广东省肇庆市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 .） 1与 60相等的弧度数是（ ） A 60 B 6 C D 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ 3， 4），则 的结果是（ ） A（ 7， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 7， 2） 3在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 B=30， b=2，则 的值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 4已知等比数列 足 a1+， a2+，则 ） A 64 B 81 C 128 D 243 5在 ，三顶点分别为 A（ 2， 4）， B（ 1， 2）， C（ 1， 0），点 P（ x， y）在 m=y x 的取值范围为（ ） A 1， 3 B 3， 1 C 1， 3 D 3， 1 6在 ，已知 | |=| |=4 且 =8，则该三角形是（ ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D不能判断形状 7我们把 1， 3， 6， 10， 15， 这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图） 则第七个三角形数是（ ） A 27 B 28 C 29 D 30 8化简 ，得到的结果是（ ） A 9若 0， ， ） = ，则 值是（ ） A B C D 第 2 页（共 17 页） 10函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的部分图象如图所示，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 11）的值是（ ） A 2+2 B 2 2 C 0 D 1 11设 =（ 1， 2）， =（ a， 1）， =（ b， 0）（ a 0， b 0， O 为坐标原点），若A、 B、 C 三点 共线，则 的最小值是（ ） A 4 B C 8 D 9 12对实数 a 与 b，定义新运算 “”： 设函数 f（ x） =（ 2） （ x x R若函数 y=f（ x） c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） A BC D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .） 13函数 f（ x） = x ）的最小正周期是 14九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出 “以径乘周四而一 ”的算法与现代 数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长） 20 步，径长（两段半径的和） 24 步，则该扇形田的面积为 平方步 15如图，四边形 ， C=120， ， D=2，则该四边形的面积是 16设 x， m， n， y 成等差数列， x， p， q， y 成等比数列，则 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出证明过程或 演算步骤 .） 17（ ）在等差数列 ， 0， ，求该数列的第 8 项 （ ）在等比数列 ， b1+0， b4+，求该数列的前 5 项和 第 3 页（共 17 页） 18已知 是第三象限角，且 （ ）求 ）的值； （ ）求 值 19已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的递减区间； （ ）当 x ， 时，求 f（ x）的最值，并指出取得最值时相应的 x 的值 20设数列 前 n 项和为 Sn=等比数列，且 a1= （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 cn=an数列 前 n 项和 21某通讯公司需要在三角形地带 域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建 在区域 ，乙中转站建在区域 分界线 定，且 （ 1+ ）百米，边界线 终过点 B，边界线 足 5， 0， 5设 OA=x（ 3 x 6）百米， OC=y 百米 （ 1）试将 y 表示成 x 的函数，并求出函数 y 的解析式； （ 2）当 x 取何值时？整个中转站的占地面积 S 小，并求出其面积的最小值 22已知数列 足 ， ， n N* （ 1）求证：数列 为等比数列； （ 2）是否存在互不相等的正整数 m， s， t，使 m， s， t 成等差数列，且 1， 1， 1 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m， s， t；如果不存在，请说明理由 第 4 页（共 17 页） 2015年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 .） 1与 60相等的弧度数是（ ） A 60 B 6 C D 【考点】 弧度与角度的互化 【分析】 根据 弧度等于 180，求得 60化为弧度角的值 【解答】 解：与 60相等的弧度数是 = ， 故选： D 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ 3， 4），则 的结果是（ ） A（ 7， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 7， 2） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 向量的坐标的加减运算法则计算即可 【解答】 解： =（ 2， 1）， =（ 3， 4）， =2（ 2， 1）（ 3， 4） =（ 4， 2）（ 3， 4） =（ 4+3， 2 4） =（ 7， 2）， 故选： A 3在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 B=30， b=2，则 的值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理即可计算得解 【解答】 解： B=30， b=2， 由正弦定理可得： = =4， 故选： C 4已知等比数列 足 a1+， a2+，则 ） A 64 B 81 C 128 D 243 【考点】 等比数列 【分析】 由 a1+， a2+ 的关系求得 q，进而求得 由等比数列通项公式求解 【解答】 解：由 a2+a3=q（ a1+=3q=6， q=2， 1+q） =3， ， 6=64 故选 A 第 5 页（共 17 页） 5在 ，三顶点分别为 A（ 2， 4）， B（ 1， 2）， C（ 1， 0），点 P（ x， y）在 m=y x 的取值范围为（ ） A 1， 3 B 3， 1 C 1， 3 D 3， 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据 m 的几何意义，平移直线 y=x+m，利用数形结合即可求出 m 的取值范围 【解答】 解：由 m=y x 得 y=x+m， 平移直线 y=x+m，由图象可知当直线 y=x+m 经过点 B（ 1， 2）时， 直线 y=x+m 的截距最大，此时 m 最大，此时 （ 1） =3 直线 y=x+m 经过点 C（ 1， 0）时， 直线 y=x+m 的截距最小，此时 m 最小， 1= 1 即 1 m 3，即 m 1， 3 故选： C 6在 ，已知 | |=| |=4 且 =8，则该三角形是（ ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D不能判断形状 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的数量积的定义可得 =| | |方程可得 A= ，即可判断三角形的形状 【解答】 解：由 | |=| |=4 且 =8， 可得 =| | |4， 即 ， 由 0 A ，可得 A= ， 则 等边三角形 故选： A 第 6 页（共 17 页） 7我们把 1， 3， 6， 10， 15， 这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图） 则第七个三角形数是（ ） A 27 B 28 C 29 D 30 【考点 】 数列的应用 【分析】 原来三角形数是从 l 开始的连续自然数的和 l 是第一个三角形数， 3 是第二个三角形数， 6 是第三个三角形数， 10 是第四个三角形数， 15 是第五个三角形数 那么，第七个三角形数就是： l+2+3+4+5+6+7=28 【解答】 解：原来三角形数是从 l 开始的连续自然数的和 l 是第一个三角形数， 3 是第二个三角形数， 6 是第三个三角形数， 10 是第四个三角形数， 15 是第五个三角形数， 那么，第七个三角形数就是： l+2+3+4+5+6+7=28 故选 B 8化简 ，得到的结果是（ ） A 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 原式利用诱导公式化简，约分并利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果 【解答】 解： = = ， 故选： C 9若 0， ， ） = ，则 值是（ ） A B C D 第 7 页（共 17 页） 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用同角三角函数的基 本关系求得 ），再利用两角差的余弦公式求得 ） + 的值 【解答】 解： 0， ， ） = ，则 ） = ， ） + = ） ） = ， 故选： B 10函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的部分图象如图所示，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 11）的值是（ ） A 2+2 B 2 2 C 0 D 1 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 依题意，可求得 f（ x） =2x，其周期 T=8，分别求得 f（ 1）、 f（ 2）、 f（ 3）、 、f（ 8）的值，即可求得 f（ 1） +f（ 2） +f（ 11）的值 【解答】 解：由图知， A=2， T=2（ 6 2） =8， = = ， 又 0+=2k Z）， =2k Z）， f（ x） =2x， f（ 1） = ， f（ 2） =2， f（ 3） = ， f（ 4） =0， f（ 5） = ， f（ 6） = 2， f（ 7） =， f（ 8） =0， f（ 1） +f（ 2） +f（ 8） =0， T=8， f（ 1） +f（ 2） +f（ 11） =f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） =2+2 故选： A 第 8 页（共 17 页） 11设 =（ 1， 2）， =（ a， 1）， =（ b， 0）（ a 0， b 0， O 为坐标原点），若A、 B、 C 三点 共线，则 的最小值是（ ） A 4 B C 8 D 9 【考点】 平面向量的坐标运算；基本不等式；平行向量与共线向量 【分析】 由题意可得 =K ，即 =K（ ）， K 为常数，化简可得 2a+b=1根据 =4+1+ + ，利用基本不等式求得它的最小值 【解答】 解：由题意可得 =K ，即 =K（ ）， K 为常数 即（ a 1， 1） =K（ b 1， 2）， a 1= K， 1=2K 解得 K= ， 2a+b=1 再由 a 0， b 0， = + =4+1+ + 5+2 =9， 当且仅当 = 时，取等号，即 的最小值是 9， 故选 D 12对实数 a 与 b，定义新运算 “”： 设函数 f（ x） =（ 2） （ x x R若函数 y=f（ x） c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） A BC D 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 根据定义的运算法则化简函数 f（ x） =（ 2） （ x 解析式，并求出 f（ x）的取值范围，函数 y=f（ x） c 的图象 与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f（ x）， y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围 【解答】 解： ， 函数 f（ x） =（ 2） （ x = ， 由图可知，当 c 第 9 页（共 17 页） 函数 f（ x） 与 y=c 的图象有两个公共点， c 的取值范围是 ， 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .） 13函数 f（ x） = x ）的最小正周期是 2 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 根据余弦函数的最小正周期的求法，将 w= 代入即可得到答案 【解答】 解： f（ x） = x ）， T= =2 故答案为： 2 14九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出 “以径乘周四而一 ”的算法与现代数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长） 20 步，径长（两段半径的和） 24 步，则该扇形田的面积为 120 平方步 【考点】 扇形面积公式 【分析】 利用扇形面积计算公式即可得出 【解答】 解：由题意可得：弧长 l=20，半径 r=12， 扇形面积 S= =120（平方步）， 故答案为： 120 15如图，四边形 ， C=120， ， D=2，则该四边形的面积是 第 10 页（共 17 页） 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 而利用三角形面积公式可求 S S 而求得四边形的面积 【解答】 解： C=120， ， D=2， 在 ， = =2 ， S D=4 ， S = = ， 四边形的面积 S=S =5 故答案为： 16设 x， m， n， y 成等差数列， x， p， q， y 成等比数列，则 的取值范围是 （， 0 4， +） 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由已知得 m+n=x+y， pq=而 = = ，由此能求出的取值范围 【解答】 解： 设 x， m， n， y 成等差数列， x， p， q， y 成等比数列， m+n=x+y， pq= = = ， 当 0 时， = = 2+2=4， 当 0 时， = = 2+2=0 第 11 页（共 17 页） 的取值范围是（ ， 0 4， +） 故答案为：（ ， 0 4， +） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出证明过程或演算步骤 .） 17（ ）在等差数列 ， 0， ，求该数列的第 8 项 （ ）在等比数列 ， b1+0， b4+，求该数列的前 5 项和 【考点】 等比数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第8 项 （ ）法一：由等比数列通项公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的前 5项和 法二：由 ，得 ，从而求出公比，进而得 此能求出该数列的前 5 项和 【解答】 （本小题满分 10 分） 解：（ ）设数列 公差为 d，由已知 0， ， 得 ， 解得 ， 所以 a8=d= 5+7 3=16 （或者 a8=d=10+2 3=16） （ ）解法一：设数列 公比为 q，由已知 ， 得 ， 解得 ， 所以 = = 解法二：设数列 公比为 q 第 12 页（共 17 页） 由 ，得 ， 从而得 又因为 ， 从而得 所以 = 18已知 是第三象限角，且 （ ）求 ）的值； （ ）求 值 【考点】 两角和与差的正切函数；二倍角的余弦 【分析】 （ ）利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得 ）的值 （ ）由条件利用二倍角公式，求得 值 【解答】 解：（ ）因为 是第三象限角， ， 0 又因为 ，所以 = 故 = ， = （ ）由（ ）知 ， ， 所以， 19已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的递减区间； （ ）当 x ， 时，求 f（ x）的最值，并指出取得最值时相应的 x 的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函 数的图象 【分析】 （ I）利用和差公式、倍角公式可得 f（ x） = ，再利用正弦函数的单调性即可得出； （ 用正弦函数的单调性即可得出 第 13 页（共 17 页） 【解答】 解：（ ） = = ， 要使 f（ x）递减，则 要满足： ， 即 ， 所以函数 f（ x）的递减区间是 （ ）因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 故当 时， 函数 f（ x）的最小值是 0，此时 ，得 ； 函数 f（ x）的最大值是 ，此时 ，得 20设数列 前 n 项和为 Sn=等比数列，且 a1= （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 cn=an数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由已知利用递推公式 可得 入分别可求数列 比 q，从而可求 （ 2）由（ 1）可得 2n 1） 4n 1，利用乘 “公比 ”错位相减求和 【解答】 解：（ 1）：当 n=1 时， 1=1； 当 n 2 时， n 1= n 1） 2=2n 1， 故 通项公式 为 n 1，即 ，公差 d=2 的等差数列 设 公比为 q，则 d=2， q= 故 bn=1=1 ，即 通项公式为 ） n 1； （ 2） cn=an 2n 1） （ ） n 1， 第 14 页（共 17 页） Tn=c1+ +3 +5 +（ 2n 1） （ ） n 1， +3 +5 +（ 2n 3） （ ） n 1+（ 2n 1） （ ） n， 两式相减得， +2（ + + +（ ） n 1）（ 2n 1） （ ） n =3 （ 2n 1） （ ） n 21某通讯公司需要在三角形地带 域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域 ，乙中转站建在区域 分界线 定，且 （ 1+ ）百米，边界线 终过点 B，边界线 足 5， 0， 5设 OA=x（ 3 x 6）百米， OC=y 百米 （ 1）试将 y 表示成 x 的函数，并求出函数 y 的解析式； （ 2）当 x 取何值时？整个中转站的占地面积 S 小，并求出其面积的最小值 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1