天津市蓟县2015-2016学年高二上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年天津市蓟县高二（上）期中数学试卷 一、选择题：每小题 5分，共 50分四个选项中只有一个符合题意 1如图所示是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A圆柱体 B圆锥体 C正方体 D球体 2直线 l： x+y+3=0 的倾斜角 为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 3正方体的全面积为 a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ） A B C 2a D 3a 4已知两条直线 x+21=0， x 4y=0，且 满足条件 a 的值为（ ） A B C 2 D 2 5若 l、 m、 n 是互不相同的空间直线， ， 不是重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A若 ， l， n，则 l n B若 ， l，则 l C若 l ， l，则 D若 l n， m n，则 l m 6过点 P（ 4， 1）且与直线 3x 4y+6=0 垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y 13=0 B 4x 3y 19=0 C 3x 4y 16=0 D 3x+4y 8=0 第 2 页（共 17 页） 7在 ， ， 20，若使该三角形绕直线 转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A B C D 8直线 3x+4y 13=0 与圆 x2+4x 6y+12=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D无法判定 9圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点（ 1， 0）的圆的方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y 1） 2=1 D（ x+1） 2+（ y+1）2=1 10正方体 面角 D 的正切值为（ ） A 1 B 2 C D 二、填空题：每小题 5分，共 25分 11圆 x2+x+y 1=0 的圆心坐标是 12有一个几何体的三视图及其尺寸（单位 则该几何体的表面积为： 13两圆 x2+ 和 x2+8x+6y+9=0 的位置关系是 第 3 页（共 17 页） 14直线 l 与平面 成角为 30， l=A， m， Am 则 m 与 l 所成角的取值范围是 15直线 x 2y 3=0 与圆（ x 2） 2+（ y+3） 2=9 交于 E， F 两点，则 O 为坐标原点）的面积等于 三、解答题：每小题 9分，共 45分 16已知三角形 三个顶点是 A（ 4， 0）， B（ 6， 7）， C（ 0， 8） （ 1）求 上的高所在直线的方程； （ 2）求 上的中线所在直线的方程 17在长方体 知 C=4， （ 1）求 成的角的余弦； （ 2）求异面直线 成角的余弦值 18已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x 3y=0 上，且被直线 y=x 截得的弦长为 ，求圆 C 的方程 19如图：四棱锥 P 面为一直角梯形， 平面 C 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证： 平面 第 4 页（共 17 页） 20已知方程 x2+2x 4y+m=0 （ 1）若此方程表示圆，求 m 的取值范围； （ 2）若（ 1）中的圆与直线 x+2y 4=0 相交于 M、 N 两点，且 O 为坐标原点），求 m； （ 3）在（ 2）的条件下，求以 直径的圆的方程 第 5 页（共 17 页） 2015年天津市蓟县高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 5分，共 50分四个选项中只有一个符合题意 1如图所示是某一几何体的三视图，则这个 几何体是（ ） A圆柱体 B圆锥体 C正方体 D球体 【考点】 简单空间图形的三视图 【专题】 数形结合；整体思想；数形结合法；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 直接利用三视图 几何体的形状即可 【解答】 解：由正视图与侧视图可知，几何体是柱体，由俯视图可知，三视图是圆柱体 故选： A 【点评】 本题考查三视图复原几何体的判断，是基础题 2直线 l： x+y+3=0 的倾斜角 为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 直线与圆 【分析】 由题意可得，直线的斜率 ，再由 0 180，可得 的值 【解答】 解：由于直线 l： x+y+3=0 的倾斜角为 ，则直线的斜率 ， 再由 0 180，可得 =120， 故选 C 【点评】 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础 题 第 6 页（共 17 页） 3正方体的全面积为 a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ） A B C 2a D 3a 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 设球的半径为 R，则正方体的对角线长为 2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积 【解答】 解：设球的半径为 R，则正方体的对角线长为 2R， 依题意知 a，即 a， S 球 =4 a= 故选 B 【点评】 本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力 4已知两条直线 x+21=0， x 4y=0，且 满足条件 a 的值为（ ） A B C 2 D 2 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】 直线与圆 【分析】 根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得 a 的值 【解答】 解：根据两条直线 x+21=0， x 4y=0，且 得 ，求得 a= 2， 故选 C 【点评】 本 题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题 5若 l、 m、 n 是互不相同的空间直线， ， 不是重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A若 ， l， n，则 l n B若 ， l，则 l C若 l ， l，则 D若 l n， m n，则 l m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【专题】 证明题；转化思想；空间位置关系与距离 【分析】 根据平面与平面平行 、垂直的性质、判定，即可得出结论 第 7 页（共 17 页） 【解答】 解：根据平面与平面平行的性质，可得 A 不正确； 根据平面与平面垂直的性质，可得 B 不正确； 根据平面与平面垂直的判定，可得 C 正确； 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，所以 D 错误 故选： C 【点评】 本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理 6过点 P（ 4， 1）且与直线 3x 4y+6=0 垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y 13=0 B 4x 3y 19=0 C 3x 4y 16=0 D 3x+4y 8=0 【考点】 直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【专题】 计算题 【分析】 要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为 1 即可求出斜率 【解答】 解：因为两直线垂直，直线 3x 4y+6=0 的斜率为 ， 所以所求直线的斜率 k= 则直线方程为 y（ 1） = （ x 4）， 化简得 4x+3y 13=0 故选 A 【点评】 此题为基础题，考查学生掌握两直线垂直时斜率乘积为 1，会根据一点和斜率写出直线的方程 7在 ， ， 20，若使该三角形绕直线 转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A B C D 【考点 】 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 计算题 【分析】 所形成的几何体是以 用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求 【解答】 解：如图： ，绕直线 转一周， 则所形成的几何体是以 轴截面的圆锥中挖去了一个以 第 8 页（共 17 页） 为轴截面的小圆锥后剩余的部分 ， 20， ， 1， = ， =， V=， 故选： A 【点评】 本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键 8直线 3x+4y 13=0 与圆 x2+4x 6y+12=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D无法判定 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 直线与圆 【分析】 根据题意求出圆的标准方程，进而得到圆的圆心与半径，再结合点到直线的距离与半径的大小，即可得到答案 【解答】 解：由题意可得：圆 x2+4x 6y+12=0， 所以圆的标准方程为：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1， 所以圆的圆心为（ 2， 3），半径为 1， 所以圆心到直线 3x+4y 13=0 的距离为： d= =1=r， 所以直线 3x+4y 12=0 与圆 x2+4x 6y+12=0 相切 故选： C 【点评】 解决此类问题的关键是熟练掌握圆的方程，以及熟练掌握由点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系 第 9 页（共 17 页） 9圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点（ 1， 0）的圆的方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y 1） 2=1 D（ x+1） 2+（ y+1）2=1 【考点】 圆的标准方程 【专题】 直线与圆 【分析】 由题意设圆心 C（ a， a），则 a=1，半径 r=1，由此能求出圆的方程 【解答】 解：由题意设圆心 C（ a， a）， 则 a=1，半径 r=1， 圆的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 故选： B 【点评】 本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用 10正方体 面角 D 的正切值为（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 二面角的平面角及求法 【专题】 计算题；空间角 【分析】 连接 O，则 据正方体 的性质， 出 二面角 D 的平面角，在直角三角形 求解即可 【解答】 解：连接 O，则 根据正方体的性质， 面 O=D， 面 二面角 D 的平面角 设正方体棱长为 1， 在直角三角形 ， ， ， = 故选 D 第 10 页（共 17 页） 【点评】 本题考查二面角大小求解，将空间角转化为平面角是关键考查空间想象、转化、计算的能力 二、填空题：每小题 5分，共 25分 11圆 x2+x+y 1=0 的圆心坐标是 （ ， ） 【考点】 圆的一般方程 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 把圆的一般方程化为标准方程，圆的标准方程的特征，求出圆心的坐标 【解答】 解：圆 x2+x+y 1=0，即 （ x ） 2+（ y+ ） 2 = ，故该圆的圆心为（ ， ）， 故答案为：（ ， ） 【点评】 本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程，圆的标准方程的特征，属于基础题 12有一个几何体的三视图及其尺寸（单位 则该几何体的表面积为： 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是 5面直径是 6此即可计算出答案 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线 长是 5面直径是 6 第 11 页（共 17 页） 该三棱锥的表面积 S=32+ =24 故答案为 24 【点评】 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键 13两圆 x2+ 和 x2+8x+6y+9=0 的位置关系是 相交 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【专题】 计算题；直线与圆 【分析】 求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出两个圆心之间的距离，再比较圆心距与两圆的半径之和、半径之差的大小关系，可得两圆的位置关系 【 解答】 解： 圆 x2+8x+6y+9=0 的标准方程为（ x 4） 2+（ y+3） 2=16， 圆 x2+8x+6y+9=0 的圆心是 C（ 4， 3），半径 =4 又 圆 x2+ 的圆心是 O（ 0， 0），半径 | =5， |1， r1+， | | r1+得两圆相交 故答案为：相交 【点评】 本题给出两圆的方程，判断两圆的位置关系着重考查了圆的标准方程和圆圆与圆的位置关系等知识，属于基 础题 14直线 l 与平面 成角为 30， l=A， m， Am 则 m 与 l 所成角的取值范围是 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 规律型 【分析】 根据直线 l 与平面 所成角是直线 l 与平面 内所有直线成的角中最小的一个，直线 l 与平面 所成角的范围，即可求出结果 【解答】 解：由于直线 l 与平面 所成角为 30，直线 l 与平面 所成角是直线 l 与平面 内所有直线成的角中最小的一个， 而异面直线所成角的范围是（ 0， ，直线 m 在平面 内，且与直线 l 异面， 故 m 与 l 所成角的取值范围是 第 12 页（共 17 页） 故答案为： 【点评】 本题考查直线和平面所成的角的定义和范围，判断直线与平面所成角是直线与平面 内所有直线成的角中最小的一个，是解题的关键 15直线 x 2y 3=0 与圆（ x 2） 2+（ y+3） 2=9 交于 E， F 两点，则 O 为坐标原点）的面积等于 【考点】 直线与圆相交的性质 【专题】 数形结合 【分析】 先求出圆心 2， 3）到直线的距离，由弦长公式求得 |再利用点到直线的距离公式求出O 到 l 的距离，代入三角形的面积公式进行运算 【解答】 解析：如图：圆心 2， 3）到直线 l： x 2y 3=0 的距离为 ， 则由弦长公式可得 |2 =4， O 到 l 的距离 d= = ， 故 S d| ， 故答案为： 【点评】 本题考查点到直线的距离公式以及弦长公式的应用，求出弦长 | O 到 l 的距离 d，是解题的关键 三、解答题：每小题 9分，共 45分 16已知三角形 三个顶点是 A（ 4， 0）， B（ 6， 7）， C（ 0， 8） （ 1）求 上的高所在直线的方程； （ 2）求 上的中线所在直线的方程 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程 【专题】 直线与圆 【分析】 （ 1）根据 B 与 C 的坐标求出直线 斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为 1，求出 上的高所在直线的斜率，然后由 A 的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可； 第 13 页（共 17 页） （ 2）由 B 和 C 的坐标，利用中点坐标公式求出线段 中点坐标，然后利用中点坐标和 A 的坐标写出直线的两点式方程即可 【解答】 解：（ 1） 所 在直线的斜率为 则 上的高所在直线的斜率为 由直线的点斜式方程可知直线 方程为： y 0=6（ x 4） 化简得： y=6x 24 （ 2）设 中点 E（ 由中点坐标公式得 ， 即点 由直线的两点式方程可知直线 方程为： 化简得： 【点评】 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题 17在长方体 知 C=4， （ 1）求 成的角的余弦； （ 2）求异面直线 成角的余弦值 【考点】 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 【专题】 计算题；转化思想；分割补形法 ；空间角 【分析】 （ 1）连接 平面 到 平面 成的角，分别利用勾股定理求出 可求出 成的角的余弦； 第 14 页（共 17 页） （ 2）连接 到 异面直线 成的角，在 ，利用余弦定理求出 值即可 【解答】 解：（ 1）连接 平面 成的角， 在 ， B=4， 根据勾股定理得： =4 ， 在 ， 根据勾股定理得： = ， 则 = = ； （ 2）连接 异面直线 成的角， 在 ， 1D=5， ， 则 = = 【点评】 此题考查了直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，找出直线与平面所成的角 、异面直线所成的角是解本题的关键 18已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x 3y=0 上，且被直线 y=x 截得的弦长为 ，求圆 C 的方程 【考点】 圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【专题】 计算题 【分析】 由圆心在直线 x 3y=0 上，设出圆心坐标，再根据圆与 y 轴相切，得到圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径 r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 y=x 的距离 d，由弦长的一半 ，圆的半径 r 及表示出的 d 第 15 页（共 17 页） 利用勾股定理列出关于 t 的方程，求出方程的解得到 t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可 【解答】 解：设圆心为（ 3t， t），半径为 r=|3t|， 则圆心到直线 y=x 的距离 d= =| t|， 由勾股定理及垂径定理得：（ ） 2= 92， 解得： t=1， 圆心坐标为（ 3， 1），半 径为 3；圆心坐标为（ 3， 1），半径为 3， 则（ x 3） 2+（ y 1） 2=9 或（ x+3） 2+（ y+1） 2=9 【点评】 此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键 19如图：四棱锥 P 面为一直角梯形， 平面 C 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证： 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定； 直线与平面平行的判定 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 （ 1）由题意可得： 合 线面垂直的判定定理可得 平面 利用面面垂直的判定定理得到面面垂直 （ 2）取 中点为