【最新】数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版）

【最新】 中考数学压轴 题大全 （安徽） 按右图所示的 流程，输入 一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输 出一个数据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20 100 （含 20 和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （）新数据都在 60 100（含 60 和 100）之间； （）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大 的对应的新数据也较大。 （ 1）若 y 与 x 的关系是 y x p(100 x)，请说明：当 p 12时，这 种变 换满足上述两个要求； （ 2）若按关系式 y=a(x h)2 k (a0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】 （ 1）当 P=12时， y=x 1 1002 x,即 y=1 502x。 y 随着 x 的增大而增大，即 P=12时，满足条件（） 3 分 又当 x=20 时， y= 1 100 502 =100。而原数据都在 20 100 之间，所以新数据都在 60 100 之间，即满足条件（），综上可知，当 P=12时，这种变换满足要求； 6 分 （ 2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（ a） h 20；（ b）若 x=20,100 时， y 的对应值 m， n 能落在 60 100 之间，则这样的关系式都符合要求。 如取 h=20,y= 220a x k, 8 分 a 0，当 20 x 100 时， y 随着 x 的增大 10 分 令 x=20,y=60，得 k=60 令 x=100,y=100，得 a 802 k=100 开始 y 与 x 的关系式 结束 输入 x 输出 y 由解得 116060ak ， 21 2 0 6 0160yx 。 14 分 2、（常州）已知 ( 1 )Am ， 与 ( 2 3 3 )Bm， 是反比例函数ky x 图象上的两个点 （ 1）求 k 的值； （ 2）若点 ( 10)C ， ，则在反比例函数 kyx图象上是否存在点D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（ 1）由 ( 1 ) 2 ( 3 3 )mm gg ，得 23m ，因此 23k 2 分 （ 2）如图 1，作 BE x 轴， E 为垂足，则 3CE ， 3BE ， 23BC ，因此 30BCE o 由于点 C 与点 A 的横坐标相同，因此 CA x 轴，从而 120ACB o 当 AC 为底时，由于过点 B 且平行于 AC 的直线与双曲线 只有一个公共点 B ， 故不符题意 3 分 当 BC 为底时，过点 A 作 BC 的平行线，交双曲线于点 D ， 过点 AD， 分别作 x 轴， y 轴的平行线，交于点 F 由于 30DAF o ，设11( 0 )D F m m，则 13AF m ，12AD m， 由点 ( 1 2 3 )A ， ，得点 11( 1 3 2 3 )D m m ， 因此 11( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3mm g ， B C x y 1 1 1 1 O 解之 得1 7 33m （1 0m舍去），因此点 363D， 此时 14 33AD，与 BC 的长度不等，故四边形 ADBC 是梯形 5 分 如图 2，当 AB 为底时，过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 D 由于 AC BC ，因此 30CAB o ，从而 150ACD o 作 DH x 轴， H 为垂足， 则 60DCH o ，设22( 0 )C H m m，则23DH m，22CD m由点 ( 10)C ， ，得点22( 1 3 )D m m ， 因此22( 1 ) 3 2 3mm g 解之得2 2m （2 1m 舍去），因此 点 (1 2 3)D ， 此时 4CD ，与 AB 的长度不相等，故四边形 ABDC 是梯形 7 分 如图 3，当过点 C 作 AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 D 时， 同理可得，点 ( 2 3 )D ， ，四边形 ABCD 是梯形 9 分 综上所述，函数 23yx图象上存在点 D ，使得以 A B C D， ， ， 四点为顶点的四边形为梯形，点 D 的坐图 1 A B C x y O F D E 图 2 A B C x y O D H B y 标为： 363D，或 (1 2 3)D ， 或 ( 2 3 )D ， 10 分 3、（福建龙岩） 如图，抛物线 2 54y a x a x 经过 ABC 的三个顶点，已知 BC x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC BC （ 1）求抛物线的对称轴； （ 2）写出 A B C， ， 三点的坐标并求抛物线的解析式； （ 3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由 解：（ 1）抛物线的对称轴 5522ax a 2 分 （ 2） ( 30)A， (54)B ， (04)C ， 5 分 把点 A 坐标代入 2 54y a x a x 中，解得 16a 6 分 215 466y x x 7 分 A C B y x 0 1 1 （ 3）存在符合条件的点 P 共有 3 个以下分三类情形探索 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 CB交于 M 过点 B 作 BQ x 轴于 Q ，易得 4BQ ， 8AQ ，5.5AN ， 52BM 以 AB 为腰且顶角为角A 的 PAB 有 1 个： 1PAB 2 2 2 2 28 4 8 0A B A Q B Q 8 分 在1Rt ANP中， 2 2 2 2 2111998 0 ( 5 . 5 ) 2P N A P A N A B A N 15 1 9 922P， 9 分 以 AB 为腰且顶角为角 B 的 PAB 有 1 个：2PAB 在2Rt BMP中， 2 2 2 2222 5 2 9 58042M P B P B M A B B M 10 分 25 8 2 9 522P ， 11 分 以 AB 为底，顶角为角 P 的 PAB 有 1 个，即3PAB 画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰 ABC 的顶点 C 过点3P作3PK垂直 y 轴，垂足为 K ，显然3R t R tP C K B A Q 3 12PK BQC K A Q A x 0 1 1 2P1P3P y 3 2.5PKQ5CK 于是 1OK 13 分 3 (2.5 1)P， 14 分 注：第（ 3）小题中，只写出点 P 的坐标，无任何说明者不得分 4、（福州） 如图 12，已知直线 12yx与双曲线 ( 0)kykx交于 AB， 两点，且点 A 的横坐标为 4 （ 1）求 k 的值； （ 2）若双曲线 ( 0)kykx上一点 C 的纵坐标为 8， 求 AOC 的面积； （ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 ( 0)kykx于 PQ， 两 点（ P 点在第一象限），若由点 A B P Q， ， ， 为顶点组成的四边形面积为 24 ，求点 P 的坐标 解： (1)点 A 横坐标为 4 , 当 x = 4 时， y = 2 . 点 A 的坐标为（ 4， 2 ） . 点 A 是直线 与双曲线 （ k0）的交点 , k = 4 2 = 8 . (2) 解法一：如图 12-1， 点 C 在双曲线 上，当 y = 8 时， x = 1 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、 C 分别做 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 M、 N，得矩形 DMON . S 矩形 ONDM= 32 ， S ONC = 4 ， S CDA = 9， S OAM = 4 . S AOC= S 矩形 ONDM - S ONC - S CDA - S OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图 12-2， 过点 C、 A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、 F， 图 12 O x A y B xy21 xy 8 点 C 在双曲线 8yx上，当 y = 8 时， x = 1 . 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ). 点 C、 A 都在双曲线 8yx上 , S COE = S AOF = 4 。 S COE + S 梯形 CEFA = S COA + S AOF . S COA = S 梯形 CEFA . S 梯形 CEFA = 12（ 2+8） 3 = 15 , S COA = 15 . （ 3） 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , OP=OQ， OA=OB . 四边形 APBQ 是平行四边形 . S POA = S 平行四边形 APBQ = 24 = 6 . 设点 P 的横坐标为 m （ m 0 且 4m ） , 得 P ( m , ) . 过点 P、 A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、 F， 点 P、 A 在双曲线上， S POE = S AOF = 4 . 若 0 m 4，如图 12-3， S POE + S 梯形 PEFA = S POA + S AOF, S 梯形 PEFA = S POA = 6 . 4141m8 18( 2 ) ( 4 ) 62 mm . 解得 m = 2， m = - 8(舍去 ) . P（ 2， 4） . 若 m 4，如图 12-4， S AOF+ S 梯形 AFEP = S AOP + S POE, S 梯形 PEFA = S POA = 6 . 18( 2 ) ( 4 ) 62 mm ， 解得 m = 8， m = - 2 (舍去 ) . P（ 8， 1） . 点 P 的坐标是 P（ 2， 4）或 P（ 8， 1） . 5、（甘肃陇南） 如图，抛物线212y x m x n 交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C，点 P 是它的 顶点，点 A的横坐标是 3，点 B 的横坐标是 1 (1)求 m 、 n 的值； (2）求直线 PC 的解析式； (3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由 (参考数： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.24 ) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线212y x m x n 经过 A(-3， 0)、 B(1， 0)两点 90 3 ,210.2mnmn 2 分 解得 31,2mn 3 分 (2) 21322y x x ， P(-1， -2)， C 3(0, )2 4 分 设直线 PC 的解析式是 y kx b，则 2,3 .2kbb 解得 13,22kb 直线 PC 的解析式是 1322yx 6 分 说明：只要求对 1322kb ， 不写 最后一步， 不扣分 (3) 如图，过点 A 作 AE PC，垂足为 E 设直线 PC 与 x 轴交于点 D，则点 D 的坐标为 (3， 0) 7 分 在 RtO CD 中， O C=32， 3OD ， 2233( ) 3 5CD 8 分 O A=3， 3OD ， AD=6 9 分 COD= AED=90o， CDO 公用， COD AED 10 分 OC CDAE AD， 即 335226AE 6 55AE 11 分 6 5 2 .6 8 8 2 .55 ；， 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离 12 分 6、（贵阳）如图 14，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90o 的扇形 （ 1）求这个扇 形的面积（结果保留 ）（ 3 分） （ 2）在剩下的三块余料中，能否从第 块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（ 4 分） （ 3）当 Oe 的半径 ( 0)RR 为任意值时，（ 2）中的结论是否仍然成立？请说明理由（ 5 分） 解：（ 1）连接 BC ，由勾股定理求得： 2AB AC 1 分 2 13 6 0 2nRS 2 分 （ 2）连接 AO 并延长，与弧 BC 和 Oe 交于 EF， ， 22E F A F A E 1 分 弧 BC 的长： 21 8 0 2nRl 2 分 22 2r Q 圆锥的底面直径为： 222r 3 分 2222Q ， 不能在余料 中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 4 分 （ 3）由勾股定理求得： 2A B A C R 弧 BC 的长： 21 8 0 2nRlR 1 分 22 2rR Q 圆锥的底面直径为： 222rR 2 分 2 2 ( 2 2 )E F A F A E R R R 2222Q 且 0R A B C O E F 2( 2 2 ) 2RR 3 分 即无论半径 R 为何值， 2EF r 4 分 不能在余料 中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 7、（河南）如图，对称轴为直线 x27的抛物线经过点 A（ 6， 0）和 B（ 0， 4） （ 1）求抛物线解析式及顶点坐标； （ 2）设点 E（ x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA为对角线的平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （ 3） 当 四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ 是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 8、（湖北黄岗） 已知：如图，在平面直角坐标系中， 四边形ABCO 是菱形，且 AOC=60 ，点 B 的坐标是 (0,8 3) ， 点 P从点 C开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移 动，设(0 8)tt 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D. （ 1）求 A OB 的度数及线段 OA 的长； OEFx=72B ( 0 , 4 )A ( 6 , 0 ) xyB A C D P O Q x y （ 2）求经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式； （ 3）当 43 , 33a O D时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式； （ 4）当 a 为何值时，以 O， P， Q， D 为顶点的三角形与 OAB 相似？当 a 为何值时，以 O， P， Q， D 为顶点的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明 . 9、（湖北荆门） 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0， 0)， A(4， 0)， C(0， 3)，点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、 A 不重合 )现将 PAB沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将 POE 沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线 PD、 PF 重合 (1)设 P(x， 0)， E(0， y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值； (2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、 B、 E 的抛物线的函数关系式； (3)在 (2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标 解： (1)由已知 PB 平分 APD， PE 平分 OPF， 且 PD、 PF重合，则 BPE=90 OPE APB=90 又 APB ABP=90 ， OPE= PBA Rt POE Rt BPA 2 分 PO BAOE AP即 34xyx y= 21 1 4( 4 )3 3 3x x x x (0 x 4) 图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPE F且当 x=2 时， y 有最大值 13 4 分 (2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得 P(1， 0)， E(0， 1)， B(4， 3) 6 分 设过此三点的抛物线为 y=ax2 bx c，则 1, 0,1 6 4 3 .cabca b c 1,23,21.abcy=213122xx 8 分 (3)由 (2)知 EPB=90 ，即点 Q 与点 B 重合时满足条件 9 分 直 线 PB 为 y=x 1，与 y 轴交于点 (0， 1) 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0， 1)， 该直线为 y=x 1 10 分 由21,13 1,22yxy x x 得 5,6.xy Q(5， 6) 故该抛物线上存在两点 Q(4， 3)、 (5， 6)满足条件 12 分 yx（ 2009 年重庆市） 26已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在x 轴的正半轴上， OA=2， OC=3过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE DC，交 OA于点 E （ 1）求过点 E、 D、 C 的抛物线的解析式； （ 2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 65，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （ 3）对于（ 2）中的点 G，在位于第一 象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 26解：（ 1）由已知，得 (30)C ， ， (22)D ， ， 90A D E C D B B C D Q ， 1t a n 2 t a n 2 12A E A D A D E B C D g (01)E ， （ 1 分） 设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0 )y a x b x c a 将点 E 的坐标代入，得 1c 将 1c 和点 DC、 的坐标分别代入，得 4 2 1 29 3 1 0 .abab ，（ 2 分） 解这个方程组， 得56136ab 故抛物线的解析式为 25 1 3 166y x x （ 3 分） （ 2） 2EF GO 成立 （ 4 分） Q 点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 65， 点 M 的纵坐标为 125 （ 5 分） 设 DM 的解析式为1 ( 0 )y kx b k ， 26 题图 y x D B C A E O y x D B C A E O F K G 将点 DM、 的坐标分别代入，得 11226 1 2 .55kbkb ， 解得1123kb ， DM 的解析式为 1 32yx （ 6 分） (03)F ， ， 2EF （ 7 分） 过点 D 作 DK OC 于点 K ， 则 DA DK 90A D K F D G Q ， F D A G D K 又 90F A D G K D Q ， D A F D K G 1KG AF 1GO （ 8 分） 2EF GO （ 3） Q 点 P 在 AB 上， (10)G， ， (30)C ， ，则设 (12)P ， 2 2 2( 1 ) 2P G t ， 2 2 2( 3 ) 2P C t ， 2GC 若 PG PC ，则 2 2 2 2( 1 ) 2 ( 3 ) 2tt ， 解得 2t (22)P ， ，此时点 Q 与点 P 重合 (22)Q ， （ 9 分） 若 PG GC ，则 22( 1) 2 2t ， 解得 1t ， (12)P ， ，此时 GP x 轴 GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1， 点 Q 的纵坐标为 73 713Q， （ 10 分） 若 PC GC ，则 2 2 2( 3 ) 2 2t ， 解得 3t ， (32)P ， ，此时 2PC GC， PCG 是等腰直角三角形 过点 Q 作 QH x 轴于点 H ， y D B A E Q P (P) (Q) Q (P) 则 QH GH ，设 QH h ， ( 1 )Q h h， 25 1 3( 1 ) ( 1 ) 166h h h 解得127 25hh ，（舍去） 12 755Q ， （ 12 分） 综上所述，存在三个满足条件的点 Q ， 即 (22)Q ， 或 713Q，或 12 755Q， （ 2009 年重庆綦江县） 26（ 11 分）如图，已知抛物线 ( 1 ) 2 3 3 ( 0 )y a x a 经过点 ( 2 )A ， 0 ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 ()ts问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （ 3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以 每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为 t ()s ，连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长 *26解：（ 1） Q 抛物线 2( 1 ) 3 3 ( 0 )y a x a 经过点 ( 20)A ， ， 30 9 3 3 3aa 1 分 二次函数的解析式为： 23 2 3 8 33 3 3y x x 3 分 （ 2） DQ 为抛物线的顶点 (1 3 3)D ， 过 D 作 DN OB 于 N ，则 33DN ， x y M C D P Q O A B 223 3 ( 3 3 ) 6 6 0A N A D D A O ， 4 分 OM ADQ 当 AD OP 时，四边形 DAOP 是平行四边形 6 6 ( s )O P t 5 分 当 DP OM 时，四边形 DAOP 是直角梯形 过 O 作 OH AD 于 H ， 2AO ， 则 1AH （如果没求出 60DAO 可由 R t R tO H A D N A 求 1AH ） 5 5 ( s )O P D H t 6 分 当 PD OA 时，四边形 DAOP 是等腰梯形 2 6 2 4 4 ( s )O P A D A H t 综上所述：当 6t 、 5、 4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形 7 分 （ 3）由（ 2）及已知， 60C O B O C O B O C B ， ， 是等边三角形 则 6 2 6 2 ( 0 3 )O B O C A D O P t B Q t O Q t t ， ， ， 过 P 作 PE OQ 于 E ，则 32PE t8 分 1 1 36 3 3 ( 6 2 )2 2 2B C P QS t t = 23 3 6 3 32 2 8t9 分 当 32t时，BCPQS的面积最小值为 6338 10 分 此时 3 3 3 9 3 3332 4 4 4 4O Q O P O E Q E P E ， = ，2 222 3 3 9 3 34 4 2P Q P E Q E 11 分 （ 2009 年河北省 ） 26（本小题满分 12 分） 如图 16，在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3， AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时 停止运动，点 P 也 随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t 0） x y M C D P Q O A B N E H B E （ 1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （ 4）当 DE 经过点 C 时，请 直接 写出 t 的值 26解：（ 1） 1， 85； （ 2） 作 QF AC 于点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3AP t 由 AQF ABC， 225 3 4BC ， 得45QF t 45QF t 14(3 )25S t t ， 即22655S t t （ 3）能 当 DE QB 时，如图 4 DE PQ， PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP=90 由 APQ ABC，得 AQ APAC AB， 即 335tt 解得 98t 如图 5，当 PQ BC 时， DE BC，四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ =90 由 AQP ABC，得 AQ APAB AC， 即 353tt 解得 158t （ 4） 52t或 4514t 【注： 点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C 方法一、连接 QC，作 QG BC于点 G， 如图 6 PC t ， 2 2 2Q C Q G C G 2234 ( 5 ) 4 ( 5 ) 55tt 由 22PC QC ，得2 2 234 ( 5 ) 4 ( 5 ) 55t t t ，解得 52t 方法二、由 CQ CP AQ ，得 QAC QCA ，进而可得 B BCQ ，得 CQ BQ ， 52AQ BQ 52t 点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C， 如图 7 A C B P Q E D 图 4 A C ) B P Q D 图 3 E ) F A C B P Q E D 图 5 A C(E) ) B P Q D 图 6 G A C(E) ) B P Q D 图 7 G 2 2 234( 6 ) ( 5 ) 4 ( 5 ) 55t t t ， 4514t】 （ 2009 年河南省） 23.（ 11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（ 4， 0）、 C（ 8，0）、 D（ 8， 8） .抛物线 y=ax2+bx 过 A、 C 两点 . (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B运动，同时点 Q从点 C出发，沿线段 CD 向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒 .过点 P作 PE AB交 AC于 点 E 过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t为何值时，线段 EG最长 ? 连接 EQ在点 P、 Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形 ? 请直接写出相应的 t 值 . 解 .(1)点 A 的坐标为（ 4， 8） 1 分 将 A (4,8)、 C（ 8， 0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=-12,b=4 抛物线的解析式为 ： y=-12x2+4x 3 分 （ 2） 在 Rt APE 和 Rt ABC 中 ， tan PAE=PEAP=BCAB,即 PEAP=48 PE=12AP=12t PB=8-t 点的坐标为（ 4+12t， 8-t） . 点 G 的纵坐标为： -12（ 4+12t） 2+4(4+12t） =-18t2+8. 5 分 EG=-18t2+8-(8-t) =-18t2+t. -18 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 7 分 共有三个时刻 . 8 分 t1=163， t2=4013， t3= 8525 11 分 (2009 年 山西 省 )26（ 本题 14 分 ） 如图，已知直线1 28: 33l y x与直线2 : 2 1 6l y x 相交于点 C l l12， 、分别交 x 轴于 AB、 两点 矩形 DEFG 的顶点 DE、 分别在直线12ll、上，顶点 FG、 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重 合 （ 1）求 ABC 的面积； （ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长； （ 3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设 移动时间为 (0 12)tt 秒，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围 26 （ 1）解：由 28033x ，得 4xA 点坐标为 40， 由 2 16 0x ， 得 8xB 点坐标为 80， 8 4 1 2AB （ 2 分） 由 28332 1 6yxyx ，解得 56xy， C 点的坐标为 56， （ 3 分） 11 1 2 6 3 622A B C CS A B y （ 4 分） （ 2）解：点 D 在1l上且 288 8 833D B Dx x y ， D 点坐标为 88， （ 5 分） 又点 E 在2l上且 8 2 1 6 8 4E D E Ey y x x ， A D B E O C F x yy 1ly 2l（ G）（第 26 题） E 点坐标为 48， （ 6 分） 8 4 4 8O E E F ， （ 7 分） （ 3）解法一： 当 03t 时，如图 1，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分为五边形 CHFGR （ 0t 时，为四边形 CHFG ） 过 C 作 CM AB 于 M ，则 R t R tR G B C M B BG RGBM CM ，即36t RG ， 2RG t R t R tA F H A M CQ ， 1 1 23 6 2 8 82 2 3A B C B R G A F HS S S S t t t t 即 24 1 6 4 43 3 3S t t （ 10 分） （ 2009 年 山西省太原市） 29（本小题满分 12 分） 问题解决 如图（ 1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E （不与点 C ，D 重合），压平后得到折痕 MN 当 12CECD时，求 AMBN的值 类比归纳 在图（ 1）中，若 13CECD ，则 AMBN的值等于 ；若 14CECD ，则 AMBN的值等于 ；若 1CECD n（ n 为整数），则 AMBN的值等于 （用含 n 的式子表示） 联系拓广 如图（ 2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E （不与点 CD， 重合），压平后得到折痕 MN，设 111A B C EmB C m C D n ， ，则 AMBN的值等于 （用含 mn， 的式子表示） A D B E O R F x yy 1ly 2lM （图 3） G C A D B E O C F x yy 1ly 2lG （图 1） R M A D B E O C F x yy 1ly 2lG （图 2） R M 方法指导： 为了求得 AMBN的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2 图（ 1） A B C D E F M N 29 问题解决 解： 方法一： 如图 （ 1-1），连接 BM EM BE， ， 由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直平分 BE B M E M B N E N， 1 分 四边形 ABCD 是正方形， 9 0 2A D C A B B C C D D A , 1 12CE C E D ECD ， 设 BN x ， 则 NE x ， 2NC x 在 Rt CNE 中， 2 2 2N E C N C E 22221xx 解得 54x，即 54BN 3 分 在 Rt ABM 和在 Rt DEM 中， 2 2 2A M A B B M， 2 2 2D M D E E M， 2 2 2 2A M A B D M D E 5 分 设 AM y ， 则 2DM y， 22 2 22 2 1yy 解得 14y ，即 14AM 6 分 15AMBN 7 分 方法二： 同方法一， 54BN 3 分 如图（ 1 2），过点 N 做 NG CD ， 交 AD 于点 G ，连接 BE 图（ 2） N A B C D E F M N 图（ 1-1） A B C D E F M AD BC ， 四边形 GDCN 是平行四边形 N G C D BC 同理，四边形 ABNG 也是平行四边形 54AG BN 90M N B E E B C B N M ， 90N G B C M N G B N M E B C M N G Q ， ， 在 BCE 与 NGM 中 90E B C M N GB C N GC N G M ， B C E N G M E C M G ， 分 114A M A G M G A M 5， = 46 分 15AMBN 7 分 类比归纳 25 （或 410 ）； 917 ； 22 11nn 10 分 联系拓广 2222211n m nnm 12 分 评分说明： 1 如 你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分 2 如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有 影响，可依据参考答案及评分说明进行估分 （ 2009 年安徽省） 23 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（ 1）所示 （ 1）请说明图中 、两段函数图象的实际意义 【解】 金额 w（元） 300 200 N 图（ 1-2） A B C D E F M G O 624 批发单价（元） 5 批发量（ kg） 第 23题图（ 1） O 6 2 40 日 最高销量 （ kg） 80 零售价（ 元 ） 第 23题图（ 2） 4 8 （ 6， 80） （ 7， 40） （ 2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（ kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 【解】 （ 3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（ 2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大 【解】 23 （ 1） 解： 图 表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果， 可按 5 元 /kg 批发； 3 分 图 表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元 /kg 批发 3 分 （ 2）解：由题意得： 2 0 6 06 054mmwmm （ ）（，函数图象如图所示 金额 w（元） O 批发量 m（ kg） 300 200 100 20 40 60 240 7 分 由图可知资金金额满足 240 w 300 时，以同样的资金可 批发到 较多数量的该种水果 8 分 （ 3）解法一： 设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 320 40wm 当 m 60 时， x 6.5 由题意，销售利润为 2( 4 ) ( 3 2 0 4 0 ) 4 0 ( 6 ) 4 y x m x 12 分 当 x 6 时， 160y 最 大 值，此时 m 80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元 /kg， 当日可获得最大利 润 160 元 14 分 解法二： 设日最高销售量为 xkg（ x 60） 则由图 日零售价 p 满足： 320 40xp，于是 32040 xp 销售利润23 2 0 1( 4 ) ( 8 0 ) 1 6 04 0 4 0xy x x 12 分 当 x 80 时， 160y 最 大 值，此时 p 6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元 /kg， 当日可获得最大利润 160 元 14 分 （ 2009 年江西省） 25如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC ， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC 交 CD于点 F 46AB BC， ， 60B . （ 1）求点 E 到 BC 的距离； （ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB 交折线 ADC 于点N ，连结 PN ，设 EP x . 当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN 的周长；若改变，请说明理由； 当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 . A D E B F C 图 4（备用） A D E B F C 图 5（备用） A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题） 25（ 1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点 G 1 分 E 为 AB 的中点， 1 22B E A B在 Rt EBG 中， 60B ， 30BEG 2 分 221 1 2 1 32B G B E E G ， 即点 E 到 BC 的距离为 3 3 分 （ 2）当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN 的形状不发生改变 P M E F E G E F， ， PM EG EF BC ， EP GM ， 3P M E G 同理 4MN AB 4 分 如图 2，过点 P 作 PH MN 于 H ， MN AB ， 6 0 3 0N M C B P M H ， 1322P H P M 3c o s 3 02M H P M g 则 35422N H M N M H 在 Rt PNH 中 ， 2222 53 722P N N H P H PMN 的周长 = 3 7 4P M P N M N 6 分 当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形 当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR 类似， 32MR 23M N M R7 分 MNC 是等边三角形， 3MC MN 此时， 6 1 3 2x E P G M B C B G M C 8 分 图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H 当 MP MN时，如图 4，这时 3M C M N M P 此时， 6 1 3 5 3x E