2016年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12道小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1若集合 M=1， 2， 3， 4， N=x|x（ x 3） 0，则 MN 等于（ ） A 1， 2， 3B 1， 2C x|1 x 3D 2， 3， 4 2设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3 1+31+31 3i 3在等差数列 ， ） A 1B 2C 1D 2 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=6x+y 的最大值为（ ） A 2B C 6D 5若双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2，则双曲线 N： =1 的渐近线方程为（ ） A y= y=2y= y=2 x 6如图，在梯形 ， 下列判断正确的是（ ） A =3 B = C = D = + 7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（ ） A B 2C D 3 第 2 页（共 18 页） 8执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 18，则输入的 S 值为（ ） A 4B 7C 22D 32 9已知函数 f（ x） =2x+）（ 0， 0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（ ， 0），（ ， 0），为了得到 f（ x）的图象，只需将 g（ x） =2图象（ ） A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 10若关于 x 的不等式 4x+x a 在 x（ 0， 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B（ 0， 1C（ ， D ， 1 11设 为锐角，则 “1”是 “0 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12直线 x 4y+1=0 经过抛物线 y=焦点，且此抛物线上存在一点 P，使 中， A（ 0， 2+m）， B（ 0， 2 m），则正数 m 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13某服装设计公司有 1200 名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为 1： 5： 6，公司十年庆典活动特别邀请了 5 位当地的歌手和公司的 36 名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 14曲线 f（ x） =（ 0， 1）处的切线方程为 15一边长为 3 的正三角形的三个顶点都 在球 O 的表面上，若球心 O 到此正三角形所在的平面的距离为 ，则球 O 的表面积为 16设 数列 前 n 项和，若 n 1，则 的最大值为 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 3 页（共 18 页） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， C=60， c= b （ 1）求角 A， B 的大小； （ 2）若 D 为边 一点，且 a=4， 面积为 ，求 长 18某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （ 1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合 格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平； （ 2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过 14 件，则称该车间 “生产率高效 ”，求该车间 “生产率高效 ”的概率 19在四梭推 P ， 平面 M 为线段一点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 证： 平面 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2，直线 l： y=x+2 与以原点 O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆 O 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 与直线 y=k 0）在第一象限的交点为 A 设 B（ ， 1），且 = ，求 k 的值； 若 A 与 D 关于 x 轴对称，求 面积的最大值 21已知函数 f（ x） = ， f（ 0） =9，其中 a 0， b， cR，且 b+c=10 （ 1）求 b， c 的值及函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若在区间 1， 2上仅存在一个 得 f（ a，求实数 a 的值 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选 讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B 第 4 页（共 18 页） （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在极坐标中，直线 l 的方程为 （ 34=2，曲线 C 的方程为 =m（ m 0） （ 1）求直线 l 与极轴的交点到极点的距离； （ 2）若曲线 C 上恰好存在两个点到直线 l 的距 离为 ，求实数 m 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知不等式 |x+2|+|x 2 丨 10 的解集为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若 a， bA， xR+，不等式 a+b（ x 4）（ 9） +m 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2016 年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12道小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的） 1若集合 M=1， 2， 3， 4， N=x|x（ x 3） 0，则 MN 等于（ ） A 1， 2， 3B 1， 2C x|1 x 3D 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 先化简集合 N，再求 MN 【解答】 解：集合 M=1， 2， 3， 4， N=x|x（ x 3） 0=x|0 x 3， MN=1， 2 故选： B 2设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3 1+31+31 3i 【考点】 复数代数形式的乘 除运算 【分析】 把 z=2+i 代入 z（ 1 z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数 z（ 1 z）的共轭复数 【解答】 解： z=2+i， z（ 1 z） =（ 2+i）（ 1 i） = 1 3i， 复数 z（ 1 z）的共轭复数为 1+3i 故选： B 3在等差数列 ， ） A 1B 2C 1D 2 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， d=9， d=3（ a1+d），解得 1， 故选： C 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=6x+y 的最大值为（ ） A 2B C 6D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=6x+y 得 y= 6x+z， 平移直线 y= 6x+z， 由图象可知当直线 y= 6x+z 经过点 C 时，直线 y= 6x+z 的截距最大，此时 z 最大 第 6 页（共 18 页） 由 ，解得 ，即 C（ 1， 0）， 代入目标函数 z=6x+y 得 z=61+0=6 即目标函数 z=6x+y 的最大值为 6 故选： C 5若双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2，则双曲线 N： =1 的渐近线方程为（ ） A y= y=2y= y=2 x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的离心率求出 m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可 【解答】 解 ：由双曲线方程得 a2=m， ， c2=m+6， 双曲线 M： =1（ m 0）的离心率为 2， =，即 ，得 m+6=4m， 3m=6，得 m=2， 则双曲线 N： =1 的渐近线 y= x=y= x， 故选： A 6如图，在梯形 ， 下列判断正确的是（ ） A =3 B = C = D = + 【考点】 向量的线性运算性质及 几何意义 【分析】 在梯形 ， 用向量的三角形法则、向量共线定理即可判断出结论 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：在梯形 ， ， = = ， ， = = + =+ 故选： D 7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（ ） A B 2C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为四棱柱与三棱柱的组合体 【解答】 解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为 1 的正方形，高为 2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为 1，三棱柱的高为 1， 所以几何体的体积 V=112+ = 故选 C 8执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值 为 18，则输入的 S 值为（ ） A 4B 7C 22D 32 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=6 时不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 S+4 9+16 25= 18，从而解得 S 的值 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 第 8 页（共 18 页） i=2， 满足条件 i 6，满足条件 i 是偶数， S=S+4， i=3 满足条件 i 6，不满足条件 i 是偶数， S=S+4 9， i=4 满足条件 i 6，满足条件 i 是偶数， S=S+4 9+16， i=5 满足条件 i 6，不满足条件 i 是偶数， S=S+4 9+16 25， i=6 不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 S+4 9+16 25= 18， 故解得： S= 4 故选： A 9已知函数 f（ x） =2x+）（ 0， 0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（ ， 0），（ ， 0），为了得到 f（ x）的图象，只需将 g（ x） =2图象（ ） A向 左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由周期求出 ，由零点的坐标求出 的值，可得 f（ x）的解析式；再根据函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+）（ 0， 0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（ ， 0），（ ， 0）， 可得 = = ， =3 再根据 3 +=kZ，可得 =， 0， = ， f（ x） =23x ） 只需将 g（ x） =2图象向右平移 个单位，可得 f（ x） =2x ） =23x ）的图象， 故选： D 10若关于 x 的不等式 4x+x a 在 x（ 0， 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B（ 0， 1C（ ， D ， 1 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到 结论 【解答】 解：不等式 4x+x a 在 x（ 0， 上恒成立，等价为不等式 4x+x a 在 x（ 0， 上恒成立， 第 9 页（共 18 页） 设 f（ x） =4x+x ，则函数在 （ 0， 上为增函数， 当 x= 时，函数 f（ x）取得最大值 f（ ） =4 + =2 1=1， 则 a1， 故选： A 11设 为锐角，则 “1”是 “0 ”的（ ） A充分不必 要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 为锐角，可得 0，则 “1”可得： 2， ，可得：“0 ”，反之不成立，例如取 = 即可判断出结论 【解答】 解： 为锐 角， 0， 则 “1”2， ， “0 ”，反之不成立，例如取 = “1”是 “0 ”的充分不必要条件 故选： A 12直线 x 4y+1=0 经过抛物线 y=焦点，且此抛物线上存在一点 P，使 中， A（ 0， 2+m）， B（ 0， 2 m），则正数 m 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由抛物线的焦点，得到未知量 a，由垂直得到斜率乘积是 1，由此得到 m 的取值范围 【解答】 解： y=焦点坐标为（ 0， ） a=1， 抛物线为 y= 设 P 点坐标为（ x， 中， A（ 0， 2+m）， B（ 0， 2 m）， 1 3 有解 令 t= t0） 则方程变为 3t+4 ，且在 t0 上有解， 对称轴为 t= ， 第 10 页（共 18 页） 只需 0 即可， m 故选： D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13某服装设计公司有 1200 名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为 1： 5： 6，公司十年庆典活动特别邀请了 5 位当地的歌手和公司的 36 名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 15 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据总体中年员工的所占的比例、样本的容量，求出应抽取中年员工的人数 【解答】 解：因为老年、中年、青年所占的比例为 1： 5： 6， 所以参演的中年员工的人数为： 36 =15， 故答案为： 15 14曲线 f（ x） =（ 0， 1）处的切线方程为 y=6x+1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = 则 f（ 0） =+5=6， 即函数在（ 0， 1）处的切线斜率 k=f（ 0） =6， 则对应的方程为 y 1=6x， 即 y=6x+1， 故答案为： y=6x+1 15一边长为 3 的正三角形的三个顶点都在球 O 的表 面上，若球心 O 到此正三角形所在的平面的距离为 ，则球 O 的表面积为 40 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 先求出正三角形外接圆的半径，再求出球 O 的半径 R，由此能求出球 O 的表面积S 【解答】 解： 一边长为 3 的正三角形的三个顶点都在球 O 的表面上， 正三角形外接圆的半径 r=3 = ， 球心 O 到此正三角形所在的平面的距离为 d= ， 球 O 的半径 R= = ， 球 O 的表面积 S=40 故答案为： 40 16设 数列 前 n 项和，若 n 1，则 的最大值为 【考点】 等比数列的前 n 项和 第 11 页（共 18 页） 【分析】 n 1，可得 1=1，当 n2 时， n 1则 = ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： n 1， 1=2 1=1， 当 n2 时， n 1=（ 2n 1）（ 2n 1 1） =2n 1 则 = = = ，当且仅当 n=3时取等号 的最大值为 故答案为： 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， C=60， c= b （ 1）求角 A， B 的大小； （ 2）若 D 为边 一点，且 a=4， 面积为 ，求 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 C=60，可得 c= b，可得： ，又由正弦定理可得：，解得 合 b c，可得 B 为锐角，利用三角形内角和定理可求 B， A 的值 （ 2）利用三角形面积公式及已知可求 余弦定理即可解得 值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） C=60，可得： ，由 c= b，可 得： ， 又 由正弦定理 ，可得： ，解得： ， 由已知可得 b c，可得 B 为锐角， 可得： B=45， A= B C=75 （ 2） 面积为 ，即： aCD= ，解得： ， 由余弦定理可得： = = 第 12 页（共 18 页） 18某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件 的个数如表： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （ 1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平； （ 2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过 14 件，则称该车间 “生产率高效 ”，求该车间 “生产率高效 ”的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）先分别求出 ， 和 S 甲 2， S 乙 2，由此能够比较两组员工的业务水平 （ ）记 “优秀团队 ”为事件 A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共 25种，事件 A 包含的基本事件共 11 种，由此能求出 “优秀团队 ”的概率 【解答】 解：（ ）依题意， = （ 4+5+7+9+10） =7， = （ 5+6+7+8+9） = ， S = （ 4 7） 2+（ 9 7） 2+（ 10 7） 2= S = （ 5 7） 2+（ 8 7） 2+（ 9 7） 2=2 = ， S 甲 2 S 乙 2， 两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大 （ ）记 “优秀团队 ”为事件 A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为： （ 4， 5），（ 4， 6），（ 4， 7），（ 4， 8），（ 4， 9）， （ 5， 5），（ 5， 6），（ 5， 7），（ 5， 8），（ 5， 9）， （ 7， 5），（ 7， 6），（ 7， 7），（ 7， 8），（ 7， 9）， （ 9， 5），（ 9， 6），（ 9， 7），（ 9， 8），（ 9， 9）， （ 10， 5），（ 10， 6），（ 10， 7），（ 10， 8），（ 10， 9），共 25 种， 事件 A 包含的基本事件为：（ 7， 8），（ 7， 9），（ 9， 6），（ 9， 7），（ 9， 8），（ 9， 9），（ 10， 5），（ 10， 6），（ 10， 7），（ 10， 8），（ 10， 9），共 11 种， P（ A） = 19在四梭推 P ， 平面 M 为线段一点 第 13 页（共 18 页） （ 1）求证：平面 平面 （ 2） 若 证： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 合 平面 平面 面 （ 2）在 取点 E，使得 结 得 因为以 行且相等，推出四边形 平行四边形，故以 平面 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 C=C， 平面 面 平面 平面 （ 2）在 取点 E，使得 结 又 B， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2，直线 l： y=x+2 与以原点 O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆 O 相切 第 14 页（共 18 页） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 与直线 y=k 0）在第一象限的交点为 A 设 B（ ， 1），且 = ，求 k 的值； 若 A 与 D 关于 x 轴对称，求 面积的最大 值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求出圆 O 的方程，运用直线和圆相切的条件，求出 b，再由离心率公式和 a，b， c 的关系，可求出 a，进而能求出椭圆方程 （ 2）设出 A 的坐标，代入椭圆方程，求出交点 A 的坐标， 运用向量的当量积的坐标表示，计算即可得到所求值； 运用三角形面积公式，结合基本不等式即可得到 面积最大值 【解答】 解：（ 1）由题设知圆 O 的方程为 x2+y2= 直线 l： x y+2=0 与圆相切，故有 ，解得 b= ， e= ， （ 即 ， 椭圆 C 的方程为 （ 2）设 A（ （ 0， 0），则 y0= 由 ，解得 ， = = ， 解得 k= ，或 k=0（舍）， k= = = 当且仅当 k= 时取等号 S 21已知函数 f（ x） = ， f（ 0） =9，其中 a 0， b， cR，且 b+c=10 （ 1）求 b， c 的值及函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若在区间 1， 2上仅存在一个 得 f（ a，求实数 a 的值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到 =9，结合 b+c=10，求出 b， c 的值即可； （ 2）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，求出 a 即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f（ 0） = =9，而 b+c=10， 解得： b=9， c=1， f（ x） = ， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x ， 令 f（ x） 0，解得： x 或 x ， f（ x）在（ ， ）递减，在（ ， ）递增， 在（ ， +）递减； （ 2）由（ 1）得： f（ x）在（ ， ）递增，在（ ， +）递减， a1 时， 1， f（ x）在 1， 2递减， f（ x） f（ 1） = =a，解得： a= ， 0 a 时， 2， f（ x）在 1， 2递增， f（ x） f（ 2） = =a，无解， a 1 即 1 2 时， f（ x）在 1， ）递增，在（ ， 2递减， f（ x） f（ ） = =a，无解， 综上， a= 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求 证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 第 16 页（共 18 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ 1）连结 导出 B， 此能证明直线 （ 2）延长 O 于点 F，连结 弦切角定理得 而 = ，由此能求出 长 【解答】 证明：（ 1） ，又 E， B， 如图，连结 B， 又点 C 在 O 上， 直线 O 相切 解：（ 2）如图，延长 O 于点