浙江省2016年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1定义集合 AB=x|x A 或 x B 且 xAB，设全集 U=x|1 x 10，集合 A=x|2x 6， B=x|5 x 7，则（ B=（ ） A 6， 7） B（ 1， 2 （ 5， 6） 7， 10） C（ 1， 6） D（ 1， 2 （ 5， 6 （ 7，10） 2下列说法正确的是（ ） A “9”是 “a 3”的充分不 必要条件 B “ R，使得 ”的否定是 “ ” C若 A B 是假命题，则 A B 是假命题 D “若 a 0，则 x2+ax+a 0 有解 ”的否命题为 “若 a 0，则 x2+ax+a 0 无解 ” 3已知数列 足 ，若 n 为奇数时， =2；若 n 为偶数时， =an+n则该数列的前 7 项和为（ ） A 103 B 102 C 100 D 98 4设三条不同的直线分别为 m， n， l，两 个不同的平面分别为 ， 则下列说法正确的是（ ） A若 m n， n ，则 m B若 m， n 为异面直线，且 m ， n ，则 C若 m n， ， m ，则 n D若 m ， m ， =l，则 m l 5已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象与 若 ，则函数 f（ x）在 上的值域为（ ） A 1， 2 B C D 6已知平面向量 ， 满足 ， ， 则对于任意的实数 m，的最小值为（ ） A 2 B 1 C D 7设双曲线 的左、右焦点分别为 左焦点 于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率 e 的值为（ ） A B 3 C D 5 8在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） ， 若点 M 在 在平面上运动，且使得 面积为 1，则动点 M 的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 二填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 . 9（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知函数 f（ x） = ，则 f（ 3） = ；当 x 0 时，不等式 f（ x） 2 的解集为 10（ 6 分）（ 2016 浙江二模）若函数 的最小正周期为 2，则 = ； = 11（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知实数 x， y 满足不等式组 ，若实数 ，则不等式 组表示的平面区域的面积为 ；若目标函数 z=4x+3y 的最大值为 15，则实数 a 的值为 12（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ；表面积为 13（ 4 分）（ 2016 浙江二模）已知正方形 ，点 A（ 2， 1）， C（ 6， 3）若将点 A 折起，使其与边 中点 E 重合，则该折线所在直线方程为 14（ 4 分）（ 2016 浙江二模）若正数 3x+4y+5z=6，则 + 的最小值 15（ 4 分）（ 2016 浙江二模）已知函数 ，若函数 y=ff（ x） a有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 三解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（ 14 分）（ 2016 浙江二模）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 面积为 ，试求边 b 的最小值 17（ 15 分）（ 2016 浙江二模）如图所示，平面 平面 ，D=2， M， N 分别为 点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 P 为棱 三等分点（近 A），平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ，求棱 长度 18（ 15 分）（ 2016 浙江二模）已知二次函数 f（ x），若 f（ x） 0 时的解集为 x| 1 x 4，且 f（ 6） =28 （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 在区间 上是单调递增函数，试求函数 g（ x）在该区间上的最大值的取值范围 19（ 15 分）（ 2016 浙江二模）已知椭 圆 经过点 ，其离心率为 ，设 A， B， M 是椭圆 C 上的三点，且满足，其 中 O 为坐标原点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）证明： 面积是一个常数 20（ 15 分）（ 2016 浙江二模）已知数列 足 = c， n N*，其中常数 c（ 0， ） （ 1）若 取值范围； （ 2）若 （ 0， 1），求证：对任意 n N*，都有 （ 0， 1）； （ 3）若 （ 0， 1），设数列 前 n 项和为 n 2016 年浙江省高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1定义集合 AB=x|x A 或 x B 且 xAB，设全集 U=x|1 x 10，集合 A=x|2x 6， B=x|5 x 7，则（ B=（ ） A 6， 7） B（ 1， 2 （ 5， 6） 7， 10） C（ 1， 6） D（ 1， 2 （ 5， 6 （ 7，10） 【分析】 可进行补集、交集的运算求出 x|1 x 2，或 6 x 10，（ B=x|6 x 7，从而便可根据 AB 的定义进行 的运算即可 【解答】 解： x|1 x 2，或 6 x 10， B=x|5 x 7， （ B=x|6 x 7； （ B=x|x x B 且 x（ B=x|1 x 2，或 5 x 6，或 7 x10=（ 1， 2 （ 5， 6） 7， 10） 故选： B 【点评】 考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合 AB 的定义 2下列说法正确的是（ ） A “9”是 “a 3”的充分不必要条件 B “ R，使得 ”的否定是 “ ” C若 A B 是假命题，则 A B 是假命题 D “若 a 0，则 x2+ax+a 0 有解 ”的否命题为 “若 a 0，则 x2+ax+a 0 无解 ” 【分析】 A根据充分条件和必要条件的定义进行判断 B根据含有量词的命题的否定进行判断 C根据复合命题真假关系进行判断 D根据否命题的定义进行判断 【解答】 解： A由 9 得 a 3 或 a 3，则 “9”是 “a 3”的必要不充分条件，故 B “ R，使得 ”的否定是 “ x R， 2 ”，故 C若 A B 是假命题，则 A， B 至少有一个为假命题，当 A 假， B 真时，满足 A B 是假命题，但 A B 是真命题，故 C 错误， D “若 a 0，则 x2+ax+a 0 有解 ”的否命题为 “若 a 0，则 x2+ax+a 0 无解 ”，正确，故 故选： D 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强， 但难度不大 3已知数列 足 ，若 n 为奇数时， =2；若 n 为偶数时， =an+n则该数列的前 7 项和为（ ） A 103 B 102 C 100 D 98 【分析】 由递推公式化简可得 ， =3， a3=5， ，从而求和 【解答】 解：由题意， ， =3， a3=5， =11， a5=15， =31， a7=37； 故和为 1+3+5+11+15+31+37=103， 故选： A 【点评】 本题考查了数列的递推公式的应用及前 n 项和的求法 4设三条不同的直线分别为 m， n， l，两个不同的平面分别为 ， 则下列说法正确的是（ ） A若 m n， n ，则 m B若 m， n 为异面直线，且 m ， n ，则 C若 m n， ， m ，则 n D若 m ， m ， =l，则 m l 【分析】 根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可 【解答】 解： A若 m n， n，则 m 或 n ，故 A 错误， B若 m， n 为异面直线，且 m ， n ，则 不成立，故 B 错误， C若 m n， ， m ，则 n 或 n 或 n ，故 C 错误， D若 m ， m ， =l，则 m l 成立，故 D 正确， 故选： D 【点评】 本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理 5已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象与 若 ，则函数 f（ x）在 上的值域为（ ） A 1， 2 B C D 【分析】 求出 f（ x）的表达式，从而求出 f（ x）在闭区间上的值域问题 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图 象与 x 轴的一个交点 到其相邻的一条对称轴的距离为 ， 函数的周期是 ， =2， 由 f（ ） =0， ， 得： ， 解得 A= ， = ， f（ x） = 2x+ ）， x 0， ， 2x+ 0， ， 显然 x= 时， f（ x）最大， x= 时， f（ x）最小， 则函数 f（ x）在 上的值域为 ， ， 故选： B 【点评】 本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题 6已知平面向量 ， 满足 ， ， 则对于任意的实数 m，的最小值为（ ） A 2 B 1 C D 【分析】 根据 进行数量积的运算可得到，而配方即可求得 ，从而便可得出 的最小值 【解答】 解：根据条件： =4m（ 2 4m） +（ 2 4m） 2 =1212m+4 = ； ； 的最小值为 1 故选 B 【点评】 考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求 的最小值，而求 的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法 7设双曲线 的左、右焦点分别为 左焦点 于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率 e 的值为（ ） A B 3 C D 5 【分析】 设左焦点 c， 0），渐近线方程为 y= x，对称点为 F（ m， n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 c， 0），渐近线方程为 y= x， 对称点为 F（ m， n）， 即有 = ， 且 n= ， 解得 m= ， n= ， 将 F（ ， ），即（ ， ）， 代入双曲线的方程可得 =1， 化简可得 4=1，即有 ， 解得 e= 故选： C 【点评】 本 题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 8在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） ， 若点 M 在 在平面上运动，且使得 面积为 1，则动点 M 的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】 确定 M 到 距离为 ，利用 平面 成角为 45，可得动点 M 的轨迹 【解答 】 解：由题意， ， 面积为 1， M 到 距离为 ， M 在以 旋转轴，半径为 的圆柱上， 平面 成角为 45 动点 M 的轨迹为椭圆 故选： B 【点评】 本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 二填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 . 9（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知函数 f（ x） = ，则 f（ 3） = 2 ；当x 0 时，不等式 f（ x） 2 的解集为 （ 1， 0） 【分析】 根据分段函数的表达式利用代入法即可求 f（ 3），解不等式即可得到结论 【解答】 解：由分段函数的表达式得 f（ 3） =f（ 1） =22 1=2， 当 x 0 时，由 f（ x） 2 得 2， 即 21 1，即 22， 1， 得 1 x 1，此时 1 x 0， 即不等式的解集是（ 1， 0）， 故答案为： 2，（ 1， 0） 【点评】 本题主要考查分段函数的应用，利用代入法和直接法是解决本题的关键比较基础 10（ 6 分）（ 2016 浙江二模）若函数 的最小正周期为 2，则 = ； = 2+ 【分析】 直接利用周期公式 T= ，求出实数 的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可化简求值 【解答】 解：因为函数 的最小正周期为 2，所以 =2，解得： = = + ） = = =2+ 故答案为： ， 2+ 【点评】 本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值 中的应用，是常考题型，属于基础题 11（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知实数 x， y 满足不等式组 ，若实数 ，则不等式组表示的平面区域的面积为 27 ；若目标函数 z=4x+3y 的最大值为 15，则实数 1 【分析】 由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数 Z=2x y 的最小值 【解答】 解：由题意作出实数 x， y 满足不等式组 ，实数 平面区域， x=1， y=4 x， x=2y 4 两两联立解得， A（ 1， 3）， B（ 1， ）， C（ 4， 0）； 故 S 3 （ 3+ ） =27； 目标函数 z=4x+3y 的最大值为 15，可知 ，解得 ，即： C（ 3， 1）， C 满足y 2=0， 3a 1 2=0，解得 a=1 故答案为： 27； 1 【点评】 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题 12（ 6 分）（ 2016 浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 4 ；表面积为 【分析】 由三视图知用平面 棱长为 2 的正方体所得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解：由三视图可知该几何体是： 用平面 棱长为 2 的正方体所得到的几何体， 如图： E、 F 分别是中点， 其中四边形 棱形，边长为 ， 对角线 、 ， 几何体的体积： V=V 正方体 2 2 2 =4， 几何体的表面积： S= +2 2+ + = 故答案为： 4； 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图结合正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 13（ 4 分）（ 2016 浙江二模）已知正方形 ，点 A（ 2， 1）， C（ 6， 3）若将点 A 折起，使其与边 中点 E 重合，则该折线所在直线方程为 x 2y 5=0 【分析】 求出 B 点的坐标，得到 中点 E 的坐标，从而求出直线 斜率，得到其垂线的斜率，求出线段 中点坐标，进而求出折线的方程即可 【解答】 解：由题意得： A（ 2， 1）， B（ 2， 3）， C（ 6， 3）， D（ 6， 1）， 则 中点 E（ 4， 3）， 2， 垂线的斜率是： ， 中点是（ 3， 1）， 故折线的方程是： x 2y 5=0 故答案为： x 2y 5=0 【点评】 本题考查了垂直直线的斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题 14（ 4 分）（ 2016 浙江二模）若正数 3x+4y+5z=6，则 + 的最小值 【分析】 由题意化简可得原式 = + + ，由基本不等式可得 【解答】 解： 正数 3x+4y+5z=6， + = + = + = + + 2 + = 当且仅当 = 时，取等号 故答案为： 【点评】 本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题 15（ 4 分）（ 2016 浙江二模）已知函数 ，若函数 y=ff（ x） a有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 4 a 1 或 a 5 【分析】 先求出 f（ x）的零点，然后求出 f（ x） a 的值，作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可 【解答】 解：函数 f（ x）的图象如下图所示： 当 x 0 时，由 f（ x） =0 得 =0，得 x=0， 当 x 0 时，由 f（ x） =0 得 x 5=0，得 x=1 或 x=5， 由 y=ff（ x） a=0 得 f（ x） a=0 或 f（ x） a=1，或 f（ x） a=5， 即 f（ x） =a， f（ x） =a+1， f（ x） =a+5， a= 1，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 3 个根， f（ x） =a+5 有 1 个根，此时共有 6个根 a= 4，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 2 个根，此时共有 6个根 若 a 4，则 f（ x） =a 有 0 个根， f（ x） =a+1 有 0 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 0个根 若 a=4，则 f（ x） =a 有 1 个根， f（ x） =a+1 有 0 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 1根 若 4 a 3，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 0 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 2 个根 若 a=3，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 1 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 3个根 若 3 a 1，则 f（ x） =a 有 3 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 5 个根 若 a=1，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 4个根 若 1 a 0，则 f（ x） =a 有 3 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有 5 个根； 若 a=0，则 f（ x） =0 有 3 个根， f（ x） =1 有 2 个根， f（ x） =5 有 0 个根，此时共有 5 个根； 1 a 0 时， f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 3 个根， f（ x） =a+5 有 0 个根，此时共有5 个根； 若 4 a 1，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 2 个根，此时共有 6 个根； 若 a= 4，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 2 个根，此时共有6 个根； 若 5 a 4，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 3 个根，此时共有 7 个根； a 5，则 f（ x） =a 有 2 个根， f（ x） =a+1 有 2 个根， f（ x） =a+5 有 2 个根，此时共有 6个根 故 4 a 1 或 a 5，函数 y=ff（ x） a有 6 个零点 故答案为： 4 a 1 或 a 5 【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键 三解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（ 14 分）（ 2016 浙江二模）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 面积为 ，试求边 b 的最小值 【分析】 （ 1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得 值，结合角的范围，进而求得 B （ 2）根据三角形面积求得 值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边 b 的最小值 【解答】 解：（ 1） =B+C） = 由 0，求得 ， 由 B （ 0， ），可得： B= （ 2） S= ， ， b2=a2+2a2+2ac=，（当且仅当 a=c 时等号成立）， 边 b 的最小值为 2 【点评】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题 17（ 15 分）（ 2016 浙江二模）如图所示，平面 平面 ，D=2， M， N 分别为 点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 P 为棱 三等分点（近 A），平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ，求棱 长度 【分析】 （ 1）连结 导出 平面 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱 长度 【解答】 证明：（ 1）连结 由题意四边形 菱形， O 是 点， N 是 点， 面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 解：（ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 A（ ， 1， t），（ t 0）由题意 D（ 0， 2， 0）， P（ ， 0， ）， E（ 2 ， 0，0）， D（ 0， 2， 0）， M（ ）， B（ ， 0）， C（ 0， 0， 0）， =（ ， 0， ）， =（ ）， =（ ）， =（ ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， 3， ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 a= ，得 =（ ， 0）， 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ， | |= = = ，解得 t=3 棱 长度为 3 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 18（ 15 分）（ 2016 浙江二模）已知二次函数 f（ x），若 f（ x） 0 时的解集为 x| 1 x 4，且 f（ 6） =28 （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 在区间 上是单调递增函数，试求函数 g（ x）在该区间上的最大值的取值范围 【分析】 （ 1）根 据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合 f（ 6） =28，求出 f（ x）的解析式； （ 2）由 f（ x）的解析式，求出 f（ x m），根据 g（ x）的解析式求出 g（ x）在 8 ， 16上单调递增的条件， 求出 m 的取值范围，再求出函数 g（ x）在 8 ， 16上的最大值 g（ 16）的解析式，从而求出它的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x）是二次函数，且不等式 f（ x） 0 的解集是（ 1， 4）， 1， 4 是方程 f（ x） =0 的两个根，且抛物线开口向上， 设 f（ x） =a（ x+1）（ x 4）， a 0 f（ 6） =a（ 6+1）（ 6 4） =28， 解得 a=2， f（ x） =2（ x+1）（ x 4）； （ 2）由 f（ x） =2（ x+1）（ x 4），得 f（ x m） =2（ x m+1）（ x m 4）， g（ x） = = =2x+ （ 2m+3） ； 当 m 1 时， m 4 0 恒成 立， 当 x 时， g（ x）是单调增函数， x 时， g（ x）是单调减函数； 又 g（ x）在 8 ， 16上是单调增函数， 8 ； 化简得 m 196 0， 解得 m 或 m （不合题意，舍去）； 又函数 g（ x）在区间 上是单调递增函数， 函数 g（ x）在该区间上的最大值为 g（ 16） = = （ 17 m）（ 12 m） = （ m 17）（ m 12）； 由 m 知， 12 13， 且（ m 17）（ m 12）的对称轴为 m= 所以 （ m 17）（ m 12）有最小值 ，它的取值范围是 ， +） 故所求的取值范围是 ， +） 【点评】 本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的 取值范围的应用问题，是难题 19（ 15 分）（ 2016 浙江二模）已知椭圆 经过点 ，其离心率为 ，设 A， B， M 是椭圆 C 上的三点，且满足，其 中 O 为坐标原点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）证明： 面积是一个常数 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得 a=2， b=1，可得椭圆方程； （ 2）设 A（ B（ M（ m， n），可得 ， ， ，由向量的坐标表示，求得 m， n，再平方相加，可得 ，再由