四年级奥数-教师版-第四讲周期问题

指南针小升初 - 20 - 第四讲 周期问题 知识导航 解决周期问题时，关键在于找到周期的长度只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数 例 1： 2001年 10月 1日是星期一，问 10月 25日是星期几？ 解析 ：我们知道，每个星期有 7天，也就是说以 7天为一个周期不断地重复。那么从 10月 1日到 10月 25日经过了 25 1=24（天）。因此用除法算式解答。 解 ：（ 1）从 10月 1日到 10月 25 日有： 25 1=24（天） （ 2） 24 天里有多少个星期余多少天？ 24 7=3（个星 期） 3（天） （说明 24天中包含 3个星期还多 3天，最后一天起，再过 3天就应是星期四） 答： 10 月 25 日是星期四。 (注：在计算日期的过程中，日期一般“算头不算尾”数星期的时候也要从当天的后面数起。本题中的当天是星期一，应该从星期二数起。 ) 【巩固 1】 2001年 5月 3日是星期四，问 5月 20日是星期几？ 解析： 天数比较少，容易计算，而且出现在同一个月内。 解： 207天 17 7=2 3 从星期五数起，第三天是星期日。 【巩固 2】公历 2000 年 1月 1日是星期六，公历 2008年 1月 1 日是星期几？ 解 析： 先求出从公历 2000年 1月 1日到公历 2008年 1月 1日一共经过的天数，其中平年有 6年，闰年有 2年，最后还有 2008年 1月 1日这一天。 2 9 2 3123666365 （天） 441772923 从星期六开始数 4天得星期二，所以公历 2008年 1月 1日是星期二。 例 2： 100个 3相乘，积的个位数字是几？ 解析 ：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。 解 ：（ 1） 1 3=3 1个 3相乘积 的个位数字是： 3 （ 2） 3 3=9 2个 3相乘积的个位数字是： 9 （ 3） 3 3 3=27 3个 3相乘积的个位数字是： 7 （ 4） 3 3 3 3=81 4个 3相乘积的个位数字是： 1 指南针小升初 - 21 - （ 5） 3 3 3 3 3=243 5个 3相乘积的个位数字是： 3（已经重复出现） 规律： 可以发现积的个位数分别以 3、 9、 7、 1不断出重复出现的。即每 4个 3的积的个位数为一个周期。 所以 100个 3有多少个周期？ 100 4=25（个）（整除说明是最后一个即个位为 1） 答：积的个位数字是 1。 【巩固 1】 23个 3相乘，积的个位数字是 几？ 解析： 1 3=3； 3 3=9； 3 3 3=27； 3 3 3 3=51； 3 3 3 3 3=153； 四个 3为一个周期， 23 4=5 3； 3 3 3=27,余数是 3，所以积的个位是 7. 【巩固 2】 100个 2相乘，积的个位数字是几？ 解析： 1 2=2； 2 2=4； 2 2 2=8； 2 2 2 2=16； 2 2 2 2 2=32； 4个 2尾数会循环一个周期， 100 4=以尾数是 6. 例 3： A B C A B C A B 万 事 如 意 万 事 如 意 上表是中，每一列两 个符号组成一组，如第一组“ A 万”，第二组“ B 事”，问第 20个组是什么？ 解析 ：观察上表，发现有两个独立的排列规律。上面一组是以“ A、 B、 C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。要求出第 20个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。 解 ：（ 1）上面一组： 20 3=6（组） 2（个）（说明第 20个字母是：“ B”） （ 2）下面一组： 20 4=5（组）（说明第 20个字是：“意”） 答：第 20 个组是“ 个符号。 【巩固】 上表中每一列两个符号为一组，如：第一组为“ 第二组为“ 问第 25 组是什么？ 解析： 分别求出第 25 组的符号：上层： 25 4=6 1 是 A； 下层： 25 3=8 1 是 1； 所以第 25组是： A B C D A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 指南针小升初 - 22 - 例 4：有一列数按“ 432791864327918643279186”排列 . 那么前 54 个数字之和是多少？ 解析 ：观察发现，重复出现的部分是“ 43279186”，周期数是 8. 要求出这列数字的和，就要求出这一列数里共有多少组“ 43279186”，再求出这组的和 . 解 ：（ 1） 54 8=6（组） 6（个） （ 2） 4+3+2+7+9+1+8+6=40 （ 3） 6 40=240 （ 4）余下的 6个数的和为： 4+3+2+7+9+1=26 （ 5） 240+26=266 答：前 54个数字之和是 266。 【巩固】有一列数按“ 294736294736294”排 列 . 那么前 40 个数字之和是多少？ 解析： 一个周期的数字是： 294736，周期数是 6. 40 6=6（组） 4（个） 2+9+4+7+3+6=31； 31 6+2+9+4+7=208. 例 5：小红买了一本童话书，每两页文字之间有 3 页插图，也就是说 3 页插图前后各有 1页文字，如果这本书有 128页，而第 1页是文字，这本书共有插图多少页？ 解析 ：已知这本书 3 页插图前后各有 1 页文字，也就是说这本书是按“ 1 页文字 3页插图”的规律重复排列的，把“ 1页文字 3页插图”看做一周期 。 128页中含有： 128（ 1+3） =32（个）周期。所以这本书共有插图： 3 32=96（页） 解 ：（ 1） 128（ 1+3） =32（个） （ 2） 3 32=96（页） 答：这本书共有插图 96页。 例 6： 聪聪把自然数按规律排列成如下图所示的表格，你知道第一行的第 1993 个数是多少吗？ 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 指南针小升初 - 23 - 解析： 根据数表，第一行各数依次是： 1,2,5,10,17,26 第一列各数为完全平方数，两者一比较，课发现第一行的第 数值加 1. 解： 3 9 6 8 0 6 51)11 9 9 3( 2 【巩固】把自然数按下面的规律排列， 2007排在哪一列？ 解析： 观察图可知：每 6个数为一个周期 循环， 333462007 ， 2007排在第 335 个周期的第 3个位置上，也就是 A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 指南针小升初 - 24 - 课后练习 1、 2008年 8月 1日是星期三，问 8月 28 日是星期几？ 解析： 287 27 7=3 6 星期四开始， 28 号是星期二。 2、 50个 7相乘，积的个位数字是几？ 解析： 1 7=7； 7 7=49； 7 7 7=343； 7 7 7 7=2401； 7 7 7 7 7=16807；可知 4个 7为一个循环周期； 50 4=12 2 余数是 2，所以尾数是 9. 3、 有同样大小的红 、白、黑球共 120 个，按先 3 个红的，后 2 个白的，再 1 个黑的排 列，问（ 1）、白球一共有多少个？（ 2）、第 68个球是什么颜色球？ 解析： 排列方式： 3红 +2白 +1黑 =6个，一个周期是 6个； （ 1） 120 6=20（组） 20 2=40（个） （ 2） 68 6=11（组） 2（个）是红球。 4、有一列数按“ 9453672945367294”排列。那么前 50 个数字之和是多少？ 解析： 周期数字是： 9453672，周期数是 7； 50 7=7（组） 1（个） 9+4+5+3+6+7+2=36； 36 7+9=261. 5、 81003 的个位数字是 多少？ 解析： 1 8=8； 8 8=64； 8 8 8=512； 8 8 8 8=4096； 8 8 8 8 8=32768；循环周期是 8 4 2 6； 4个 8为一个周期； 1003 4=250 3，所以个位数是 2. 指南针小升初 - 25 - 6、甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石分配的规则就是：宝石最多的人分给其他 3 人每人 1 颗如果第 1 天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有 10、 7、 5、 4 颗宝石，那么第 100 天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？ 解析： 先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示， 试着再往下填几行： 解： 第 2天早上分配完之后是 （ 7、 8、 6、 5）， 第 3天（ 8、 5、 7、 6）， 第 4天（ 5、 6、 8、 7）， 第 5天（ 6、 7、 5、 8）， 第 6天（ 7、 8、 6、 5）与第 2天相同， 所以 4天一周期 除去第 1天还有 99天， 99 4=24 3，所以 应该与周期中的第 3个即第 4天相同， 即（ 5、 6、 8、 7） 7、将奇数如下图排列，各列分别用 A、 B、 C、 D、