河北省张家口市2016年高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

河北省张家口市 2016 年高考数学模拟试卷（理科） （解析版） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1如图， I 为全集， M、 P、 S 是 I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A（ MP） S B（ MP） S C（ MP） （ MP） 分析】 先根据图中的阴影部分是 MP 的子集，但不属于集合 S，属于集合 S 的补集，然后用关系式表示出来即 可 【解答】 解：图中的阴影部分是： MP 的子集， 不属于集合 S，属于集合 S 的补集 即是 子集则阴影部分所表示的集合是（ MP） 选： C 【点评】 本题主要考查了 表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题 2设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 【解答】 解： =i（ 1+i） = 1+i，对应复平面上的点为（ 1， 1），在第二象限， 故选： B 【点评】 本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础 3已知函数 f（ x）的定义域为（ 3 2a， a+1），且 f（ x+1）为偶函数，则实数 a 的值可以是（ ） A B 2 C 4 D 6 【分析】 函数 f（ x+1）为偶函数，说明其定义域关于 “0”对称，函数 f（ x）的图象是把函数f（ x+1）的图象向右平移 1 个单位得 到的，说明 f（ x）的定义域（ 3 2a， a+1）关于 “1”对称，由中点坐标公式列式可求 a 的值 【解答】 解：因为函数 f（ x+1）为偶函数，则其图象关于 y 轴对称， 而函数 f（ x）的图象是把函数 f（ x+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，所以函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称 又函数 f（ x）的定义域为（ 3 2a， a+1），所以（ 3 2a） +（ a+1） =2，解得： a=2 故选 B 【点评】 本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于 y 轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题 4 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A C D 5分析】 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积 【解答】 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为 ， 球的表面积为 ， 故选 B 【点评】 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力 5如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减 可得答案 【解答】 解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体， 半圆台的下底面为半径等于 4，上底面为半径等于 1，高为 4， 半圆柱的底面为半径等于 1，高为 4， 该几何体的体积为 V 几何体 = （ 12+14+42） 4 124=12 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已 知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键 6执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 2，则输入的正整数 a 的可能取值的集合是（ ） A 1， 2， 3， 4， 5 B 1， 2， 3， 4， 5， 6 C 2， 3， 4， 5 D 2， 3， 4， 5， 6 【分析】 模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于 a 的不等式组，解不等式组可得正整数 a 的可能取值的集合 【解答】 解：输入 a 值，此时 i=0，执行循环体后， a=2a+3， i=1，不应该退出； 再 次执行循环体后， a=2（ 2a+3） +3=4a+9， i=2，应该退出； 故 ， 解得： 1 a5， 故输入的正整数 a 的可能取值的集合是 2， 3， 4， 5， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于 a 的不等式组，是解答的关键 7已知点 P 是抛物线 y 上的一个动点，则点 P 到点 M（ 2， 0）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A B C 2 D 【分析】 利用抛物线的定义，将抛物线 y 上的点 P 到该抛物线准线的距离转化为点 的距离，当 F、 P、 M 共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值 【解答】 解： 抛物线 y 的焦点 F 的坐标为 F（ 0， 1），作图如下， 抛物线 y 的准线方程为 y= 1，设点 P 到该抛物线准线 y= 1 的距离为 d， 由 抛物线的定义可知， d=| |d=|当且仅当 F、 P、 M 三点共线时（ P 在 F， M 中间）时取等号）， 点 P 到点 M（ 2， 0）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 | F（ 0， 1）， M（ 2， 0）， 直角三角形， | ， 故选 B 【点评】 本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题 8已知数列 满足 a1=， =3， nN*，若数列 足 cn=b ，则 ） A 92012 B 272012 C 92013 D 272013 【分析】 本题可先等差数列 等比数列 通项，再利用数列 通项公式得到所求结论 【解答】 解： 数列 满足 ， ， nN*， an= n 1） d=3+3（ n 1） =3n 数列 满足 ， =3， nN*， 数列 足 cn=b ， =6039=272013 故选 D 【点评】 本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于 基础题 9点（ x， y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z=x+得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是（ ） A B C D 【分析】 由题设条件，目标函数 z=x+得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界 取到，即x+ 应与直线 行，进而计算可得 a 值，最后结合目标函数 的几何意义求出答案即可 【解答】 解：由题意，最优解应在线段 取到，故 x+ 应与直线 行 ， =1， a= 1， 则 = 表示点 P（ 1， 0）与可行域内的点 Q（ x， y）连线的斜率， 由图得，当 Q（ x， y） =C（ 4， 2）时， 其取得最大值，最大值是 = 故选： B 【点评】 本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数 ，属于中档题 10已知 O： x2+，若直线 y= x+2 上总存在点 P，使得过点 P 的 O 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围为（ ） A k1 B k 1 C k2 D k 2 【分析】 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 O（ 0， 0）到直线 y= x+2 的距离小于或等于 ，再由点到直线的距离公式得到关于 k 的不等式求解 【解答】 解 ： O： x2+ 的圆心为：（ 0， 0），半径为 1， y= x+2 上存在一点 P，使得过 P 的圆 O 的两条切线互相垂直， 在直线上存在一点 P，使得 P 到 O（ 0， 0）的距离等于 ， 只需 O（ 0， 0）到直线 y= x+2 的距离小于或等于 ， 故 ， 解得 k1， 故选： A 【点评】 本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于 是解决问题的关键，属中档题 11已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，顶角为120，则 E 的离心率为（ ） A B 2 C D 【分析】 设 M 在双 曲线 =1 的左支上，由题意可得 M 的坐标为（ 2a， a），代入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值 【解答】 解：设 M 在双曲线 =1 的左支上， 且 B=2a， 20， 则 M 的坐标为（ 2a， a）， 代入双曲线方程可得， =1， 可得 a=b， c= = a， 即有 e= = 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质， 主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得 M 的坐标是解题的关键 12若 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 f（ =关于 x 的方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的不同实根个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D不确定 【分析】 由函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 得 f（ x） =3ax+b=0 有两个不相等的实数根，必有 =412b 0而方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的 1= 0，可知此方 程有两解且 f（ x） =分别讨论利用平移变换即可解出方程 f（ x） =x） =得个数 【解答】 解： 函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 妨设 f（ x） =3ax+b=0 有两个不相等的实数根， =412b 0解得 x= ， 而方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的 1= 0， 此方程有两解且 f（ x） = 不妨取 0 f（ 0 把 y=f（ x）向下平移 单位即可得到 y=f（ x） f（ =知方程 f（ x） = 把 y=f（ x）向下平移 单位即可得到 y=f（ x） f（ =f（ 0，可知方程 f（ x） = 综上 可知：方程 f（ x） = f（ x） =有 3 个实数解 即关于 x 的方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的只有 3 不同实根 故选： B 【点评】 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分把答案写在答题卡上） 13若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 56 【分析】 根据第 2 项与第 7 项的系数相等建立等式，求出 n 的值，根据通项可求满足条件的系数 【解答】 解：由题意可得， n=8 展开式的通项 = 令 8 2r= 2 可得 r=5 此时系数为 =56 故答案为： 56 【点评】 本题主要考查了二项式系数的性质，以 及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力 14已知函数 y=x+）（ 0， ）的图象如图所示，则 = 【分析】 根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出 ，当 x= 时， y 有最小值 1，以及 ，求出 即可 【解答】 解：由图象知函数 y=x+）的周期为 2（ 2 ） = ， = ， = 当 x= 时， y 有最小值 1， 因此 +=2（ kZ） ， = 故答案为： 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意 的应用，考查计算能力 15等差数列 n 项和为 知 1+ ， 1=38，则 m= 10 【分析】 利用等差数列的性质 1+=2们易求出 根据 前 2m 1 项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于 m 的方程，解方程即可得到 m 的值 【解答】 解： 数列 等差数列， 1+=2 1+ ， 2 解得： ， 又 1=（ 2m 1） 8，解得 m=10 故答案为 10 【点评】 本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当 m+n=p+q 时， am+an=ap+时利用了等差数列的前 n 和公式 16如图，已知 圆 M：（ x 3） 2+（ y 3） 2=4，四边形 圆 M 的内接正方形， E、F 分别为 中点，当正方形 圆心 M 转动时， 的最大值是 6 【分析】 由题意可得 = + 由 得 =0，从而= 求得 =6， ，从而求得 的最大值 【解答】 解：由题意可得 = ， = = + =0， = 由题意可得，圆 M 的半径为 2，故正方形 边长为 2 ，故 ， 再由 ，可得 = 3 ， =6， ， 即 =6， ，故 的最大值是大为 6， 故答案为 6 【点评】 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义， 余弦函数的值域， 属于中档题 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17凸四边形 ，其中 A、 B 为定点， ， P、 Q 为动点，满足 Q= （ 1）写出 关系式； （ 2）设 面积分别为 S 和 T，求 2 的最大值，以及此时凸四边形 【分析】 （ 1）在三角形 ，利用余弦定理列出关系式表示出 三角形 ，利用余弦 定理列出关系式表示出 者相等变形即可得到结果； （ 2）利用三角形面积公式分别表示出 S 与 T，代入 2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形 面积即可 【解答】 解：（ 1）在 ，由余弦定理得： 2+3 2 2 在 ，由余弦定理得： 2 2 4 2 2 1； （ 2）根据题意得： S= T= 2= （ 1 + （ 1 = + =（ ） 2+ ， 当 时， 2 有最大值 ，此时 S 四边形 +T= 【点评】 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函 数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 18如图，三棱柱 B， 0 （ ）证明 （ ）若平面 平面 B，求直线 平面 成角的正弦值 【分析】 （ ）取 中点 O，连接 已知可证 平面而可得 （ ）易证 两垂直以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向， | |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（ x， y， z）为平面 法向量，则 ，可解得 =（ ， 1， 1），可求 |， |，即为所求正弦值 【解答】 解：（ ）取 中点 O，连接 因为 B，所以 于 0， 所以 等边三角形，所以 又因为 ，所以 平面 又 面 （ ）由（ ）知 平面 平面 线为 所以 平面 两垂直 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向， | |为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得 A（ 1， 0， 0）， 0， ， 0）， C（ 0， 0， ）， B（ 1， 0， 0）， 则 =（ 1， 0， ）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， ， ）， 设 =（ x， y， z）为平面 法向量，则 ，即 ， 可取 y=1，可得 =（ ， 1， 1），故 ， = = ， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线 平面 成角的正弦值为： 【点评】 本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题 19 指大气中直径小于或等于 米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物 均值在 35 微 克 /立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /立方米以上空气质量为超标 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 测数据如茎叶图所示 （ ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 均监测数据未超标的概率； （ ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地 测数据均未超标请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率； （ ）从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据，记 表示抽到 测数据超标的天数，求 的分布列及 期望 【分析】 （ I）由茎叶图可知：有 2+4 天 均值在 75 微克 /立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出； （ 茎叶图可知：空气质量为一级的有 2 天，空气质量为二级的有 4 天，只有这 6 天空气质量不超标据此可得得出其概率； （ 茎叶图可知：空气质量为一级的有 2 天，空气质量为二级的有 4 天，只有这 6 天空气质量不超标，而其余 4 天都超标，利用 “超几何分布 ”即可得出 【解答】 解：（ ）记 “当天 均监测数据未超标 ”为事件 A， 因为有 2+4 天 均值在 75 微克 /立方米以下， 故 P（ A） = = （ ）记 “这两天此地 测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级 ”为事件 B， P（ B） = = （ ） 的可能值为 0， 1， 2， 3 由茎叶图可知：空气质量为一级的有 2 天，空气质量为二级的有 4 天，只有这 6 天 空气质量不超标，而其余 4 天都超标 P（ =0） = ， P（ =1） = ， P（ =2） = ， P（ =3） = 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 【点评】 正确理解茎叶图和 “空气质量超标 ”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键 20已知椭圆 C： 9x2+y2=m 0），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 中点为 M （ 1）证明：直线 斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （ 2）若 l 过点（ ， m），延长线段 C 交于点 P，四边形 否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 【分析】 （ 1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论 （ 2）四边形 平行四边形当且仅当线段 线段 相平分，即 立方程关系即可得到结论 【解答】 解：（ 1）设直线 l： y=kx+b，（ k0， b0）， A（ B（ M（ xM， 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m 0），得（ ） ， 则判别式 =44（ ）（ 0， 则 x1+，则 = ， yM=b= ， 于是直线 斜率 = ， 即 9， 直线 斜率与 l 的斜率的乘积为定值 （ 2）四边形 为平行四边形 直线 l 过点（ ， m）， 由判别式 =44（ ）（ 0， 即 99 b=m m， 9（ m m） 2 9 即 6k， 则 k 0， l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k 0， k3， 由（ 1）知 方程为 y= x， 设 P 的横坐标为 由 得 ，即 ， 将点（ ， m）的坐标代入 l 的方程得 b= ， 即 l 的方程为 y=， 将 y= x，代入 y=， 得 = x 解得 ， 四边形 平行四边形当且仅当线段 线段 相平分，即 于是 =2 ， 解得 或 + ， 0， ， i=1， 2， 当 l 的斜率为 4 或 4+ 时，四边形 为平行四边形 【点评】 本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解 决本题的关键综合性较强，难度较大 21设函数 f（ x） =1 x （ 1）若 a=0，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若当 x0 时 f（ x） 0，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）先对函数 f（ x）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减 （ 2）根据 +x 可得不等式 f（ x） x 2 1 2a） x，从而可知当 1 2a0，即时， f（ x） 0 判断出函数 f（ x）的单调性，得到答案 【解答】 解：（ 1） a=0 时， f（ x） =1 x， f（ x） =1 当 x（ ， 0）时， f（ x） 0；当 x（ 0， +）时， f（ x） 0 故 f（ x）在（ ， 0）单调减少，在（ 0， +）单调增加 （ f（ x） =1 2（ I）知 +x，当且仅当 x=0 时等号成立故 f（ x） x 2 1 2a） x， 从而当 1 2a0，即 时， f（ x） 0（ x0），而 f（ 0） =0， 于是当 x0 时， f（ x） 0 由 1+x（ x0）可得 e x 1 x（ x0） 从而当 时， f（ x） 1+2a（ e x 1） =e x（ 1）（ 2a）， 故当 x（ 0， ， f（ x） 0，而 f（ 0） =0，于是当 x（ 0， ， f（ x） 0 综合得 a 的取值范围为 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力 选修 4何证明 选讲 22如图， O 为等腰三角形 一点， O 与 底边 于 M， N 两点，与底边上的高 于点 G，且与 别相切于 E， F 两点 （ 1）证明： （ 2）若 于 O 的半径，且 N=2 ，求四边形 面积 【分析】 （ 1）通过 角平分线及圆 O 分别与 切于点 E、 F，利用相似的性质即得结论； （ 2）通过（ 1）知 垂直平分线， 连结 用 S S 【解答】 （ 1）证明： 等腰三角形， 角平分线， 又 圆 O 分别与 切于点 E、 F， F， （ 2）解：由（ 1）知 F， 垂直平分线， 又 圆 O 的弦， O 在 ， 连结 由 于圆 O 的半径可得 0， 是等边三角形， ， ， ， E=2， ， ， ， ， 四边形 面积为 = 【点评】 本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，