北京市石景山区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 16页） 2015年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4， 5，那么 MN=（ ） A B 1， 4， 5 C 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 3 2 值为（ ） A B C D 3下列函数中，与函数 y= 有相同定义域的是（ ） A f（ x） = B f（ x） = f（ x） =|x| D f（ x） =下列函数中为偶函数的是（ ） A y= y= y=2 x D y=|5若要得到函数 y=2x ）的图象，可以把函数 y=图象（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向左平移 个单位 6函数 f（ x） =x+）（ 0）的一段图象如图所示，则 =（ ） A B C D 7 f（ x） = +一个零点落在下列哪个区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 8已知函数 如果 f（ x） =3，那么 x 的值是（ ） 第 2页（共 16页） A 1 B C D 9函数 f（ x） =）的图象大致是（ ） A B CD 10设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有（ ） A x= x B x+ =x C 2x=2x D x+x+ =2x 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 3分，共 12分 11 2 3， 三个数中最小的数是 12已知 | |=| |=1， ，则平面向量 与 夹角的大小为 13在 ， A=90，且 ，则边 长为 14股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 元，能够成交的股 数为 卖家意向价（元） 向股数 200 400 500 100 买家意向价（元） 向股数 600 300 300 100 三、解答题共 6个小题，每小题 8分，共 48分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 3页（共 16页） 15已知向量 ，向量 （ ）若向量 与向量 垂直，求实数 k 的值； （ ）当 k 为何值时，向量 与向量 平行？并说明它们是同向还是反向 16 A、 B 是单位圆 O 上的点，点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在第二象限记 且 （ 1）求 B 点坐标； （ 2）求 的值 17已知函数 f（ x） =a 0 且 a1） （ 1）若函数 f（ x）在 2， 3上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值； （ 2）将函数 f（ x）图象上所用的点向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得图象不经过第二象限，求 a 的取值范围 18某同学用五点法画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+ 0 2 x x+） 0 3 3 0 （ ）请将表数据补充完整，并直接写出函数 f（ x）的解析式； （ ）若函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）求 f（ x）在区间 上的最小值 19已知 aR，函数 f（ x） =x|x a| （ ）当 a=2 时，将函数 f（ x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数 y=f（ x）的单调递增区间； （ ）当 a 2 时，求函数 y=f（ x）在区间 1， 2上的最小值 20定义：对于函数 f（ x），若在定义域内存在实数 x，满足 f（ x） = f（ x），则称 f（ x）为 “局部奇函数 ” （ 1）已知二次函数 f（ x） =x 4a（ aR），试判断 f（ x）是否为定义域 R 上的 “局部奇函数 ”？若是，求出满足 f（ x） = f（ x）的 x 的值；若不是，请说明理由； （ 2）若 f（ x） =2x+m 是定义在区间 1， 1上的 “局部奇函数 ”，求实数 m 的取值范围 第 4页（共 16页） 2015年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4， 5，那么 MN=（ ） A B 1， 4， 5 C 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 3 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；规律型；集合 【分析】 直接利用交集的求法，求解即可 【解答】 解：集合 M=1， 2， 3， N=2， 3， 4， 5， 那么 MN=2， 3 故选： D 【点评】 本题考查交集的运算法则的应用，是基础题 2 值为（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题 【分析】 所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值 【解答】 解： 故选 B 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3下列函数中，与函数 y= 有相同定义域的是（ ） A f（ x） = B f（ x） = f（ x） =|x| D f（ x） =考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 求出给出函数的定义域，然后依次求出选项中四个函数的定义域，比对后即可得到答案 【解答】 解：要使函数 y= 有意义，则 x 0， 所以函数 y= 的定义域为（ 0， +） 选项中给出的函数 的定义域为 x|x0； f（ x） =定义域为（ 0， +）； f（ x） =|x|的定义域为 R； f（ x） = 第 5页（共 16页） 所以与函数 y= 有相同定义域的是函数 f（ x） = 故选 B 【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量 x 的取值集合，是基础题 4下列函数中为偶函数的是（ ） A y= y= y=2 x D y=|【考点】 函数奇偶性的判断 【专题】 函数思想；定义法；函数的 性质及应用 【分析】 根据偶函数的定义进行判断即可 【解答】 解： A f（ x） =（ x） 2 x） =f（ x），则函数为偶函数，满足条件 B f（ x） =（ x） 2 x） = f（ x），则函数为奇函数，不满足条件 C函数为单调递减函数，为非奇非偶函数，不满足条件 D函数的定义域为（ 0， +），为非奇非偶函数，不满足条件 故选： A 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键 5若要得到函数 y=2x ）的图 象，可以把函数 y=图象（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；三角函数的图像与性质 【分析】 函数 y=2x ） =x ），再由函数 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解：由于函数 y=2x ） =3x ），故要得到函数 y=2x ）的图象，将函数 y=图象沿 x 轴向右平移 个单位即可， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律的应用，属于基础题 6函数 f（ x） =x+）（ 0）的一段图象如图所示，则 =（ ） A B C D 第 6页（共 16页） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式； y=x+）中参数的物理意义 【专题】 计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值 【分析】 利用函数的图象，求出 ，然后求解 的值 【解答】 解：由题意可知： T=4， ， = ， 故选： D 【点评】 本题考查三角函数的图象的变换与 应用，基本知识的考查 7 f（ x） = +一个零点落在下列哪个区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题 【分析】 根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果 【解答】 解：根据函数的实根存在定理得到 f（ 1） f（ 2） 0 故选 B 【点评】 本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题 8已知函数 如果 f（ x） =3，那么 x 的值是（ ） A 1 B C D 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；规律型；解题思想；方程思想；函数的性质及应用 【分析】 判断分段函数的值域，然后列出方程求解即可 【解答】 解：函数 可得 x 1 时， x+21， 1 x 2 时， 0， 4），此时： ，解得 x= x2 时， 2x4 综上 x= 故选： B 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值以及方程根的关系，是基础题 9函数 f（ x） =）的图象大致是（ ） 第 7页（共 16页） A B CD 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 1，又 y=（ 0， +）单调递增， y=） ，函数的图象应在 x 轴的上方， 在令 x 取特殊值，选出答案 【解答】 解： 1，又 y=（ 0， +）单调递增， y=） ， 函数的图象应在 x 轴的上方，又 f（ 0） =0+1） =， 图象过原点， 综上只有 A 符合 故选： A 【点评】 对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍， 本题属于低档题 10设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有（ ） A x= x B x+ =x C 2x=2x D x+x+ =2x 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；压轴题；新定义 【分析】 依题意，通过特值代入法对 A， B， C， D 四选项逐一分析即可得答案 【解答】 解：对 A，设 x= x=1， x=2，所以 A 选项为假 对 B，设 x= x+ =2， x=1，所以 B 选项为假 对 C， x= 2x= 3， 2x= 4，所以 C 选项为假 故 D 选项为真 故选 D 【点评】 本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 3分，共 12分 11 2 3， 三个数中最小的数是 2 3 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性求解 【解答】 解： ， 2 3= ， 第 8页（共 16页） = 1， 2 3， 三个数中最小的数是 2 3 故答案为： 2 3 【点评】 本题考查三个数中最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用 12已知 | |=| |=1， ，则平面向量 与 夹角的大小为 60 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【专题】 计算题 【分析】 利用向量的数量积公式：两向量的模与它们的夹角余弦的乘积，列出方程求出夹角余弦，求出夹角 【解答】 解：设两个向量的夹角为 ，则 0， =60 故答案为 60 【点评】 本题考查利用向量的数量积公式表示出向量的夹角余弦 ，进一步求出向量的夹角 13在 ， A=90，且 ，则边 长为 1 【考点】 向量在几何中的应用 【专题】 计算题；平面向量及应用 【分析】 根据直角三角形中三角函数的定义，可得 = ，由此结合题意算出 | |2=1，解之即可得到边 长 【解答】 解： ， A=90， = 又 ，可得 = ，即 化简得 | |2=1，解之得 | |=1，即边 长为 1 故答案为： 1 第 9页（共 16页） 【点评】 本题给出直角三角形中向量的数量积的值，求边的长度着重 考查了三角函数在直角三角形中的定义和向量的数量积等知识，属于基础题 14股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 ，能够成交的股数为 600 卖家意向价（元） 向股数 200 400 500 100 买家意向价（ 元） 向股数 600 300 300 100 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 计算题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用 【分析】 分别计算出开盘价为 买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论 【解答】 解：依题意，当开盘价为 时，买家意向股数为 600+300+300+100=1300， 卖家意向股数为 200，此时能够成交的股数为 200； 当开盘价为 时，买家意向股数为 300+300+100=700， 卖家 意向股数为 200+400=600，此时能够成交的股数为 600； 当开盘价为 时，买家意向股数为 300+100=400， 卖家意向股数为 200+400+500=1100，此时能够成交的股数为 400； 当开盘价为 时，买家意向股数为 100， 卖家意向股数为 200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为 100； 故答案为： 600 【点评】 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题 三、解答题共 6个小题，每小题 8分，共 48分 应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知向量 ，向量 （ ）若向量 与向量 垂直，求实数 k 的值； （ ）当 k 为何值时，向量 与向量 平行？并说明它们是同向还是反向 第 10页（共 16页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 由已知向量的坐标求出 与 的坐标 （ ）直接由向量垂直的坐标表示列式求实数 k 的值； （ ）由向量共线的坐标运算求得 k 值，代入向量验证是同向还是反向 【解答】 解： ， ， =（ 1 3k， 2+2k）， =（ 10， 4）， （ ）若向 量 与向量 垂直，则 10（ 1 3k） 4（ 2+2k） =0，解得： k= ； （ ）若向量 与向量 平行，则 4（ 1 3k） 10（ 2+2k） =0，解得： k= 3 此时 =（ 10， 4）， =（ 10， 4），两向量同向 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量平行和垂直的坐标运算，是中档题 16 A、 B 是单位圆 O 上的点，点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在第二象限记 且 （ 1）求 B 点坐标； （ 2）求 的值 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的 求值 【分析】 （ 1）根据角 的终边与单位交点为（ 结合同角三角函数关系和 ，可得 B 点坐标； （ 2）由（ 1）中结论，结合诱导公式化简 ，代入可得答案 【解答】 解：（ 1） 点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在第二象限 设 B 点坐标为（ x， y）， 则 y= x= = ， 即 B 点坐标为： 第 11页（共 16页） （ 2） = = = 【点评】 本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用，诱导公式，难度不大，属于基础题 17已知函数 f（ x） =a 0 且 a1） （ 1）若函数 f（ x）在 2， 3上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值； （ 2）将函数 f（ x）图象上所用的点向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得图象不经过第二象限，求 a 的取值范围 【考点】 对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化；对数函数的值域与最值 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）易知函数 f（ x）在 2， 3上单调，从而可知 ；从而解得 （ 2）函数 f（ x） =y=x+2） y=x+2） 1；从而可得 ；从而解得 【 解答】 解：（ 1） 函数 f（ x）在 2， 3上单调， 又 函数 f（ x）在 2， 3上的最大值与最小值的和为 2， ； 即 ； 解得， a= ； （ 2）函数 f（ x） =y=x+2） y=x+2） 1； y=x+2） 1 的图象不经过第二象限， ； 解得， a2 【点评】 本题考查了对数函数的运算及图象的变换应用，属于基础题 18某同学用五点法画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+ 0 2 x x+） 0 3 3 0 （ ）请将表数据补充完整，并直接写出函数 f（ x）的解析式； 第 12页（共 16页） （ ）若函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）求 f（ x）在区间 上的最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性 【专题】 计算题；图表型；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）由表中数据列关于 、 的二元一次方程组，求得 A、 、 的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充 （ ）由 22x 2， kZ，可解得函数 f（ x）的单调递增区间 （ ）由 x ，可得 2x ， ，利用正弦函数的图象即可求得f（ x）在区间 上的最小值为 3 【解答】 解：（ ）根据表中已知数据，解得 A=3， =2， = ， 数据补全如下表： x+ 0 2 x x+） 0 3 0 3 0 函数表达式为 f（ x） =32x ） （ ）由 22x 2， kZ，可解得函数 f（ x）的单调递增区间为： ， kZ （ ） x ， 2x ， ， f（ x） =32x ） 3， 当 2x = ，即 x= 时， f（ x）在区间 上的最小值为 3 【点评】 本题考查了由 y=x+）的部分图象求解函数解析式，考查了 y=x+）的性质，是中档题 19已知 aR，函数 f（ x） =x|x a| （ ）当 a=2 时，将函数 f（ x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数 y=f（ x）的单调递增区间； （ ）当 a 2 时，求函数 y=f（ x）在区间 1， 2上的最小值 【 考点】 函数的图象；二次函数在闭区间上的最值 【专题】 计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用 第 13页（共 16页） 【分析】 （ ）化简 f（ x） =x|x 2|= ，从而作其图象，并写出单调增区间； （ ）化简 f（ x） = ，分类讨论以确定函数的单调性，从而比较以确定函数的最小值 【解答】 解：（ ）当 a=2 时， f（ x） =x|x 2|= ， 故作其图象如右图， 函数 y=f（ x）的单调递增区间为（ ， 1，（ 2， +）； （ ） f（ x） = ， 当 1 2，即 2 a 4 时， f（ x）在 1， 上是增函数，在（ ， 2上是减函数； 而 f（ 1） =a 1， f（ 2） =2a 4， 故 f（ 1） f（ 2） =a 1 2a+4=3 a， 故当 2 a3 时， f（ 1） f（ 2）， 故 x） =f（ 2） =2a 4； 当 3 a 4 时， f（ 1） f（ 2）， 故 x） =f（ 1） =a 1； 当 a4 时， f（ x）在 1， 2上是增函数， 故 x） =f（ 1） =a 1； 综上所述， x） = 第 14页（共 16页） 【点评】