，即几乘以 99 可看成是几百减去几就得结果，因此，我们可很快算出各式的结果。 解 1 99 = 99 2 99 = 200 2 = 198 3 99 = 300 3 = 297 4 99 = 400 4 = 396 5 99 = 500 5 = 495 6 99 = 600 6 = 594 7 99 = 700 7 = 693 8 99 = 800 5 = 792 9 99 = 900 9 = 891 思路技巧 有目的地把数凑成整十、整百、，可使计算简便。 习题精选 请你用乘法口诀来计算下面各题，看谁算得快。 53 35 = （ ） 94 49 = （ ） 73 37 = （ ） 82 28 = （ ） 63 36 = （ ） 40 4 = （ ） 32 23 = （ ） 80 8 = （ ） 96 69 = （ ） 70 7 = （ ） 42 24 = （ ） 71 17 = （ ） 速算下面各题。 2 729 5 4 83 25 17 125 8 132 5 4 222 5 8 828 25 2 简便计算。 42 3 42 2 17 19 181 17 125（ 8 1） 5（ 24 38） 下面有三个算式： 142 2 = 284 142 3 = 426 142 4 = 568 你能利用这三个算式计算下面两道乘法题的得数吗？ 142 5 = （ ） 142 6 = （ ） 我们知道： 37 3 = 111，你能利用它快速算出下面各式结果吗？ 37 6 = 37 9 = 37 12 = 37 15 = 37 18 = 37 21 = 连续自然数求和 知识 要点 连续自然数求和的方法： 头尾两数相加的和加数的个数 2 连续自然数逢单时求和的方法： 中间的加数加数的个数。 范例解析 例 1 比一比，看谁算得快。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = ？ 解法 1 如图 2-2 所示。 4 个 10 加上 5 等于 45。 解法 2 如图 2-3 所示。 5 个 9 等于 45。 解法 3 得到 9 个 10，即 90，它是和数的 2 倍，即 90 2 = 45。 说明 解法 1 是利用“凑整”技巧进行简算； 解法 2 是利用“ 0”的神奇性配对进行速算； 解法 3 是常说的高斯求和法 速算。 你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题： “求 1 2 3 4 100 的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于 5050。 高斯是怎样算的？他将这 100 个数倒过来，每相对两数的和等于 101，共有 100 个 101，将 101 乘以 100 后再除以 2，结果等于 5050。 我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。 头尾两数相加的和加数的个数 2 例 2 计算下面两题。 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 = ？ 21 22 23 24 25 26 27 28 =？ 解 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 =（ 4 13） 10 2 = 17 10 2 = 170 2 = 85 21 22 23 24 25 26 27 28 =（ 21 28） 8 2 = 49 8 2 = 392 2 = 196 说明 只要的连续自然数求和，不一定要从 1 开始，均可用此法计算。 例 3 求和： 53 54 55 56 57 58 59 解法 1 53 54 55 56 57 58 59 =（ 53 59） 7 2 = 112 7 2 = 784 2 = 392 解法 2 53 54 55 56 57 58 59 = 56 7 = 392 说明 如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和： 中间的加数加数的个数。 例 4 求和。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 24 26 8 30 32 解 1 3 5 7 9 11 13 15 17 = 9 9 = 81 24 26 8 30 32 = 28 5 = 140 说明 此两题虽然不是连续自然数相加，但是每相邻的两个加数直接都相差同一个数，同样可用公式计算。 思 路技巧 计算连续自然数相加时，可用头尾两数相加的和加数的个数 2 计算；如果相加的连续自然数是单数时，可用中间的加数加数的个数求和；如果不是连续自然数相加，但每相邻两个加数之间都相差同一个数，也可用以上两种方法计算。 习题精选 求和。 12 13 14 15 16 17 18 19 28 29 30 31 32 33 101 104 107 110 113 116 求和。 41 42 43 44 45 12 14 16 18 20 22 24 求和。 77 78 79 80 81 82 1006 1005 1004 1003 1002 1001 用运算符号连算式 知识要点 添运算符号、和括号（ ），使等式成立； 逆推法； 凑数放。 范例解析 例 用运算符号把下面式子中的个连起来，使等式成立。 = 9 分析 我们从最后一个 3 向前考虑添运算符号，如果添号，变为： 3 3 3 3 = 9 两边除以 3，即为 3 3 3 = 3 将中左边最后一个 3 前再添号，变为： 3 3 3 = 3，两边再除以 3，即为： 3 3 = 1。显然再添号。 解 3 3 3 3 = 9 例 在下列 5 个 5 之间，添上适当的运算符号 、和（ ），使得下面等式成立。 5 5 5 5 5 = 10 分析 我们从的后边逐步向前边考虑，最后一个 5 前面如果要添运算符号的话，只可能是、运算符号中的一个。 如果是加号，式变为 5 5 5 5 5 = 10 两边减 5，即变为 5 5 5 5 = 5 再重复上面的想法，如果左边最后一个 5 前面又是加号，则式变为 5 5 5=0。这等式很容易得出： （ 5 5） 5 = 0 或（ 5 5） 5 = 0 或 5（ 5 5） = 0 如果式左边最后一个 5 前面是减号，式变为 5 5 5 = 10，这式子没有解。 如果式左边最后一个 5 前面是 乘号或除号，也没有解。 如果式最后一个 5 前面是减号、乘号或除号，可采用上面的方法进行同样的分析。 解 （ 5 5） 5 5 5 = 10 （ 5 5） 5 5 5 = 10 5（ 5 5） 5 5 = 10 （ 5 5 5 5） 5 = 10 （ 5 5 5 5） 5 = 10 等等。 说明 上面的分析方法，是从最后一个数字开始向前推想，所以我们可以把这种方法叫逆推法，使用时一定要考虑全面、周到。 例 在下列六个数的中间添上适当的运算符号，使得下面的算式成立： 965 2 7 8 314 0 = 1986。 分析 这题如果采用逆推法，那肯定会相当的麻烦，我们必须另行考虑，先找一个与 1986比较接近的数，如 965 2 = 1930，这个数比 1986 小 56，这样原问题就转化为：能否用剩下的六个数经过适当的四则运算得出一个等于 56 的算式呢？然后作适当的增加或减少，使算式成立，增加或减小的部分也采用上述的方法，我们也给它取个名，叫凑数法。 解 965 2 7 8 314 0 = 1986 例 在下列数码的某些相邻地方，只添运算符号和，使得等式成立： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 20 分析 我们从头开始想， 98 7 = 105 105 65 = 40 这一来问题转化我用 4 3 2 1 凑出个 20 来，而 21 3 3 = 20。 解 98 7 65 4 3 21 = 20 例 有 2、 3、 4、 6 四个数字，请你选择合适的运算符号，最少组成五个算式，使它们都等于 24。 解 2 6 3 4 = 24； 4 6（ 3 2） = 24； 3 6 4 2 = 24； 4 2（ 6 3） = 24； 3（ 6 2 4） = 24 思路技巧 在数字之间添加运算符号使， 可采用逆推法或凑数法解答。 习题精选 在 3 个 7 中间的 里添入适当的运算符号和括号，使等式成立。 7 7 7 = 2 7 7 7 = 6 7 7 7 = 8 7 7 7 = 7 7 7 7 = 42 7 7 7 = 56 在下面各数之间填上“”、“”、“”、“”、“（ ）”使等式成立。 快乐的 1989 年： 4 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 4 = 9 4 4 4 4 4 = 8 4 4 4 4 4 = 9 庆祝国庆四十周年： 1 2 3 4 5 6 = 40 2 3 4 5 6 1 = 40 3 4 5 6 1 2 = 40 4 5 6 1 2 3 = 40 5 6 1 2 3 4 = 40 6 1 2 3 4 5 = 40 在下面 里填上和左边对应地方不同的运算符号，使两边的计算结果相等。 6 2 4 = 6 2 4 8 2 3 = 8 2 3 12 2 2 = 12 2 2 18 9 3 = 18 9 3 1 3 2 4 = 1 3 2 4 下面每一道小题的 里都要填同一个数字。 在（ ）中填上、符号使等式成立。 1（ ） 2（ ） 3 = 1 1（ ） 2（ ） 3（ ） 4 = 9 1（ ） 2（ ） 3（ ） 4（ ） 5 = 8 1（ ） 2（ ） 3（ ） 4（ ） 5（ ） 6 = 9 内应填上什么运算符号？ 内应填上什么数？ 只填一个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 只填两个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 只填一个乘号和七个加号于下列 9 个数之间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 下面是几组数码，逆能不能将它们分别拼成数，并用运算符号排成一道算式题，使各题的得数均等于 1995？ 例如，“ 5、 5、 7、 7”这组数得： 5 5 57 = 1995 3、 3、 6、 6、 6 3、 3、 3、 3、 3、 3、 3、 3 找规律填数 知识要点 数列填数； 阵图填数。 范例解析 例 1 找规律填出后面三个数： 3， 4， 6， 9， 13， 18， _， _， _； 56， 61， 47， 44， _， _， _； 3， 9， 27， _， _， _； 7， 14， 21， 28， _， _， _； 0， 1， 1， 2， 3， 5， 8， _， _， _。 解 这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细观察，第二个数 4 比第一个数 3 大 1；第三个数比第二个数大 2；第四个数比第三个数大 3；第五个数比第四个数大 4；第六个数比第五个数大 5。如图 3-1 所示。 即是按照加 1、加 2、加 3、加 4、的规律加下去。因此，应填 24， 31， 39。 这一列数正好相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数 51 比第一个数 56 少 5；第三个数又比第二个数少 4；第四个数比第三个数少 3。如图 3-2 所示。 即是按照减 5、减 4、减 3、的规律减下去。因此，应填 42， 41， 40。 这一列数中，第二个数是第一个数的 3 倍；第三个数又是第二个数的 3 倍，如图3-3 所示。 图 3-3 即是按照前一个数扩大 3 倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填 81， 243， 729。 我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的 2 倍，第三个数又是第一个数的 3 倍，第四个数是第一个数的 4 倍，如图 3-4 所示。 即是按照把第一个数扩大 2 倍、 3 倍、 4 倍的规律酸下去因此，应填 35， 42，49。 这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序，即从 8 起往左看，可看出： 8 是 3 5 的和， 5 又是它的前两个数 2 3 的和， 3 则是1 2 的和， 2 是 1 1 的和， 1 是 0 1 的和。如图 3-5 所示。 即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填 13， 21， 34。 说明 在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才能正确填才其中的缺数。 例 2 你能把空缺的数填出来吗？ 2 8 3 6 4 4 2 分析 我们发现，这已知的 7 个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观察的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数： 2 3 4 ？ 前一列数是按照后一个数是前一个数加 1 的规律算下去，因此，空缺数应填 5。 说明 有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时，应注意这一 点。 例 3 找规律，很快把图 3-6 中小圆圈里的数填出来。 分析 首先观察第一横行和第二横行，发现第二横行的第二、第三、第四个数都是它的第一个数 3 与第一横行的第二、第三、第四个数的乘积。即 3 2 = 6， 3 3 = 9， 3 5 = 15。又第三横行的第四个数 35 正好是 7 5 的积。这就是图中数字之间的规律，按照这一规律，如图 3-7 所示，缺数应填 8， 20， 14， 21。 例 4 图 3-8 中是一个数字金字塔，青你先根据上下数字间的联系找出它们的规律，然后填出塔中的方框的数字。 分析 从上往下看，第一行是一个数 2；第二行是两个数 2、 2；第三行是三个数 2、 4、 2；则 4 应看作是第二行的 2 2 的积，这是因为第四行的 8 正好是第三行的 2 4 的积。这就是它的变化规律，如图 3-9 所示。图中画上“ /”表示尖端所指的数字是上一行两个数的积。 因此，方框中应填 8、 16、 64（见图 3-9）。 思路技巧 找规律填数是一类有趣的问题，解决这类问题常常要考虑运用观察、试探、枚举、归纳等研究问题的手段，寻找已知的数上下、左右及前后之间的相互联系和规律，推导出未知 的数。 8 6 4 2 习题精选 先观察下面每一行数的排列有什么规律，然后在（ ）里填上一个适当的数： 1， 4， 7， 10，（ ）， 16， 19； 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34； 1， 4， 9， 16， 25， 36，（ ）， 64， 81； 12， 15， 18，（ ）， 24， 27，（ ）， 33； 6， 12，（ ）， 24，（ ），（ ）， 42， 48； 95， 90，（ ）， 80， 75，（ ），（ ）， 60； 21， 24， 27，（ ），（ ）； 50， 48， 46，（ ），（ ）。 图 3-10 按照图 3-10 中数字排列规律，在空格里填上适当的数。 在图 3-11 中，依照第一个三角形里三个数之间的关系，在其他三角形的空格里填上适当的数。 不用乘法，找出规律后，就可以按规律把积填上去。 1 99 = 99 2 99 = 198 3 99 = 297 4 99 = 396 5 99 = 495 6 99 = 7 99 = 8 99 = 9 99 = 找规律填空缺的数。 0 1 3 6 10 15 ？ ？ 如图 3-12，在金字塔图中每一块砖上都有一个数字，请你根据上下数字之间的联系，找出它们的规律，然后填在空砖上。 根据叶子中数字的计算规律，填出花中所空的数。 下面两题中的数去掉其中的一个数，其余的都是按规律排列的，请你去掉这个数。 5， 10， 15， 17， 20； 72， 70， 68， 66， 36。 请按图 3-14 中的规律在空白处填上数。 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 3 3 4 5 5 5 5 5 5 奇怪的算式 知识要点 根据推理的方法来确定算式中的数字，分加法算式谜、减法算式谜、乘法算式谜几种。 范例解析 例 1 填出方框里的数。 分析 9 加几个位上是 3？十 位上哪两个数相加得 8。 解 等。 例 2 填出右边算式方框里的数。 分析 18 减几得 9？十位上 2 4 = 6， 6 1 = 7。 解 例 3 右面的算式中，只有五个数字已些出，补上其他的数字： 分析 先填哪一个呢？做这一类题目要善于发现问题的突破口。从百位进位来看，和的千位数只能是 1，从十位相加来看，进位到百位，也只能进 1。因此 2 的百位是 9，和的百位是 0。通过上面的分析，就找到了这道题目的突破口。 再从 15 7 6 = 2， 11 2 1 = 8，得出算式： 例 4 在 下面的加法算式中，每个汉字代表一个数字，相同的汉字代表的数字相同，求这个算式： 分析 千位上的“边”是进位得来，所以“边” = 1，其次，从个位知道，“看”“看”的末位数字还是“看”，所以“看” = 0，因此推出： 想想看 = 想 110 算算看 = 算 110 所以和数“边算边看”是 11 的倍数，因而“算” =2。进而推出：想想 = 121-22 = 99。 所求的算式是 990 220 = 1210。 例 5 下面的算式由 0， 1， 9 十个数字组成，已写出三个数字，补上其他数字。 分析 这一算 式有十个数字，分别是 0， 1， 9 这十个数字，因此这个算式中所有数字各不相同，解题时要充分利用着一点，为了说明的方便，用英文字母 A、 B、 C、 D、E、 F 来表示要填的数字，很明显， A = 1。 解题的突破口是确定 B， B 可以是 7或 9，因为 F 至少是 3，所以十位相加后一定要进位，如果 B 是 9， C 将是 2，就出现数字的重复，因此， B 只能是 7， C 是 0。 现在还没有用上的数字是 9， 6， 5， 3，其中只有 6 是双数，因此，个位上 D 和 E 必定是单数，只能是 D = 9， E = 3，因此也确定了 F = 6，这个算式如右所示。 例 6 如 图是一个动物式子，不同的动物代表不同的数字，请你想一想，算一算，这些动物各代表哪些数字？ 图 3-15 分析 这个式子从哪里下手解答呢？根据两个一位数相加和只能满十的特点，首先，推出公鸡等于“ 1”。然后，又根据两熊猫相加，和仍然是熊猫，推出熊猫只能等于“ 0”。讲熊猫等于 0，代入式中，又根据公鸡等于“ 1”推出白兔等于“ 5”。将白兔等于 5 代入式中，推出松鼠等于 2。 这个算式是： 说明 奇怪的算式，实际上就是“算式之谜：”，也称“趣味算式问题”。它是一 种猜谜游戏，故有较强的趣味性，可以锻炼思维能力。 既然趣味算式问题是一种猜谜游戏，“凑”就成了它的当然方法之一，而且在某些情况下，“凑”还是一种有效的方法。 例 7 填出右边算式方框里的数。 分析 因为积的个位数字是 5，所以被乘数的个位数字只能是 5；又积是千位数，且最高位是数字 1，所以被乘数百位上的数字只能是 2。 解 思路技巧 解算式谜这类题，要认真观察算式，抓住问题的突破口。 习题精选 在方框里填上适当的数，使下列各式成立。 在圆圈和方框里填上适当的数，使下列等式成立 （圆圈和方框分别代表两个不同的数）。 算一算，下列图形各表示什么数。 = 26 =（ ） 5 = 3 =（ ） = 4 = 3 = 14 =（ ） 在方框里填上适当的数。 下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？ 7 = 1 6 = 5 5 = 4 写算式（能写几道就写几道）。 = 2 = 5 = 7 = 9 在下面算式的圆圈里填上合适的运算符号，方框里填上合适的数。你能写出几种填法？（每次填的运算符号不要完全相同） 8 = 21。 数字还原。 下面的竖式，是用 、 、 、 、 这样的图形表示 0 至 9 中的数字。想一想，这五个图形各代表几呢？ = = （ ） 在下面竖 式中的方格里填上适当的数。 10请将下面竖式里的字换成数字，使竖式成立。 11巧填竖式。 12题中每一个字母或字都代表一个数，请想一想它们各代表什么数字，算式才能成立？ 调整法趣谈 知识要点 调整法的意义。 我们看下面的点子图： 图 3-16 它一共有二组，一组有 5 个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？ 算式： 5 2 = 7（个）。现在问：怎样改变点子图，来表示算式 2 5 呢？我们可用交换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示： 这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。 调整法的用途，我们通过举例来说明。 范例解析 例 1 右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？ 分析 我们可从图中观察到：竖行三数的和都是 6，它们相等，打上“”号，而横行三数的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图 3-19 箭头所示进行交换调整，问题就得到解决。 说明 凡是符合条件的横行或竖行打上“”，可使问题一目了然，方便调整。 例 2 图中有“”、“”、“”、“”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种符号不相同。 分析 通过观察，发现 3-20 中只有从左数第二列符号与题目要求不同，因此我们先考虑列的情况，第一列多“”号，缺“”号，而第三列多“”号缺“”，如下图交换后，把符合条件的行与列打上“”。 经过第一次交换后 ，图 3-21 中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合条件，而第三列多“”号，缺“”号，第四列多“”号，缺“”号，只要再按如图 3-22 交换就完全符合条件。 说明 较复杂的方阵游戏，多调整几次，是可解决问题的，调整中不想走弯路，这就要靠智慧了。 例 3 把 17 这七个数填在图 3-23 中的小圆圈中，使每一个圆周上四个数字的和都等于 17。 分析 此题有两种做法。 第一种做法：开始在小圆圈里任填 17 这七个数，并且两个大圆周上的四个数的和都不等于 17。如图 3-24的填法。 我们观察到，只要首 先将 2 与 7 交换，就能使右边大圆周上四个数字的和等于 17。这时，左边大圆周上四个数的和是： 1 3 7 4 = 15 比 17 少 2，要使右边圆周上的四个数字的和不变，只要 4 与 6 交换即可。 第二种做法：首先在 17 这 7 个数字中选四个数字，并且四个数的和等于 17。例如选（ 1 3 6 7 = 17） 1，3， 6， 7 四数填在一个圆周上，其他三数任填在另一圆周上的小圆圈里。如果另一圆周上四个数字之和不等于17，只要按前面调整的方法，只经过一此调整就行了。 如图 3-25 所示。 思路技巧 调整不是拼凑，它是充分利用我们已有的知识技能，充分发挥我们的观察能力，有计划、有目的的进行解题的重要手段。 习题精选 要使图 3-26 中每横行、每竖行都有四个不同的数，你能做到吗？ 图 3-27 中每个五边形上五个数的和都是 60，请你调整一下数的位置，使每个五边形上五个数的和都等于 61。 把 1-6 六个数填在图 3-28 中的小圆圈中，使每一个大圆上的三个数相加的和为 12。 把 10、 20、 30、 40、 50 填在图 3-29 中的圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。 在图 3-30 中填上适当的数， 使每横行、每竖行的三个数的和等于 15。如果你所填的数不是 1-9 这九个数，请将它调整调整成 1-9 这九个数。 在 3-31 中小圆圈里填上 1、 2、 3、 4、 5、 6 这六个数，使每条线上 3 个小圆圈里的素的和都是 9、 10、 11、 12。 把 1-12 这十二个数分别填入图 3-32 中的小圆圈里，使每一行四个数相加的和都是 30。 移动图 3-33 中的数字，使第二横行的三位数是第一横行三位数的 2 倍，第三横行的三位数是第一横行三位数的 3 倍。 图 3-33 停车场中有 8 辆宣传车，如图 3-34。其中 5 两没有对号停车。你能不能在车辆不出场的情况下，帮他们按号停好车？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 简单的变式运算 知识要点 用火柴棒组成简单的数字及运算符号； 用“去”、“添”、“移”进行变式游戏。 范例解析 例 1 请回答，一般可用火柴棒组成哪些数字和数学符号。 解 可组成四个数字： 组成四个符号： 例 2 你能说出，例 1 中火柴棒组成的数字和符号，通过“去”、“添”、“移”火柴棒有哪些变化？ 解 去：变 为 ，变 为 ，变 为 或 ，变 为 ，变 为 等； 添：它与去反之，如可变 为 ，变 为 或 ； 移：变 为 （反之可变 为 ，下同），变 为 ，变 为 ，变 为 ，变 为 等。 例 3 移动一根火柴，使下面等式成立： 分析 只能移动一根火柴，故只能在式子的左边考虑移法，由 去一可得 ，将第二个 拿一根移到 的前面，就变为 。而 变为 。 解 例 4 移动一根火柴，使下面等式成立： 解 例 5 移动两根火柴使等式成立： 解 例 6 用 15 根火柴组成四个不同的两位数，并且这四个两位数的和为 111。 分析 组成最大的两位数为 74，则有 111-74 = 37 而 37 又是 11 12 14 的和。 另外，四个 1，一个 2，二个 4，一个 7 正好由 15 根火柴组成。 解 四个两位数为 ， ， ， ；并且 11 12 14 74 = 111。 思路技巧 移动火柴棒可以加在数字间， 也可以加在数前或数后。 习题精选 把 13 根火柴棒分别分成左右两堆，有几种分法？ 只要移动一根火柴，就能使下列式子正确： 移动一根火柴，使下式成立： 移动一根火柴，使下式成立： 移动两根火柴使等式成立： 移动两根火柴使等式成立： 用 15 根火柴组成三个不同的三位数，且使它们百位上数字和等于十位上数字和，等于个位上数字和。 复杂的变式游戏 知识要点 用火柴棒组成计算器显示数字 ； 用“去”、“添”、“移”进行组数游戏和变式游戏。 范例解析 例 1 如“ ”是由 4 根火柴棒组成的计算器显示的数字，你能用不同的火柴棒组成 09各个数字吗？ 解 二根 四根 五根 六根 七根 图 4-3 例 2 用 20 根火柴组成以下各数： 组成一个三位数 ，最大的是 _，最小的是 _； 组成一个四位数，最大的是 _，最小的是 _。 分析 三位数中最大的是 999，但组成一个 9 只需要 6 根火柴，三个 9 共用 18 根火柴，按题目要求，还有两根火柴没用，要加火柴，就要变数， 8 是用七根火柴组成，故有两个 9 要变成 8，要保持最大，只能是十位和个位上两个 9 变成 8，因此，最大是 988，同样的道理，可得出三位数中最小是 688，四位数中最大是 9991，最小是 1000。 解 最大是： （ 20 根火柴） 最小是： （ 20 根火柴） 由解的分析，可得出的结果如下： 最大是： （ 20 根火柴） 最小是： （ 20 根火柴） 说明 此例是组数游戏，完成这样的游戏，不但要求学生掌握数字、数位、位数及比较数的大小方法等数学基础知识和基本技能，而且还要求认真分析、合理计算、严密推理、灵活摆布、否则是无法下手的。 在游戏时，可以改变所给火柴根数，改变组数要求 。 例 3 移动两根火柴使等式成立： 分析 1985 与 61 是绝对不相 等的，要使它们成等式，只有把一边去掉火柴二根，移到适当的位置变成运算符号，成一个等式。我们观察发现， 19-8-5 = 6，正好将右边的“ 1”（二根火柴）去掉，移到左边的 8 前， 5 前成“ ”号。 解 例 4 移动一根、二根、三根、四根火柴，使等式成立，各有多少种移法？ 解 移一根： 移二根： 移三根： 移四根： 例 5 移动一根火柴，使下面的算式分别等于 11、 14、 17、 20、 23、 25、 31、 33、 34。 分析 这个问题，要掌握组数形式的变化规律。如 移一根火柴就变成 ； 去一根火柴就可变成 、 、 ； 添一根火柴可变成 或 ，移一根火柴就变成 。掌握这一规律，我们只要采用“去”、“添”、“移”，动一根火柴，就可得出题中要求的结果来。 解 分析 掌握组数变化规律是解决这类问题的关键。 思路技巧 要注意运用“去”、“添”、“移”进行数组、变式游戏。在游戏时，要灵活摆布，掌握数组的变化规律，并可以改变火柴根数及组数要求。 习题精选 移动一根火柴，使下面的等式成立： 移动一根、两根、三根、四根火柴，使下面各式成立： 移动两根火柴，使下 面等式仍然成立，至少想出三种不同的等式： 移动一根火柴，使下面的算式分别等于 31、 34、 37、 40、 43、 45、 51、 54： 用 20 根火柴组成以下各数： 组成一个五位数，最大的是 _，最小的是 _； 组成一个六位数，最大的是 _，最小的是 _。 请移动图中两根火柴，使下面两个数相等。 图形游戏 知识要点 移动火柴棒，改变图形； 用火柴棒组图。 范例解析 例 1 图 4-4 是由 9 根火柴摆成的三个正三角形，请移动其中一个三角形，使图形中有 5 个正三角形。 分析 三根火柴可组成一个正三角形，将每边加一根火柴，就可组成每边由二根火柴组成的正三角形，这时只要移动一个三角形就可组成一个大的 正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 解 移动一个正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 例 2 图 4-6 是由 12 根火柴组成的“品”状的三个正方形，现在请你移动其中一个正方形的位置，使图形中出现七个正方形。 分析 由三变七，必有一个由一变四，这是可能的。 解 移动一个成图 4-7 即可。 说明 移动部分图形重组图形，一般是给定一个已排好的图形，要求移动其中某一部分，达到一个新的要求。这里面渗透了图形平移的观点。在图形平移时，有时会出现重合的边，就要从重合的地方取出一根或几根火柴 ，又到别处添补。 例 3 图 4-8 中是由 24 根火柴摆成的图，图内有 7 个正方形（三个大的、四个小的），请你移动四根火柴，使图中只含有长方形，而不含任何其他图形（图形要封闭）。 解 如图 4-9 所示。 例 4 图 4-10 中是由十二根火柴摆成的正方形，它共含有五个正方形。请你只移动两根火柴，使图形中分别含有六个正方形和七个正方形。 解 如图 4-11 所示。 例 5 用 20 根火柴摆成一个长方形或正方形，摆出的这些图形，周长相等吗？ 解 摆成的长方形或正方 形如图 4-12。 这些图形的周长都是相等的。 例 6 用 12 根火柴摆成一个直角三角形。怎样摆法？如果用 24 根火柴怎样摆法？ 解 12 根的摆法如图 4-13 所示。 24 根的摆法如图 4-14 所示。 例 7 下图是用 4 根火柴摆成的“抓住一只苍蝇的苍蝇拍”。请你只移动两根火柴，将“苍蝇拍”移到“苍蝇”旁边（“苍蝇”不准动）。 解 思路技巧 火柴棒游戏种类不少，内容丰富。是培养学生动脑、动手的一项好的活动。“去”、“添”、“移”是解决这类问题的关键。 习题精选 用 12 根火柴组成 5 个正方形，如图 4-16。 请你拿掉 2 根火柴，使留下的图形正好是 2 个正方形； 移动 3 根火柴，使它变成 3 个正方形且没有多余的火柴。 图 4-17 是由 24 根火柴棒组成的 9 个小正方形，请你想一想，怎样取走 8 根火柴，正好变成两个正方形。 图 4-18 中六角形中有三朵花，用火柴将六角形分割成形状相同的三部分，每一部分中 有一朵花，最少要用几根火柴？ 请你用 8 根火柴摆出 3 个正方形。 图 4-19 是用 5 根火柴摆成的，你能用 5 根火柴摆出不同的图样吗？ 图 4-20 是由 10 根火柴摆成的一座山形图案，请你只移动三根火柴，使“山顶”向下。 用 12 根火柴摆出四个正方形。 从图 4-21 中，拿走三根火柴，使它成为三个正方形。 用 16 根火柴摆成五和大小相同的正方形。 10一头牛正朝前走，如图 4-22 所示，请移动两根火柴，让它向后看。 11向阳屋，太阳出来它朝东，太阳下山它朝西。请移动两根火柴，把它换个方向。如图4-23。 怎样数图形的个数 知识要点 怎样数一条直线上线段的条数 ？ 一条线上有 n 条独立线段，我们将它们编号为 1， 2， 3， n，则这条直线上所有线段的条数是： 1 2 3 n 用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。 范例解析 例 1 数出图 5-1 中各条线上线段的总条数。 图 5-1 分析 图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图 5-2： 1 2 3 图 5-2 现在，我们这样来数，其中 单独的线段有：、这三条； 由两条独立线段合并成一条线段的有：（ 1， 2）、（ 2， 3）这两条； 由三条独立线段合并成一条线段的 有：（ 1， 2， 3）这一条。 由 3 2 1 =6（条），我们数得图中有 6 条线段，他趣的是，这个得数 6 正是我们所编号码 1、 2、 3 这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看和的结果。 我们仿照的作法将图中的独立线段编上号码，如图 5-3： 1 2 3 4 5 6 图 5-3 单独的线段有：、一共 6 条； 两条合并成一条有：（ 1， 2）、（ 2， 3）、（ 3， 4）、（ 4， 5）、（ 5， 6）一共 5 条； 三 条并成一条的有： （ 1， 2， 3）、（ 2， 3， 4）、（ 3， 4， 5）、（ 4， 5， 6） 一共有 4 条； 四条并成一条的有：（ 1， 2， 3， 4）、（ 2， 3， 4， 5）、（ 3， 4， 5， 6）一共有 3 条； 五条并成一条的有：（ 1， 2， 3， 4， 5）、（ 2， 3， 4， 5， 6）一共有 2 条； 六条并成一条的有：（ 1， 2， 3， 4， 5、 6）只 1 条。 总条数也正好是编号的六和连续数的和，即 1 2 3 4 5 6 21（条）。 将图 5-4 中的单独线段进行编号如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图 5-4 单独线段：、一共 9 条； 两合一线段： （ 1， 2）、（ 2， 3）、（ 3， 4）、（ 4， 5）、（ 5， 6）、（ 6， 7）、（ 7， 8）、（ 8， 9）一共 8 条； 三合一线段： （ 1， 2， 3）、（ 2， 3， 4）、（ 3， 4， 5）、（ 4， 5， 6）、（ 5， 6， 7）、（ 6， 7， 8）、（ 7， 8， 9） 一共有 7 条； 四合一线段： （ 1， 2， 3， 4）、（ 2， 3， 4， 5）、（ 3， 4， 5， 6）、（ 4， 5， 6， 7）、 （ 5， 6， 7，8）、（ 6， 7， 8， 9） 一共有 6 条； 五合一线段： （ 1， 2， 3， 4， 5）、（ 2， 3， 4， 5， 6）、（ 3， 4， 5， 6， 7）、（ 4， 5， 6， 7，8）、（ 5， 6， 7， 8， 9） 一共有 5 条； 六合一线段： （ 1， 2， 3， 4， 5， 6）、（ 2， 3， 4， 5， 6， 7）、（ 3， 4， 5， 6， 7， 8）、（ 4，5， 6， 7， 8， 9） 一共有 4 条； 七合一线段： （ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7）、（ 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8）、（ 3， 4， 5， 6， 7， 8，9） 一共有 3 条； 八合一线段： （ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8）、（ 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9） 一共有 2 条； 九合一线段： （ 1， 2， 3， 4， 5、 6， 7， 8， 9） 只 1 条。 所有线段的总和也正好是： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 45（条） 说明 从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从 1 开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏掉。 运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。 例 2 数一数，图 5-5 中一共有多少个三 角形？ 解 将图中单独三角形 15 编号，一共有三角形是： 1 2 3 4 5 = 15（个）。 例 3 图 5-6 中有多少个角，你会数吗？ 解 将单独的角按 17 编号，可计算出共有角是： 1 2 3 4 5 6 7= 28（个）。 例 4 数出图 5-7 中长方形的个数。 解 将图 5-7 中独立的长方形按 112 编号，可计算出长方形的个数是： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = 78（个）。 例 5 数出图 5-8 中长方形的个数。 解 我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。（每一类用阴影表示） 总共是： 6 3 = 18（个）。 说明 我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有 3 太哦独立线段，宽有 2 条独立线段，总数是： （ 1 2 3）（ 1 2） = 18（个）。 例 6 数出图 5-10 中长方体的个数。 分析 此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表面就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例 5，同样可将问题分成三类来数。 第一类有： 4 3 2 1 = 10（个）， 第二类有： 4 3 2 1 = 10（个）， 第三类有： 4 3 2 1 = 10（个）， 总 共 有： 10 3 = 30（个）。 例 7 请你数出图 5-11 中三角形的个数。 解 很明显，我们可将问题分成如图 5-12 的三类来研究： 其中每一类都是： 1 2 3 = 6（个）。 总共是： 6 3 = 18（个）。 思路技巧 数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从 1 开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个林许数）。这个规律，可以扩展到数图形的数。 习题精选 数出图 5-13 中各线上线段的条数： 图 5-13 数一数图 5-14 交叉线上的线段共有几条？ 在图 5-15 的扇子中的角共有多少个？ 请你数一数图 5-16 中有多少个角？ 如图 5-17，地上有六根木桩，每两根 之间牵一线，一共要牵多少根？ 数一数图 5-18 中三角形的个数。 数出图 5-19 中长方形的个数。 数一数，图 5-20 中有多少个长方体？ 数一数，图 5-21 中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？ 图形的识别与划分 知识要点 将正方形划分成小正方形块或直角三角形块； 将规则图形划分成正方形或长方形与三角形块； 识别图形的形状和大小。 范例