北京市石景山区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1下列命题中，真命题是（ ） A若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行 C若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行 2直线 y= 2x+b 一定通过（ ） A第一、三象限 B第 二、四象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 3某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（ ） A左前 B右前 C左后 D右后 4双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 5已知命题 p， q，那么 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6棱长为 2 的正方体的内切球的表面积为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7抛物线 x 上到其焦点 F 距离为 4 的点有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 8将正方体的纸盒展开如图 ，直线 原正方体的位置关系是（ ） 第 2 页（共 19 页） A平行 B垂直 C相交成 60角 D异面且成 60角 9如图，在正方体 ， E 是 中点，则直线 平面 ） A B C D 10某化工厂有 8 种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库具体情况由下表给出（ “ ”表示该两种产品不能存放在同一仓库） 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 则该厂至少需要几个产品 仓库来存放这 8 种产品？（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 11命题 p： “ x R， x+1 0”，则 p 为 12过点（ 0， 2）且与两坐标轴相切的圆的方程为 13已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M（ 1， 2），它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点则椭圆的长轴长为 14在平面直角坐标系 ，对于 O： x2+ 来说， P 是坐标系内任意一点，点 P 到 O 的距离 定义如 下：若 P 与 O 重合， SP=r；若 P 不与 O 重合，射线 O 的交点为 A， P 的长度（如图） 第 3 页（共 19 页） （ 1）直线 2x+2y+1=0 在圆内部分的点到 O 的最长距离为 ； （ 2）若线段 存在点 T，使得： 点 T 在 O 内； 点 P 线段 有 立则线段 最大长度为 三、解答题共 6 小题，共 48 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知直线 l 经过直线 2x+y 5=0 与 x 2y=0 的交点 P （ ） 若直线 l 平行于直线 4x y+1=0，求 l 的方程； （ ）若直线 l 垂直于直线 4x y+1=0，求 l 的方程 16如图，长方体 ，底面 正方形， ， E 是 满足 平面 （ ）求证： （ ）求二面角 D C 的平面角的余弦值 17如图，有一个正方体的木块， E 为棱 中点现因实际需要，需要将其沿平面 你画出前面 截面 交线，并说明理由 第 4 页（共 19 页） 18如图，在四棱锥 P ，四边形 正方形， 平面 B=2，E 为 点 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 B D 的大小 19课本上的探索与研究中有这样一个问题： 已知 面积为 S，外接圆的半径为 R， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，用解析几何的方法证明： 小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究： （ 1）在 在的平面内，建立直角坐标系，使得 个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母； （ 2）用表示 个顶点坐标的字母来表示 外接圆半径、 三边和面积； （ 3）根据上面得到的表达式，消去表示 三个顶点的坐标的字母，得出关系式 在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成： （ ）为了 三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你 选择第 种建系方式 （ ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程： （ 1）设 外接圆的一般式方程为 x2+x+ =0； （ 2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为 ，进而可以求出 D= ； （ 3）外接圆的方程为 第 5 页（共 19 页） 20已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经过点 M（ 4， 1），直线 l：y=x+m 交椭圆于不同的两点 A， B （ ）求椭圆的方程； （ ）求 m 的取值范围； （ ）若直线 l 不过点 M，求证：直线 x 轴围成一个等腰三角形 第 6 页（共 19 页） 2015年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1下列命题中，真命题是（ ） A若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相 互平行 C若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用平面与平面垂直的判定定理判断 A 的正误；利用特例判断 B 的正误；直线与平面平行的性质定理判断 C 的正误，直线与平面的位置关系判断即可 【解答】 解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以 A 正确 若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的侧 面与底面是垂直的，所以 B 不正确 若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以 若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理 所以不正确 故选： A 2直线 y= 2x+b 一定通过（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 【考点】 确定直线位置的几何要素 【分析】 利用直线的斜率即可判断出结论 【解答】 解： 斜率 k 0， 直线 y= 2x+b 一定通过第二、四象限 故 选： B 3某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（ ） 第 7 页（共 19 页） A左前 B右前 C左后 D右后 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置 【解答】 解：由已知中的三视图可得： 主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边； 侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面， 故最高一层的房间在左后面， 故选： C 4双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可 【解答】 解：双 曲线 的一条渐近线方程为 ， 可得 = ，即 ，解得 ， e= 故选： A 5已知命题 p， q，那么 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据 p q， p q 的真假和 p， q 真假的关系便可判断由 “p q 为真命题 ”能得到 “p q 为真命题 ”，而 “p q 为真命题 ”得不到 “p q 为真命题 ”，从而得出正确选项为 A 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解：若 p q 为真命题，则 p， q 都为真命题， p q 为真命题； 若 p q 为真命题，则 p， q 中至少有一个为真命题，而如果 p， q 中只有一个为真命题，则得不到 p q 为真命题； “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的充分不必要条件 故选： A 6棱长为 2 的正方体的内切球的表面积为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 棱长为 2 的正方体的内切球的半径 r=1，由此能求出其表面积 【解答】 解：棱长为 2 的正方体的内切球的半径 r= =1， 表面积 =4 故选 B 7抛物线 x 上到其焦点 F 距离为 4 的点有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 抛物线的简单 性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，判断焦点到顶点的距离，然后推出结果 【解答】 解：抛物线 x 的焦点坐标（ 2， 0），焦点到顶点的距离为 2，所以抛物线上到其焦点 F 距离为 4 的点有 2 个 故选： B 8将正方体的纸盒展开如图，直线 原正方体的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C相交成 60角 D异面且成 60角 【考点】 异面直线的判定 【分析】 以 在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为 以 为直线 成的角，在 求解即可 【解答】 解：如图，直线 面因为 所以 为直线 成的角， 因为 等边三角形，故 0 故选 D 第 9 页（共 19 页） 9如图，在正方体 ， E 是 中点，则直线 平面 ） A B C D 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 连接 到 直线 平面 成的角，然后再在三角形 【解答】 解：连接 为几何体是正方体，可知 平面 得到 直线 平面 成的角， 设棱长为 2， = ， 直线 平面 成角的正切值为： = 故选： C 10某化工厂有 8 种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库具体情况由下表给出（ “ ”表示该两种产品不能存放在同一仓库） 1 2 3 4 5 6 7 8 1 第 10 页（共 19 页） 2 3 4 5 6 7 8 则该厂至少需要几个产品仓库来存放这 8 种产品？（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案 【解答】 解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图， 找完全 子图的顶点集：例如： 1， 4， 7， 3， 6， 8， 2， 5， 2， 4， 6， 8， 1，7， 3， 5， 每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要 3 间仓库， 故选： B 二、填空题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 11命题 p： “ x R， x+1 0”，则 p 为 x R， x+10 【考点】 命题的否定 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 p： “ x R， x+1 0”，则 p 为： x R， x+1 0 故答案为： x R， x+1 0 12过点（ 0， 2）且与两坐标轴相切的圆的方程为 （ x 2） 2+（ y 2） 2=4 【考点】 圆的标准方程 【分析】 求出圆的圆心与半径，即可写出圆的标准方程， 【解答】 解：过点（ 0， 2）且与两坐标轴相切的圆的圆心（ 2， 2），半径为： 2 第 11 页（共 19 页） 圆的标准方程为：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 故答案为：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 13 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M（ 1， 2），它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点则椭圆的长轴长为 2+2 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 设抛物线方程为 p 0），将 M（ 1， 2）代入方程解得 p 即可由题意知椭圆的焦点为 1， 0）， 1， 0），可得 c对于椭圆， 2a=|可得结论 【解答】 解：设抛物线方程为 p 0），将 M（ 1， 2）代入方程得 p=2 抛物 线的方程为 x 由题意知椭圆的焦点为 1， 0）， 1， 0） c=1 对于椭圆， 2a=| + =2+2 故答案为： 2+2 14在平面直角坐标系 ，对于 O： x2+ 来说， P 是坐标系内任意一点，点 P 到 O 的距离 定义如下：若 P 与 O 重合， SP=r；若 P 不与 O 重合，射线 O 的交点为 A， P 的长度（如图） （ 1）直线 2x+2y+1=0 在圆内部分的点到 O 的最长距离为 1 ； （ 2）若线段 存在点 T，使得： 点 T 在 O 内； 点 P 线段 有 立则线段 最大长度为 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可 （ 2）根据点 T 在 O 内，得 到 1，然后根据不等式 立，的 1，即可得到结论 【解答】 解：（ 1）作出对应的图象如图： 由图象可知当直线与 2x+2y+1=0 垂直时对应的交点 P，此时 P 到 O 的距离最长， 此时 = ，则 （ 2） 点 T 在 O 内， 1， 第 12 页（共 19 页） 立， 1， 当线段 原点时， 最大长度为 1+2+1=4， 故答案为： 4 三、解答题共 6 小题，共 48 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知直线 l 经过直线 2x+y 5=0 与 x 2y=0 的交点 P （ ）若直线 l 平行于直线 4x y+1=0，求 l 的方程； （ ）若直线 l 垂直于直线 4x y+1=0，求 l 的方程 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 联立 ，解得交点 P （ ）设直线 l： 4x y+m=0，把（ 2， 1）代入可得 m，即可得出； （ ）设直线 l 的方程为： x+4y+n=0，把点 P（ 2， 1）代入上述方程 n，即可得出 【解答】 解：联立 ，解得 P（ 2， 1） （ ）设直线 l： 4x y+m=0，把（ 2， 1）代入可得： 4 2 1+m=0， m= 7 l 的方程为： 4x y 7=0； （ ）设直线 l 的方程为： x+4y+n=0， 把点 P（ 2， 1）代入上述方程可得： 2+4+n=0，解得 n= 6 x+4y 6=0 16如图，长方体 ，底面 正方形， ， E 是 满足 平面 第 13 页（共 19 页） （ ）求证： （ ）求二面角 D C 的平面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，由 平面 出 ，由此利用向量法能证明 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 D 【解答】 证明：（ ） 长方体 ，底面 正方形， ， E 是 的一点，且满足 平面 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 1， 0， 2）， D（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， 1， 1， 2）， C（ 0， 1， 0）， 设 E（ 0， 0， t）， 0 t 2， =（ 1， 1， 2）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 0， t）， 平面 =1 2t=0，解得 t= ， =（ 1， 0， 2）， =（ 1， 0， ）， ， 解：（ ） =（ 1， 0， ）， =（ 1， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z） ， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 2）， 又平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， 设二面角 D C 的平面角为 ， 则 = = 第 14 页（共 19 页） 二面角 D C 的平面角的余弦值为 17如图，有一个正方体的木块， E 为棱 中点现因实际需要，需要将其沿平面 你画出前面 截面 交线，并说明理由 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 取 点 F，连结 为所求的面 截面 交线 【解答】 解：取 点 F，连结 为所求的面 截面 交线 理由如下： 连结 E 为棱 中点， F 是 点， 又 直线 直线 定一个平面 ， 直线 直线外一点 E 都在平面 内， 平面 与平面 合， 为所求的面 截面 交线 第 15 页（共 19 页） 18如图，在四棱锥 P ，四边形 正方形， 平面 B=2，E 为 点 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 B D 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连结 于点 O，连结 此能证明 平面 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B D 的大小 【解答】 证明：（ ）连结 于点 O，连结 四边形 正方形， E 为 点， 面 面 平面 解：（ ） 平面 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， B=2， E 为 点 B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， =（ 2， 0， 2）， =（ 2， 2， 2）， =（ 0， 2， 2）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 =（ 1， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 b=1， =（ 0， 1， 1）， 第 16 页（共 19 页） 设二面角 B D 的平面角为 ， 则 = = 二面角 B D 的大小为 19课本上的探索与研究中有这样一个问题： 已知 面积为 S，外接圆的半径为 R， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，用解析几何的方法证明： 小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究： （ 1）在 在的平面内，建立直角坐标系，使得 个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母； （ 2）用表示 个顶点坐标的字母来表示 外接圆半径、 三边和面积； （ 3）根据上面得到的表达式，消去表示 三个顶点的坐标的字母，得出关系式 在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成： （ ）为了 三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式 ；你选择第 种建系方式 （ ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程： （ 1）设 外接圆的一般式方程为 x2+x+ =0； （ 2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为 ，进而可以求出 D= m n ； （ 3）外接圆的方程为 x2+ m n） x+（ p ） y+ 第 17 页（共 19 页） 【考点】 圆的标准方程；圆的一般方程 【分析】 选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论 【解