2016年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1若集合 A=x|2x，集合 B=x|x ，则 A（ 于（ ） A（ 2， B（ 2， +） C（ ， D D ， 2） 2已知复数 z= ，则在复平面上 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 ，则 于（ ） A B C D 4已知双曲线 的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= B y= x C y= 2x D y= 5从 4 男 2 女共 6 名学生中选派 2 人参加某项爱心活动，则所选 2 人中至少有 1 名女生的概率为（ ） A B C D 6在 ， ， ， E 是 中点，则 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 7已知函数 f（ x） =2x+b 在区间 （ ， 4）上有零点，则实数 b 的取值范围是（ ） A（ 10， 0） B（ 8， 1） C（ 0， 10） D（ 1， 12） 8执行如图所示的程序框图，则 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的（ ） 第 2 页（共 21 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 10某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成 的集合，则（ ） A 3 A B 5 A C 2 A D 4 A 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，直线 椭圆的另一个交点为 C，若 面积是 倍，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =（ x+1） 2 k 3， 1，对任意 k， k+2，则 |f（ f（ |的最大值为（ ） A 4e 3 B 4e C 4e+e 3 D 4e+1 二、填空 题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若 x（ 1 2x） 4= a2+a3+a4+ 14如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最小值为 15在四棱锥 P ， 底面 面 边长为 2 的正方形，若直线平面 成的角为 30，则四棱锥 P 外接球的表面积为 16 在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， C ， = ，a=3， ，则 b= 第 3 页（共 21 页） 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分 ,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17已知公比小于 1 的等比数列 前 n 项 和为 且 13n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前项 n 和 18某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的 8 次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下： （ 1）比较这两名同学 8 次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些； （ 2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过 15 分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的 2 次周练中 ，甲、乙两名同学失分均超过 15 分的次数 X 的分布列和均值 19如图，在四棱锥 P ， 边长为 2 的正三角形， 底面 （ 1）求证： （ 2）若 C，求二面角 A D 的正弦值 20过抛物线 L： p 0）的焦点 F 且斜率为 的直线与抛物线 L 在第一象限的交点为 P，且 |5 （ 1）求抛物线 L 的方程； （ 2）与圆 y+1） 2=1 相切的直线 l： y=kx+t 交抛物线 L 于不同的两点 M、 N，若抛物线上一点 C 满足 =（ + ）（ 0），求 的取值范围 21已知函数 f（ x） =a 0）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线平 y=（ 1 a） x 行 （ 1）若函数 y=f（ x）在 e， 2e上是减函数，求实数 a 的最小值； （ 2）设 g（ x） = ，若存在 e， 使 g（ 成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 21 页） 22如图， 圆 O 的直径， C 为圆周上一点，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 D 为垂足， 圆 O 交于点 E （ 1）求证： E=E； （ 2）若 ， ，求线段 长 选修 4标系与参数方程 23已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆 C 的极坐标方程是=线 l 的参数方程是 （ t 为参数） （ 1）若 a=2，直线 l 与 x 轴的交点是 M， N 是圆 C 上一动点，求 |最大值； （ 2）直线 l 被圆 C 截得的弦长等于圆 C 的半径的 倍，求 a 的值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x+2| |x 1| （ 1）求不等式 f（ x） 1 解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） +4 |1 2m|有解，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1若集合 A=x|2x，集合 B=x|x ，则 A（ 于（ ） A（ 2， B（ 2， +） C（ ， D D ， 2） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先化简 A， B，再求 A（ 【解答】 解： 2x，即 x（ x 2） 0，解得 0 x 2， A=（ 0， 2）， B=x|x =（ ， ）， ， +）， A（ = ， 2）， 故选： D 2已知复数 z= ，则在复平面上 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意 义 【分析】 化简复数方程，复数的分母实数化，再求出共轭复数，可得结果 【解答】 解： z= = = = 2+i， = 2 i， 复数 在复平面上所对应的点的坐标为（ 2， 1）， 故选： D 3已知 ，则 于（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值 【解答】 解： ， x + ） =x ） = ， 第 6 页（共 21 页） 故选： B 4已知双曲线 的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= B y= x C y= 2x D y= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，可得 a= ， b= ，由题意可得 2 =4，解得 k，即有双曲线的方程和渐近线方程 【解答】 解：双曲线 （ k 0）即为 =1， 可得 a= ， b= ， 由题意可得 2 =4， 解得 k= 2， 即有双曲线的方程为 =1， 即有渐近线方程为 y= x 故选： D 5从 4 男 2 女共 6 名学生中选派 2 人参加某项爱心活动，则所选 2 人中至少有 1 名女生的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 所选 2 人中至少有 1 名女生的对立事件为所选 2 人都是男生，由此能求出所选 2人中至少 有 1 名女生的概率 【解答】 解：从 4 男 2 女共 6 名学生中选派 2 人参加某项爱心活动， 基本事件数 n= =15， 所选 2 人中至少有 1 名女生的对立事件为所选 2 人都是男生， 所选 2 人中至少有 1 名女生的概率： p=1 = 第 7 页（共 21 页） 故选： B 6在 ， ， ， E 是 中点，则 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算 【解答】 解：以 在直线为 x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 A（ 0， 0）， B（ 4， 0）， C（ 5， ）， D（ 1， ） E（ 3， ） =（ 5， ）， =（ 1， ） =5 1 =2 故选： A 7已知函数 f（ x） =2x+b 在区间（ ， 4）上有零点，则实数 b 的取值范围是（ ） A（ 10， 0） B（ 8， 1） C（ 0， 10） D（ 1， 12） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 判断函数的单调性，利用零点的性质，列出不等式，即可求出实数 b 的取值范围 【解答】 解： x+b 单调递增， y2=调递增 f（ x） =2x+b 单调递增 又 数 f（ x） =2x+b 在区间（ ， 4）上有零点， f（ ） 0， f（ 4） 0 1 1+b 0， 8+2+b 0 10 b 0 故选： A 8执行如图所示的程序框图，则 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的（ ） 第 8 页（共 21 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 程序框图；必要条件、充分条件与 充要条件的判断 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，求出 m 的范围，结合充要条件的定义，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， S=2， i=2，应该不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， S=6， i=3，应该不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， S=13， i=4，应该不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后， S=23， i=5，应该满足退出循环的条件； 故 ，解得： ， 故 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的必要不充分条件， 故选： B 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向 左平移 个单位得到 D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 【考点】 余弦函数的对称性 【分析】 由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ）， = ， f（ x） =2x+ ） =2x ） =x ）， 第 9 页（共 21 页） 则函数 g（ x） =2x ） =2x ） =x ） 的图象可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到的， 故选： C 10某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ） A 3 A B 5 A C 2 A D 4 A 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即 可得到答案 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥， 四边形 一个边长为 4 的正方形， 且 面 ， ， =4 ， B= =2 ， = =4 ， A 为此几何体所有棱的长度构成的集合， A=2， 4， 4 ， 4 ， 4 ， 故选： D 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，直线 椭圆的另一个交点为 C，若 面积是 倍，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 第 10 页（共 21 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设椭圆的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），设 x= c，代入椭圆方程，求得 A 的坐标，设出 C（ x， y），由 面积是 面积的 2 倍，可得 =2 ，运用向量的坐标运算可得 x， y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值 【解答】 解：设椭圆的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0）， 由 x= c，代入椭圆方程可得 y= ， 可设 A（ c， ）， C（ x， y）， 由 面积是 面积的 2 倍， 可得 =2 ， 即有（ 2c， ） =2（ x c， y）， 即 2c=2x 2c， =2y， 可得 x=2c， y= ， 代入椭圆方程可得， + =1， 由 e= ， b2= 即有 4 ， 解得 e= 故选： A 12已知函数 f（ x） =（ x+1） 2 k 3， 1，对任意 k， k+2，则 |f（ f（ |的最大值为（ ） A 4e 3 B 4e C 4e+e 3 D 4e+1 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求导函数，求得函数的单调区间，进而可求函数的最值，即可求得结论 【解答】 解：求导函数，可得 f（ x） =（ x+1） 2 x+3） 令 f（ x） 0，可得 x 3 或 x 1；令 f（ x） 0，可得 3 x 1 函数的单调增区间为（ ， 3），（ 1， +），单调减区间为（ 3， 1） k 3， 1， k， k+2， f（ 3） =4e 3， f（ 1） =0， f（ 1） =4e f（ x） f（ 1） =4e， f（ x） f（ 1） =0 |f（ f（ |的最大值为 4e， 故选 B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 第 11 页（共 21 页） 13若 x（ 1 2x） 4= a2+a3+a4+0 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 x（ 1 2x） 4= x=1，可得： 1=a1+a2+a3+a4+一方面： x（ 1 2x） 4 的一次项的系数为 1可得 可得出 【解答】 解： x（ 1 2x） 4= 令 x=1，则 1 （ 1 2） 4=1=a1+a2+a3+a4+ 另一方面： x（ 1 2x） 4 的一次项的系数为 1 1=1 则 a2+a3+a4+ 1=0 故答案为： 0 14如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最小值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，易知 z= 的几何意义是点 B（ x， y）与点 A（ 1， 0）连线的直线的斜率，从而解得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， z= 的几何意义是点 B（ x， y）与点 A（ 1， 0）连线的直线的斜率， 故当 B（ 1， 1）时， z= 有最小值， 第 12 页（共 21 页） z= = ； 故答案为： 15在四棱锥 P ， 底面 面 边长为 2 的正方形，若直线平面 成的角为 30，则四棱锥 P 外接球的表面积为 12 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意，连接 H，则 平面 接 直线 成的角，求出四棱锥 P 外接球的半径，即可求出四棱锥 P 【解答】 解：由题意，连接 H，则 平面 连接 直线 平面 成的角，即 0， ， ， ， 四棱锥 P 外接球的半径为 ， 四棱锥 P 外接球的表面积为 42 故答案为： 12 16在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， C ， = ，a=3， ，则 b= 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理和三角形的知识化简已知条件可得 A=C， a=c，由 可得，由余弦定理可得 b 值 【解答】 解：在 ， = ， = ， A+C） = C ， A+C ， 2C ， A+C=2C，即 A=C， a=c， 第 13 页（共 21 页） 由 可得 ， 2，故 b= 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分 ,解答应写出文字说明证明过程或演算步 骤） 17已知公比小于 1 的等比数列 前 n 项和为 且 13n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前项 n 和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）设等比数列 公比为 q 1，根据 ，且 13n N*）可得 131+q+解出即可得出 （ 2） bn=利用 “错位相减法 ”与等比数列的前项 n 和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q 1， ，且 13n N*） 131+q+化为： 310q+3=0， q 1，解得 q= =2 （ 2） bn= 数列 前项 n 和 + ， =2 +（ n 1） +n ， =2 =2 =1， 18某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的 8 次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下： （ 1）比较这两名同学 8 次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位 同学做解答题相对稳定些； （ 2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过 15 分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的 2 次周练中，甲、乙两名同学失分均超过 15 分的次数 X 的分布列和均值 第 14 页（共 21 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）分别求出甲、乙两名队员的得分均值和方差，由此能求出结果 （ 2） X 的所有可能取值为 0， 1， 2，依题意 X B（ 2， ），由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1） = （ 7+9+11+18+18+16+23+28） =15， = （ 7+8+10+15+17+19+21+23） =15， = （ 8） 2+（ 6） 2+（ 4） 2+（ 2） 2+（ 2） 2+12+82+132= = （ 8） 2+（ 7） 2+（ 5） 2+02+22+42+62+82= 甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差比乙的方差大， 乙同学答题相对稳定些 （ 2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过 15 分的概率分别是 ， ， 两人失分均超过 15 分的概率为 ， X 的所有可能取值为 0， 1， 2，依题意 X B（ 2， ）， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 P = 19如图，在四棱锥 P ， 边长为 2 的正三角形， 底面 （ 1）求证： （ 2）若 C，求二面角 A D 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （ 1）连接 O，运用线面垂直的判定和性质，可得 得 0，可得 由线面垂直的判定和性质 ，即可得证； （ 2）过 O 作 F，以 O 为坐标原点， x， y， z 轴，建立直角坐标系 O 别求得 A， B， C， D， P 的坐标，可得向量 ， 的坐标，设出平面 一个法向量为 =（ x， y， z），由向量垂直的条件：数量积为 0，可得 =（ 2， 0，1），再取 中点 E，连接 得向量 平面 法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值 【解答】 解：（ 1）证明：连接 O， 由 平面 得 又 C=P， 可得 平面 有 由 ， ，可得 = ， 即 0，又 0， 则 0， 即 则 平面 有 （ 2）由 O 为 中点，过 O 作 F， 可得 F 为 中点，且 平面 以 O 为坐标原点， x， y， z 轴，建立直角坐标系 O 则 A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， P（ ， 0， ）， 则 =（ 0， 2， 0）， =（ ， 1， ）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，取 z=1， x=2， 可得为 =（ 2， 0， 1）， 取 中点 E，连接 C，可得 又 平面 得 有 平面 由 E（ ， ， ），即有 =（ ， ， ）为平面 一个法向量 即有 ， = = = ， 可得 ， = = 即有二面角 A D 的正弦值为 第 16 页（共 21 页） 20过抛物线 L： p 0）的焦点 F 且斜率为 的直线与抛物线 L 在第一象限的交点为 P，且 |5 （ 1）求抛物线 L 的方程； （ 2）与圆 y+1） 2=1 相切的直线 l： y=kx+t 交抛物线 L 于不同的两点 M、 N，若抛物线上一点 C 满足 =（ + ）（ 0），求 的取值范围 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）设直线方程为 y= x+ ，代入 出 P 的坐标，利用抛物线的定义，求出 p，即可求抛物线 L 的方程； （ 2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出 k 与 t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式 0 得到 t 的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足 =（ + ）（ 0），即可得出 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设直线方程为 y= x+ ， 代入 得 p ， x=2p 或 ， P（ 2p， 2p）， |5， 2p+ =5， p=2， 抛物线 L 的方程 y； （ 2） 直线与圆相切， =1， k2=t， 把直线方程代入抛物线方程并整理得： 44t=0 由 =166t=16（ t） +16t 0 得 t 0 或 t 3 设 M（ N（ 则 x1+k， y1+t 第 17 页（共 21 页） 由 =（ + ） =（ 4 4t） ） 得 C（ 4 4t） ） 点 C 在抛物线 y 上， 16（ 4t） ， =1+ =1+ t 0 或 t 3， 2t+4 4 或 2t+4 2 的取值范围为（ ， 1） （ 1， ） 21已知函数 f（ x） =a 0）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线平 y=（ 1 a） x 行 （ 1）若函数 y=f（ x）在 e， 2e上是减函数，求实数 a 的最小值； （ 2）设 g（ x） = ，若存在 e， 使 g（ 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到 b a=1 a，解出 b，求出函数的解析式，问题转化为a 在 e， 2e上恒成立，根据函数的单调性求出 a 的范围即可； （ 2）问题等价于 e， ，有 g（ x） 成立，通过讨论 a 的范围结合函数的单调性求出 a 的具体范围即可 【解答】 解： f（ x） =b a f（ 1） =b a， b a=1 a， b=1， f（ x） =x （ 1）函数 y=f（ x）在 e， 2e上是减函数， f（ x） =1 a 0 在 e， 2e上恒成 立， 即 a 在 e， 2e上恒成立， h（ x） = 在 e， 2e上递减， h（ x）的最大值是 ， 实数 a 的最小值是 ； （ 2） g（ x） = = g（ x） = = + a， 故当 = 即 x=， g（ x） a， 第 18 页（共 21 页） 若存在 e， 使 g（ 成立， 等价于 e， ，有 g（ x） 成立， 当 a 时， g（ x）在 e， 递减， g（ x） g（ = ，故 a ， 当 0 a 时，由于 g（ x）在 e， 2e上递增， 故 g（ x）的值域是 a， a， 由 g（ x）的单调性和值域知： 存在 e， 使 g（ x） =0，且满足： x e， g（ x） 0， g（ x）递减， x （ g（ x） 0， g（ x）递增， g（ x） g（ = ， （ e， a ，与 0 a 矛盾，不合题意， 综上： a 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径， C 为圆周上一点，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 D 为垂足， 圆 O 交于点 E （ 1）求证： E=E； （ 2）若 ， ，求线段 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 E=F，证明 可证明 E=E； （ 2）证明四边形 矩形， 等边三角形，即可得出结论 【解答】 （ 1）证明：连 接 E=F，则 圆 O 的切线， l， l， 圆 O 的直径， l， l 第 19 页（共 21 页） 0， = ， E=E； （ 2）解：由（ 1）可知四边形 矩形， F， 圆 O 的直径 ， ， 0 等边三角形， 0， 选修 4标系与参数方程 23已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆 C