石家庄市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1抛物线 x 的焦点坐标（ ） A（ 0， 2） B（ 2， 0） C（ 4， 0） D（ 0， 4） 2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名，现从这 70 人中用分层抽样的方法抽取一个容量为 14 的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 3已知命题 p： x 0，总有 2x 1，则 p 为（ ） A x 0，总有 2x 1 B x 0，总有 2x 1 C D 4 “p 或 q 为真命题 ”是 “p 且 q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5阅读如图程序框图，为使输出的数据为 15，则 处应填的数字为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6 6在棱长为 a 正方体 ， 交于点 O，则有（ ） A B C D 7已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1， 2， 3，4 表示命中， 5， 6， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A 2 页（共 18 页） 8已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B C D y= 4x 9已知函数 f（ x） =x2+x 2， x 1， 6，若在其定义域内任取一数 得 f（ 0概率是（ ） A B C D 10已知正方体 棱长为 1， M 为棱 中点，则点 M 到平面 ） A B C D 11如图，在底面半径和高均为 4 的圆锥中， 底面圆 O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 中点若过直 径 点 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为（ ） A 4 B C D 12我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对 “相关曲线 ”已知 2 是一对相关曲线的焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 0时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下： 0001， 0002， 0003， ， 1000，若从中抽取一个容量为 50 的样本，按照系统抽样的方法分成 50 个部分，如果第一部分编号为 0001，0002， 0003， ， 0020，第一部分随机抽取一个号码为 0015，则抽取的第 3 个号码为 14在两个袋内，分别装着写有 0， 1， 2， 3， 4， 5 六个数字的 6 张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于 5 的概率为 15已知空间四点 A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）共面，则 x= 16已知两定点 M（ 2， 0）， N（ 2， 0），若直线 y=0 上存在点 P，使得 | |2，则实数 k 的取 值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），圆 C 以 直径 （ 1）求圆 C 的方程； 第 3 页（共 18 页） （ 2）求直线 l： 3x+4y 8=0 被圆 C 截得的弦长 18从某校高二年纪 800 名学生中随机抽取 100 名测量身高，得到频率分布直方图如图 （ 1）求这 100 名学生中身高在 170 厘米以下的人数； （ 2）根据频率分布直方图估计这 800 名学生的平均身高 19 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ ）根据上表数据求出 y 与 x 的线性回归直线方程 ， （ ）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ ）中求出的线性回归方程预 浓度是多少？（保留整数） 参考公式其中 = = ：方程 20如图，在棱长为 2 的正方体 ， E， F 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值 21该试题已被管理员删除 22已知椭圆 过点 ，且它的离心率为 第 4 页（共 18 页） （ ）求椭圆 E 的标准方程； （ ）与圆（ x 1） 2+ 相切的直线 l： y=kx+t（ k R， t R）交椭圆 E 于 M、 N 两点，若椭圆 E 上一点 C 满足 （ O 为坐标原点），求实数 的取值范围 四、附加题：（本题各校可根据本校的教学进度自行选择，分值自定） 23已知函数 f（ x） =x（ b R）在 x=2 处取得极值 （ ）求 b 的值； （ ）求 f（ x）在区间 0， 4上的最大值和最小值 第 5 页（共 18 页） 2015年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1抛物线 x 的焦点坐标（ ） A（ 0， 2） B（ 2， 0） C（ 4， 0） D（ 0， 4） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标 【解答】 解： 抛物线 x 的焦点在 x 轴上，且 p=4， =2， 抛物线 x 的焦点坐标为（ 2， 0） 故选： B 2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名，现从这 70 人中用分层抽样的方法抽取一个容量为 14 的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根 据总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数 【解答】 解： 高一年级有 30 名，高二年级有 40 名，这 70 人中用分层抽样的方法抽取一个容量为 14 的样本 故每个个体被抽到的概率是 = 高二年级有 40 名， 要抽取 40 =8， 故选： B 3已知命题 p： x 0，总有 2x 1，则 p 为（ ） A x 0，总有 2x 1 B x 0，总有 2x 1 C D 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案 【解答】 解：命题 p： x 0，总有 2x 1， 则 p： ， 故选： D 第 6 页（共 18 页） 4 “p 或 q 为真命题 ”是 “p 且 q 为真命题 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 “p 或 q 为真命题 ”只要 p 和 q 中至少有一个真命题即可，而 “p 且 q 为真命题 ”是 p和 q 均为真命题 【解答】 解： “p 或 q 为真命题 ”只要 p 和 q 中至少有一个真命题即可，而 “p 且 q 为真命题 ”是 p 和 q 均为真命题 故 “p 或 q 为真命题 ”“p 且 q 为真命题 ”，反之不一定成立 故选： B 5阅读如图程序框图，为使输出的数据为 15，则 处应填的数字为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框 图 【分析】 分析程序中各变量、语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求 S 的值，模拟程序运行过程中各变量的值的变化情况，即可得出答案 【解答】 解：模拟程序运行的过程，各变量的值如下表示； 开始， S=1， i=1； 第一次循环， S=3， i=2； 第二次循环， S=7， i=3； 第三次循环， S=15， i=4； 此时不满足条件 i 4，退出循环， 故 处应填的数字为 4 故选： B 6在棱长为 a 正方体 ， 交于点 O，则有（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 第 7 页（共 18 页） 【分析】 以 D 为坐标原点，以 x 轴，以 y 轴，以 轴，建立空间坐标系，如图所示，分别根据向量的数量积的运算法则计算即可 【解答】 解：在正方体 ，棱长为 a，令 a=1， 以 D 为坐标原点，以 x 轴，以 y 轴 ，以 轴，建立空间坐标系，如图所示， A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， 1， 0， 1）， 0， 1， 1）， 0， 0，1）， O（ ， ， ）， =（ 0， 1， 0）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 1）， =（ ， ， ），=（ 1， 0， 0）， =（ ， ， ）， =1， =1， = ， = ， 只有 C 正确， 故选： C 7已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1， 2， 3，4 表示命中， 5， 6， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A 考点】 模拟方法估计概率 【分析】 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共 5 组随机数，根据概率公式，得到结果 【解答】 解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有： 191、 271、 932、 812、 393 共 5 组随机数， 第 8 页（共 18 页） 所求概率为 = = 故选 B 8已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A y= 2x B C D y= 4x 【考 点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用双曲线的离心率公式和 a， b， c 的关系，结合渐近线方程，即可得到所求 【解答】 解：由题意可得 e= = ， 即 c= a， 则 b= =2a， 由渐近线方程 y= x， 可得 y= x 故选： B 9已知函数 f（ x） =x2+x 2， x 1， 6，若在其定义域内任取一数 得 f（ 0概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答 【解答】 解： 已知区间 1， 6长度为 7， 满足 f（ 0， f（ x） =2 0，解得 1 1，对应区间长度为 2， 由几何概型公式可得，使 f（ 0 成立的概率是 P= 故选： A 10已知正方体 棱长为 1， M 为棱 中点，则点 M 到平面 ） A B C D 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 M 到平面 距离 【解答】 解：以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 第 9 页（共 18 页） 则 D（ 0， 0， 0）， 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， M（ 0， 1， ）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 点 M 到平面 距 离： d= = = 故选： D 11如图，在底面半径和高均为 4 的圆锥中， 底面圆 O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 中点若过直径 点 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为（ ） A 4 B C D 【考点】 抛物线的应用；平面与圆锥面的截线 【分析】 根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出 长度，结合直角三角形的关系进行求解即可 【解答】 解：如图所示，过点 E 作 足为 H E 是母线 中点，圆锥的底面半径和高均为 4， H=2 第 10 页（共 18 页） 在平面 建立直角坐标系如图 设抛物线的方程为 p 0）， F 为抛物线的焦点 C（ 2 ， 4）， 16=2p（ 2 ），解得 p=2 F（ ， 0） 即 ， ， ， ， 该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为 = = ， 故选： D 12我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对 “相关曲线 ”已知 2 是一对相关曲线的焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 0时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质； 椭圆的简单性质 【分析】 设 m， n， c，由余弦定理 4c2=m2+ 椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得 m+n=2m n=2此能求出结果 【解答】 解：设 m， n， c， 由余弦定理得（ 2c） 2=m2+2即 4c2=m2+ 设 椭圆的实半轴， 双曲线的实半轴， 第 11 页（共 18 页） 由椭圆及双曲线定义，得 m+n=2m n=2 m=a1+n= 将它们及离心 率互为倒数关系代入前式得 34c2+， e1= =1 即 3 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下： 0001， 0002， 0003， ， 1000，若从中抽取一个容量为 50 的样本，按照系统抽样的方法分成 50 个部分，如果 第一部分编号为 0001，0002， 0003， ， 0020，第一部分随机抽取一个号码为 0015，则抽取的第 3 个号码为 0055 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的特征，从 1000 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本，抽样的分段间隔为 =20，可得抽取的第 3 个号码 【解答】 解： 从 1000 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本， 系统抽样的分段间隔为 =20， 第一部分随机抽取一个号码为 0015， 抽取的第二个编号为 0035， 抽取的第三个编号为 0055 故答案为： 0055 14在两个袋内，分别装着写有 0， 1， 2， 3， 4， 5 六个数字的 6 张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于 5 的概率为 【考点】 等可能事件的概率 【分析】 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有的情况，可以通过列举得到结果，这些情况发生的可能性相等，满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有 6种，根据古典概型概率公式得到结果 【解 答】 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示 36 种情况 第 12 页（共 18 页） 其中和为 5 的从表中可以看出有 6 种情况， 所求事件的概率为 故答案为： 15已知空间四点 A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）共面，则 x= 6 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 由于四点 A， B， C， D 共面，可得存在实数 ， 使得，解出即可 【解答】 解： A（ 0， 3， 5）， B（ 2， 3， 1）， C（ 4， 1， 5）， D（ x， 5， 9）， =（ 2， 0， 4）， =（ 4， 2， 0）， =（ x， 2， 4）， 四点 A， B， C， D 共面， 存在实数 ， 使得， = + ， （ x， 2， 4） =（ 2， 0， 4） +（ 4， 2， 0）， ，解得 x= 6， 故答案为： 6 16已知两定点 M（ 2， 0）， N（ 2， 0），若直线 y=0 上存在点 P，使得 | |2，则实数 k 的取值范围是 （ ， ） 【考点】 双曲线的简单性 质 【分析】 由 | |2 |由双曲线的定义可得 P 的轨迹为以 M， N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支，求得双曲线的方程，代入 y=方程可令 3 0，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：由题意可得 |4， | |2 | 由双曲线的定义可得 P 的轨迹为以 M， N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支， 由 a=1， c=2，可得 b2=， 可得方程为 =1（ x 0）， 由 y=入双曲线的方程 ，可得： （ 3 ， 由题意可得 3 0，解得 k 故答案为：（ ， ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），圆 C 以 直径 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）求直线 l： 3x+4y 8=0 被圆 C 截得的弦长 【考点】 直线与圆的位置关系 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）求出圆心坐标与半径，即可求圆 C 的方程； （ 2）求出圆心到直线的距离，即可求直线 l： 3x+4y 8=0 被圆 C 截得的弦长 【解答】 解：（ 1） 中点坐标为（ 1， 0），圆的半径为 2， 圆 C 的方程为（ x 1） 2+； （ 2）圆心到直线的距离 d= =1， 直线 l： 3x+4y 8=0 被圆 C 截得的弦长 2 =2 18从某校高二年纪 800 名学生中随机抽取 100 名测量身高，得到频率分布直方图如图 （ 1）求这 100 名学生中身高在 170 厘米以下的人数； （ 2）根据频率分布直方图估计这 800 名学生的平均身高 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频率分布直方图，求出身高在 170 厘米以下的频率，再求对应的频数即可； （ 2）根据频率和为 1，求出身高在 185 190 内的频率为，再求平均数 【解答】 解：（ 1）根据频率分布 直方图，得； 身高在 170 厘米以下的频率为 （ 5= 所以这 100 名学生中身高在 170 厘米以下的人数为 100 4； （ 2）根据频率分布直方图，得； 身高在 185 190 内的频率为 1（ 5= 所以估计这 800 名学生的平均身高为 =5+5+170 10 +5+5+5 =米 19 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 第 14 页（共 18 页） （ ）根据上表数据求出 y 与 x 的线性回 归直线方程 ， （ ）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ ）浓度是多少？（保留整数） 参考公式其中 = = ：方程 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）根据表中数据，计算 、 与 （ ）（ ）和 的值，求出 与 ，写出线性回归方程； （ ）计算 x=25 时 的值，即可预测出 浓度 【解答】 解：（ ）根据表中数据，得； = （ 50+51+54+57+58） =54， = （ 69+70+74+78+79） =74， （ ）（ ） =4 5+3 4+3 4+4 5=64， =（ 4） 2+（ 3） 2+32+42=50， = = = = =74 54= 故 y 关于 x 的线性回归方程是： = （ ）当 x=25 时， =25+37， 所以可以预测此时 浓度约为 37 20如图，在棱长为 2 的正方体 ， E， F 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值 第 15 页（共 18 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）以点 D 为坐标原点，分别以 在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出平面 平面 成的锐二面角的余弦值 【解答】 证明：（ ） 在棱长为 2 的正方体 ， E， F 分别为 如图：以点 D 为坐标原点，分别以 在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 0， 0）， 0， 0， 2）， F（ 0， 1， 0）， E（ 2， 2， 1）， ， ， =（ 2， 2， 1）， =0， =0， 又 E=D， 平面 解：（ ）由（ 1）可知平面 法向量 设平面 法向量为 ， =（ 0， 0， 2）， =（ 0， 2， 2）， 则 =0， ，即 ， 令 x=1，则 y=1， z= 1，得 平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 第 16 页（共 18 页） 21该试题已被管理员删除 22已知椭圆 过点 ，且它的离心率为 （ ）求椭圆 E 的标准方程； （ ）与圆（ x 1） 2+ 相切的直线 l： y=kx+t（ k R， t