江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第12章计数原理、概率

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十二章 计数原理、统计与概率 . 2 第 01 课 计数原理 . 2 第 02 课 排列与组合（） . 3 第 03 课 排列与组合（） . 4 第 04 课 二项式定理 . 6 第 05 课 抽样方法 . 12 第 06 课 用样本估计总体 . 13 第 07 课 随机事件的概率、古典概型 . 14 第 08 课 几何概型 . 17 第 09 课 随机变量及其概率分布 . 17 第 10 课 独立性、二项分布 . 22 第 11 课 随机变量的均值与方差 . 23 - 2 - 第十二章 计数原理 、 统计 与 概率 第 01课 计数原理 （南京盐城模拟 一） 设集合 S 1， 2， 3， n (n N*， 2)n ， A ， B 是 S 的两个非空子集，且满足集合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数，记满足条件的集合对 ( , )个数为 （ 1）求2P，3 （ 2）求 解：（ 1）当 2n 时，即 1,2S ， 此时 1A ， 2B ，所以2 1P 2 分 当 3n 时，即 1,2,3S 若 1A ，则 2B ，或 3B ，或 2,3B ； 若 2A 或 1,2A ，则 3B 所以3 5P 4 分 （ 2）当集合 A 中的最大元素为 “k ”时， 集合 A 的其余元素可在 1， 2， 1k 中任取若干个（包含不取），所以集合 A 共有 0 1 2 1 11 1 1 1 2k k C C 种情况 6 分 此时，集合 B 的元素只能在 1k ， 2k ， n 中任取若干个（至少取 1 个），所以集合 B 共有1 2 3 21n k n kn k n k n k n C C 种情况， 所以， 当集合 A 中的最大元素为 “k ”时， 集合对 ( , )有 1 1 12 ( 2 1 ) 2 2k n k n k 对 8 分 当 k 依次取 1， 2， 3， 1n 时，可分别得到集合对 ( , )个数， 求和可得 1 0 1 2 2 1( 1 ) 2 ( 2 2 2 2 ) ( 2 ) 2 1n n n n L 10 分 （扬州期末） 对于给定的大于 1 的正整数 n ，设 20 1 2 a a n a n a n ，其中0， 1， 2，1n ， i 0， 1， 2， 1n ， n ，且 0 ，记满足条件的所有 x 的和为 （ 1）求2A； （ 2）设( 1) ()2，求 () （ 1） 当 2n 时，0 1 224x a a a ，0 0,1a ，1 0,1a ，2 1a ， 故满足条件的 x 共有 4 个，分别为 0 0 4x ， 024x ， 1 0 4x ， 1 2 4x ， 它们的和是 22 4 分 （ 2） 由题意得，0a，1a，2a， ，1有 n 种取法；n 种取法， 由分步计数原理可得0a，1a，2a，1法共有 ( 1 ) ( 1 )nn n n n n n ， 即满足条件的 x 共有 ( 1)个 6 分 当0i 0， 1， 2， 1n 时，1a，2a，1有 n 种取法，n 种取法， - 3 - 故1 ( 1 ) 0 1 2 ( 1 ) ( 1 )2nn n n ； 同理，1 ( 1 ) 0 1 2 ( 1 ) ( 1 )2nn n n n n ； 1 2 2( 1 ) 0 1 2 ( 1 ) ( 1 )2nn n n n n ； 的和为 21 1 1( 1 ) 0 1 2 ( 1 ) ( 1 )2nn n n n n n ； 当i 1， 2， 1n 时，0a，1a，2a，1有 n 种取法， 故 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 2nn n n n n ； 所以121( 1 ) ( 1 )( 1 )22nn n n nn n n n ； 21( 1 ) 1 ( 1 )2 1 2n n n nn n n n n 1( 1 ) ( 1 )2n 故 1( ) 1n n n 1 0 分 第 02课 排列与组合（） （南通调研二） 设 A， B 均为 非空集合， 且 A B ， A B 1 2 3， ， ， ， n (n 3， n N )记A， B 中 元素的个数分别为 a， b， 所有满足“ a B，且 b A ” 的集合对 (A， B)的个数 为 （ 1）求 值； （ 2）求 解：（ 1）当 n 3 时， A B 1， 2， 3，且 A B ， 若 a 1， b 2， 则 1 B ， 2 A ，共 01 若 a 2， b 1， 则 2 B ， 1 A ，共 11 所以 01C 11+ C 2； 2 分 当 n 4 时， A B 1， 2， 3， 4，且 A B ， 若 a 1， b 3， 则 1 B ， 3 A ，共 02 若 a 2， b 2， 则 2 B ， 2 A ，这与 A B 矛盾； - 4 - 若 a 3， b 1， 则 3 B ， 1 A ，共 22 所以 02C 22+ C 2 4 分 （ 2）当 n 为偶数时， A B 1， 2， 3， ， n，且 A B ， 若 a 1， b 1n， 则 1 B ， 1n A ，共 02考虑 A ）种； 若 a 2， b 2n， 则 2 B ， 2n A ，共 12考虑 A ）种； 若 a 12n， b 12n， 则 12n B， 12n A，共 222（考虑 A ）种； 若 a2n， 则2n B，2n A，这与 A B 矛盾； 若 a 12n， b 12n， 则 12n B， 12n A，共 22考虑 A ）种； 若 a 1n ， b 1 ， 则 1n B ， 1 A ，共（考虑 A ） 22种， 所以 02 12 222 22 1222C 2 C ； 8 分 当 n 为奇数时，同理得， 02 12 222 ， 综上得， 12 2222 C 2 ， 为 偶 数 ， 为 奇 数 10 分 第 03课 排列与组合（） n ，集合 M 1， 2， 3， ， n 的所有含有 3 个元素的子集记为1A ， 2A ， 3A ， ， 3设 1A ， 2A ， 3A ， ，3 （ 1）求 3S ， 4S ， 5S ，并求出 （ 2）证明： 34 526. - 5 - （南京三模） 已知集合 A 是 集合 1， 2， 3， ， n (n 3， n N*)的子集，且 A 中恰有 3 个元素， 同时 这 3 个元素的和是 3 的倍数记符合上述条件的集合 A 的个数为 f(n) （ 1）求 f(3)， f(4)； （ 2）求 f(n)（用含 n 的式子表示） 解： （ 1） f(3) 1， f(4) 2； 2 分 （ 2）设 m m 3p， p N*， p m m 3p 1， p N*， p n 13 ， m m 3p 2， p N*， p n 23 ， 它们所含元素的个数分别记为 4 分 当 n 3k 时，则 k k 1， 2 时， f(n) ( k 3 时， f(n) 3( 3232k 从而 f(n) 1181613n， n 3k， k N* 6 分 当 n 3k 1 时，则 k 1， k k 2 时， f(n) f(5) 2 2 1 4； k 3 时， f(n) f(8) 1 1 3 3 2 20； k 3 时， f(n) C 3k 1 2C 1k 1 ( 32352k 1； 从而 f(n) 1181613n 49， n 3k 1， k N* 8 分 当 n 3k 2 时， k 1， k 1， k k 2 时， f(n) f(4) 2 1 1 2； k 3 时， f(n) f(7) 1 3 2 2 13； k 3 时， f(n) 2C 3k 1 (C 1k 1)2 32925k 2； - 6 - 从而 f(n) 1181613n 29， n 3k 2， k N* 所以 f(n)1181613n， n 3k， k N*，1181613n49， n 3k 1， k N*，1181613n29， n 3k 2， k N* 10 分 第 04课 二项式定理 （南京盐城二模） 已知 m， n N*，定义 fn(m) n(n 1)(n 2) (n m 1)m! （ 1）记 f6(m)，求 值； （ 2）记 ( 1)m)，求 有可能值的集合 解 ：（ 1）由题意知， fn(m)0， mn 1，1mn 所以 0， m7，1m6 2 分 所以 63 4 分 （ 2）当 n 1 时， ( 1)m) 0， m2， 1， m 1 则 1 6 分 当 n2时 ， 0， mn 1，( 1)1mn 又 mn!m!(n m)! n(n 1)!(m 1)!(n m)! 1n 1， 所以 b1+ n C 0n 1 C 1n 1 C 2n 1 C 3n 1 ( 1)1n 1 0 所以 b1+ 取值构成的集合为 1， 0 10 分 （ 泰州二模 ） 已知 2( ) ( 1 ) nf x x x （ ）， ()关于 x 的 2n 次多项式； （ 1）若 23( ) ( ) ( )f x g x g x 恒成立，求 (1)g 和 ( 1)g 的值；并写出一个满足条件的 ()表达式，无需证明 （ 2）求证：对于任意给定的正整数 n ，都存在与 x 无关的常数0a，1a，2a， ， 使得 2 2 1 2 2 2 1 10 1 2 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( )n n n n n x a x a x x a x x a x x a x 解：（ 1）令 1x ，则 (1) (1) (1)f g g ，即 (1 ) (1 ) 1 0 ， 因为 (1 ) 1 3 1 0 ，所以 (1) 0g ； 令 1x ，则 23( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f g g ，即 (1 ) ( 1 ) ( 1 )f g g ， 因为 ( 1 ) (1 ) 1 0 ，因为 (1 ) 1 3 1 0 ，所以 ( 1) 0g ； - 7 - 例如 2( ) ( 1 ) ( )ng x x n N 4 分 （ 2）当 1n 时， 22( ) 1 ( 1 )f x x x x x ，故存在常数0 1a ，1 1a， 使得 201( ) (1 )f x a x a x 假设当 （ ）时，都存在与 x 无关的常数0a，1a，2a， ， 使得 2 2 1 2 2 2 1 10 1 2 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( )k k k k k x a x a x x a x x a x x a x ，即 2 2 2 1 2 2 2 1 10 1 2 1( 1 ) (1 ) ( ) ( ) ( )k k k k k k x a x a x x a x x a x x a x 则当 1时， 2 1 2 2( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x x x 2 2 2 1 1 10 1 1( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )k k k k x a x a x x a x x a x 1 1 2 1 20 1 1 1 1 0()k k k k kk k ka a x a x a x a x a x a x 2 1 2 2 2 10 1 1 1 1 0k k k k kk k ka x a x a x a x a x a x a x 2 3 1 2 3 2 1 2 20 1 1 1 1 0k k k k kk k ka x a x a x a x a x a x a x 2 3 10 1 0 2 1 0 3 2 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) kk k ka a a x a a a x a a a x a a a x 121 2 1 1 2( ) ( 2 ) ( )k k kk k k k k k k ka a a x a a x a a a x 2 1 2 2 1 2 23 2 1 2 1 0 1 0 0( ) ( ) ( )k k k ka a a x a a a x a a x a x 2 2 2 1 2 20 1 0 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k ka x x a a x x a a a x x 211 2 1( ) ( ) ( 2 )k k kk k k k ka a a x x a a x ； 令001 0 1a a a，21m m m ma a a a （ 2 ），112k k ka a a； 故存在与 x 无关的常数0a，1a，2a， ， 使得 2 2 2 1 2 2 2 10 1 2 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) k k k k k x a x a x x a x x a x x a x 综上所述，对于任意给定的正整数 n ，都存在与 x 无关的常数0a，1a，2a， ， 使得 2 2 1 2 2 2 1 10 1 2 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( )n n n n n x a x a x x a x x a x x a x 10 分 （苏北三市调研三） 设 *,a b nN ， 且 ， 对于二项式 () (1)当 n=3， 4 时 ， 分别将该二项式表示 为 ( *, )的形式； - 8 - (2)求证 ： 存在 *, ， 使得等式 n )( 与 n )( 同时成立 (1)当 n=3 时 , 3( ) ( 3 ) ( 3 )a b a b a b a b , 22( 3 ) ( 3 ) .a a b b b a 2 分 当 n=4 时 , 4 2 2 2 2( ) 4 6 4 ( 6 ) 4 ( )a b a a a b a b b a b b a a b b a b a b , 2 2 2 2( 6 ) 1 6 ( )a a b b a b a b . 4 分 (2)证明 :由二项式定理 得 ()()1()(0 , 若 n 为奇数 ,则 )()()()()()()( 113332220 1 1 3 3 3 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn n n nC a b C a b C a b C b 分析各项指数的奇偶性易知 ,可将上式表示为 n 11)( 的形式 ,其中 *11 , , 也即 n 2121)(,其中 1 , 1 , *, . 6 分 若 n 为偶数 ,则 )()()()()()()( 2222220 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn n n nC a b C a b C a b C a b 类似地 ,可将上式表示为 n 22)( 的形式 ,其中 *22 , ， 也即 n 2222)(,其中 2, 2 , *, . 8 分 同理可得 ( 可表示为 n )( , 从而有 )( ()( , 综上可知结论成立 . 10 分 （盐城三模） 设 1 2 3 *1 2 3 4 1( ) ( 1 ) ( 2 , )n n n nF n a a C a C a C a C n n N . （ 1） 若 数列 项 均 为 1，求证 ： ( ) 0； （ 2）若对任意大于等于 2 的正整数 n ，都有 ( ) 0恒成立，试证明数列 证：（ 1）因数列 ，即 0 1 2 3( ) ( 1 ) n n n nF n C C C C C ， 由 0 1 2 2 3 3(1 ) n n nn n n n C x C x C x C x ，令 1x ， 则 0 1 2 30 ( 1 ) n n n C C C ，即 ( ) 0. 3 分 （ 2）当 2n 时， 121 2 2 3 2( 2 ) 0F a a C a C ，即2 1 32a a a，所以数列 项成等差数列 . 假设当 时，由 1 2 31 2 3 4 + 1( ) ( 1 ) 0k k k kF k a a C a C a C a C ，可得数列 1k 项成等差数列， 5 分 因 对任意大于等于 2 的正整数 n ，都有 ( ) 0恒成立，所以 ( +1) 0 成立， 所以 1 2 31 2 3 4 + 11 2 3 + 1 + 11 2 + 1 3 + 1 4 + 1 2 + 1( 1 ) 0( 1 ) 0k k k k k k ka a C a C a C a Ca a C a C a C a C ， - 9 - 两式相减得， 1 1 2 2 + 1 + 12 + 1 3 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0k k k k kk k k k k k k k C a C C a C C a C ， 因 111m m mn n C ， 所以 0 1 2 1 + 12 3 4 + 1 2( 1 ) ( 1 ) 0k k k kk k k k k k a C a C a C a C ， 即 0 1 2 1 12 3 4 + 1 2( 1 ) ( 1 ) 0k k k kk k k k k k a C a C a C a C ， 由假设可知2 3 4 + 1 2, , , , ,a a a a 也成等差数列，从而数列 k 项成等差数列 . 综上所述，若 ( ) 0对任意 3n 恒成立，则数列 10 分 （ 苏 锡 常 镇 二 模 ） - 10 - （南师附中四校联考） 设 12)1( nn 2)12)(1()12(1 ， *, ， （ 1）当 2n 时，试 指出 （ 2）当 3n 时，试比较证明你的结论 . （ 1） n=1 时，P ； 2n 时，当 0x 时， P ；当 0x 时， P ；当 0x 时， P 3 分 （ 2） 3n 时， x=0 时，P 4 分 x 0 时，令 12)1()( )12)(1()12(1 - 11 - 则 22)1)(12()( 12)(1(2)12( 32)1)(22)(12()( 12)(1(2 1)1)(2)(12( 32 当 x0 时， 0)( )(单调递减；当 ， 0)0()( 当 ，P ；当 ，用法一证明 10 分 法三：用二项式定理证明当 ，用法一证明 10 分 （金海南三校联考）设数列 通项公式 1 1 5 1 5 ( ) ( ) 225 ， n N*，记 112 2 (1)求 值 ； (2)求所有正整数 n，使得 被 8 整除 . 解： （ 1） 1， 3 2 分 - 12 - （ 2）记 1 52 ， 1 52 则 151i i) 150i i) 15(00 15(1 )n (1 )n 15(3 52 )n (3 52 )n 6 分 注意到 (3 52 )(3 52 ) 1 故 2 15(3 52 )n 1 (3 52 )n 1 (3 52 ) (3 52 ) (3 52 )n (3 52 )n 31 因此， 2 除以 8 的余数完全由 1， 以 8 的余数确定 由 （ 1）可以算出 项除以 8 的余数依次是 1， 3， 0， 5， 7， 0， 1， 3， ， 这是一个以 6 为周期的周期数列 从而 被 8 整除，当且仅当 n 能被 3 整除 10 分 第 05课 抽样方法 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4： 3： 3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本，则应从高一年级抽 取 名学生 32 （南通调研一） 某中学共有学生 2800 人，其中高一年级 970 人，高二年级 930 人，高三年级 900 人 现采用分层抽样的方法，抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 苏州期末） 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为 4， 12， 个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 . 3 （镇江期末） 某校共有师生 1600 人，其中教师有 100 人 现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽取学生的人数为 . 75 （淮安宿迁摸底） 若采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2， ， 420，则抽取的 21 人中，编号在区间 241， 360内的人数 是 6 （泰州二模） 某高中共有 1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样 的方法从中抽取 48 人，那么高二年级被抽取的人数为 16 （盐城三模） 某单位有 840 名职工 , 现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查 , 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号 , 则抽取的 42 人中 , 编号落入区间 61, 120的人数为 3 (苏锡常镇二模 )某工厂生产某种产品 5000 件，它们来自甲、乙、丙 3 条不同的生产线为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样若从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的件数之比为 :1 2 2 ，则乙生产线生产了 件产品 2000 （金海南三校联考）对一批产品的长度 (单位：毫米 )进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 25， 30)的为一等品，在区间20， 25)和 30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 0 15 20 25 30 35 组 距长 度 /毫 米 - 13 - 甲组 乙组 8 9 0 1 5 8 2 6 （ 苏北四市 ） 南通调研三 时间（ 小时 ） 频率 组距 50 75 100 125 150 第 06课 用样本估计总体 1 右图是小王所做的六套数学附加题得分（满分 40）的茎叶图 则其平均得分为 31 若数据 2， x ， 2， 2 的方差为 0，则 x 答案 ： 2 ； 若一组样本数据 8， x ， 10， 11， 9 的平均数为 10，则该组样本数据的方差为 南京盐城模拟一） 在一次射箭比赛中，某运动员 5 次射箭的环数依次是 9， 10， 9， 7， 10，则该组数据的方差 是 . 答案： 65（扬州期末） 已知样本 6， 7， 8， 9， m 的平均数是 8，则标准差是 . 2 （苏北四市期末） 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 3名同学在期末考试中的数 学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 143（南京盐城二模） 位：克）情况，从中随机抽测了 100 件产品的净重， 所得 数据均在区间 96，106中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 件产品中，净重在区 100， 104上的产品件数是 。 55 （南通调研二） 一种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量 (单位： t/下： 10， 该组数据的方差为 【答案】 南通调研三） 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在 50， 150中，其频率分布直方图如图所示已知在 50 75)， 中的频数为 100， 则 n 的值为 【 答案 】 1000 （苏北三市调研三） 如 图是某市 2014 年 11 月份 30 天的空气污染指数的频率分布直方图根据国家标准 ， 污染指数 在区间 0,51) 内 ， 空气质量为优 ；在区间 51,101) 内 , 空气质量为良； 在区间 101,151) 内 , 空气质量为轻微污染； 由此可知该市 11 月份空气质量为优或良的天数 有 天 28 （南京三模） 如图是 甲、乙两位射击运动员的 5 次 训练成绩（单位：环） 的茎叶图， 则 成绩较为稳定 （方差较小） 的运动员是 甲 （南师附中四校联考）下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 次数 1 2 3 4 5 得分 33 30 27 29 31 41 51 61 71 81 91 101 111 污染 指数 2300 5300 10300 频 率组 距 苏北三市 甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9 78 9 南京三模 - 14 - （南师附中） 对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下： 花期 (天 ) 11 13 14 16 17 19 20 22 个数 20 40 30 10 则这种花卉的平均花期为 天 解析 x 1100(1220 1540 1830 2110) ) 答案 07课 随机 事件的概率、古典概型 现有 5 道试题，其中甲类试题 2 道，乙类试题 3 道，现从中随机取 2 道试题，则至少有 1 道试题是乙类试题的概率为 9102 一只口袋内装有大小相同的 5 只球 , 其中 3 只白球 , 2 只黑球 , 从中一次性随机摸出 2 只球 , 则恰好有 1只是白球的概率为 从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 12 某班要选 1 名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 23，则这个班的女生人数占全班人数的百分 比为 60% 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 答案 ： 13； 注意 ： 写成162C 算错，不给分；写成 26 也不给分 在一次满分为 160 分的数学考试中，某班 40 名学生的考试成绩分布如下： 成绩（分） 80 分以下 80， 100） 100， 120） 120， 140） 140， 160 人数 8 8 12 10 2 在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在 120 分以上的概率为 南京三模） 经统计，在 银行 一个营业窗口 每天上午 9 点钟 排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 概率 该 营业窗口 上午 9 点钟时， 至少 有 2 人排队的概率是 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 . 23（南通调研一） 同时抛掷两枚质地均匀的骰子 (一种各面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具 )，观察向上的点数，则两个点数之积不小于 4 的概率为 15 - （南京盐城模拟一） 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 、乙下和棋的概率为 乙获胜的概率为 . 答案： 苏州期末） 设 1,1x ， 2, 0, 2y ，则以 ( , )坐标的点落在不等式 21所表示的平面区域内的概率为 . 12 （扬州期末） 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 . 13（镇江期末） 设 m ， n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 ,a m n ， 1, 1b ，则向量 a ，b 的夹角为锐角的概率是 . 512（苏北四市期末） 某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人，若每 名 应聘者被录用的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被录用的 概率为 56（盐城三模） 某公司从四 名 大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 56（淮安宿迁摸底） 若 将甲、乙两个球随机放入编号为 1 ， 2 ， 3 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1 ， 2 号盒子中各有 一 个球的概率是 29（南京盐城二模） 答案 :78 （南通调研三）从集合 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中任取一个数记为 x，则 整数的概率为 【 答案 】 49（苏北三市调研三） 已知集合 0,1A ， 2,3,4B ，若从 A， B 中各取一个数，则这两个数之和不小于 4的概率为 12（苏锡常镇二模）从 3 名男生和 1 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 12（南师附中四校联考）将一颗质地均匀的正方体 骰子 （六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次 得到的点数 m 、 n 分别作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 不在直线 5 下方的概率为 黄姜堰四校联考） 从集合 1,2,3,4 中 任取 2 个不同的数， 这 2 个数的 和为 3 的倍数 概率为