四川省宜宾市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若等差数列 通项公式是 n+5，则此数列（ ） A是公差为 5 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为 2 的等差数列 D是公差为 7 的等差数列 2已知 =（ 3， 1），向量 =（ 2， ），若 ，则实数 的值为（ ） A B C D 3若 a， b 是任意实数，且 a b，则（ ） A B 1 C（ ） a （ ） b D a b） 0 4 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c= ， b= ， B=120，则 a 等于（ ） A B C 2 D 5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ） A 80 B 40 C D 6已知向量 =（ x， 2）， =（ 1， y），其中 x 0， y 0，若 =1，则 + 的最小值为（ ） A 6 B 8 C 9 D 8 7在正方体 ， E， F 分别是线段 的不与端点重合的动点，如果 1F，有下面四个结论： 面； 平面 中一定正确的有（ ） A B C D 8如图所示，矩形 OABC是水平放置一个平面图形的直观图，其中 OA=6， OC=2，则原图形是（ ） 第 2 页（共 17 页） A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 9 各项均不为 0 的等差数列， 等比数列，若 a +，且 b7= ） A 16 B 8 C 4 D 2 10 ， a， b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，如果 a， b、 c 成等差数列， B=30， 面积为 ，那么 b 等于（ ） A B C D 11在边长为 1 的菱形 ， 0， E 是 中点，则 =（ ） A B C D 12设正实数 m， n， t 满足 3t=0，则当 取得最小值时， m+2n t 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13在等比数列 ， ， ，则数列 公比为 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为 15若 O 为 在平面内 一点，且满足 ，则 形状为 16已知数列 满足 ， 0， ，且 = ，= ，则 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 ， 是夹角为 60的单位向量，且 ， （ 1）求 ； （ 2）求 的夹角 18一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行（ 2 2） 达海岛 B，然后从 北偏东 15的方向航行 4达海岛 C （ 1）求 长； （ 2）如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求 大小？ 第 3 页（共 17 页） 19在 ，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 a、 b、 c 成等比数列，且 （ ）求 + 的值 ； （ ）设 = ，求 a、 c 的值 20如图，在 ， ，斜边 ， 过 直线 二面角 B C 是直二面角动点 D 在斜边 （ ）求证：平面 平面 （ ）当 D 为 中点时，求异面直线 成角的 正切值； （ ）求 平面 成角最大时该角的正切值 21已知定义在 R 上的函数 f（ x） = 3 a） x+2（ 1 a）（其中 a R） （ ）解关于 x 的不等式 f（ x） 0； （ ）若不等式 f（ x） x 3 对任意 x 2 恒成立，求 a 的取值范围 22已知数列 足条件 ， 1，前 n 项和为 列 n 项和为 足条件 2 （ 1）求 （ 2）求数列 an前 n 项和 （ 3）令 ，若不等式 2+任意 x R 和任意的正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2015年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若等差数列 通项公式是 n+5，则此数列（ ） A是公差为 5 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为 2 的等差数列 D是公差为 7 的等差数列 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意 n+5，再化简当 n 2 时 1 后，由等差数列的定义即可得答案 【解答】 解：因为 n+5， 所以当 n 2 时， 1=2n+5 2（ n 1） +5=2， 所以数列 以 2 为公差的等差数列， 故选 C 2已知 =（ 3， 1），向量 =（ 2， ），若 ，则实数 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出 的值 【解答】 解： =（ 3， 1），向量 =（ 2， ），且 ， 3 2 1=0， 解得 = 故选： B 3若 a， b 是任意实数，且 a b，则（ ） A B 1 C（ ） a （ ） b D a b） 0 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 对于 A， B， D 举反例可以判断，对于 C，根据指数函数的单调性即可判断 【解答】 解：若 a， b 均小于 0，则 A 不成立， 若 a 0，由 a b，则得到 1，故 B 不正确， 根据指数函数的性质可知， y= 为减函数，故 C 正确， 当 0 a b 1 时， D 不成立， 故选： C 4 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c= ， b= ， B=120，则 a 等于（ ） A B C 2 D 第 5 页（共 17 页） 【考点 】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由 b， c 以及 值，利用余弦定理即可求出 a 的值 【解答】 解： c= ， b= ， ， 由余弦定理得： b2=a2+2 6=+ a， 解得： a= 故选 A 5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ） A 80 B 40 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥： 平面 ， ， ，据此可计算出该几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥： 平面 ， ， 从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为 4 和 5 的直角三角形，高为 4， 体积为 V= 故选 D 6已知向量 =（ x， 2）， =（ 1， y），其中 x 0， y 0，若 =1，则 + 的最小值为（ ） A 6 B 8 C 9 D 8 【考点】 基本不等式；平面向量数量积的运算 第 6 页（共 17 页） 【分析】 由 =1，可得 x+2y=1，再利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 向量 =（ x， 2）， =（ 1， y）， =x+2y=1， x 0， y 0， + =（ + ）（ x+2y） =5+ + 5+4=9， 当且仅当 = 时取等号， + 的最小值为 9， 故选： C 7在正方体 ， E， F 分别是线段 的不与端点重合的动点，如果 1F，有下面四个结论： 面； 平面 中一定正确的有（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 作出正方体 用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断 【解答】 解：如图所示由于 平面 面 则 以 正确； 当 E， F 分别不是线段 中点时， 面， 所以 不正确； 当 E， F 分别是线段 中点时， 则 以 不正确； 由于平面 平面 面 所以 平面 以 正确 故选 D 8如图所示，矩形 OABC是水平放置一个平面图形的直观图，其中 OA=6， OC=2，则原图形是（ ） 第 7 页（共 17 页） A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 【考点】 平面图形的直观图 【分析】 根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度减半可判断原图形的形状 【解答】 解： 矩形 OABC是一个平面图形的直观图，其中 OA=6， OC=2， 又 DOC=45， OD= ， 在直观图中 为 ， ， =6 原图形是菱形 故选 C 9 各项均不为 0 的等差数列， 等比数列，若 a +，且 b7= ） A 16 B 8 C 4 D 2 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由等差数列的通项公式得到 ，从而 b7=，由此利用等比数列通项公式能求出 【解答】 解： 各项均不为 0 的等差数列， a +， ， 0， b7=， 等比数列， =22=4 故选： C 10 ， a， b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，如果 a， b、 c 成等差数列， B=30， 面积为 ，那么 b 等于（ ） A B C D 【考点】 解三角形 【分析】 先根据等差中项的性质可求得 2b=a+c，两边平方求得 a， b 和 c 的关系式，利用三角形面积公式求得 值，进而把 a， b 和 c 的关系式代入余弦定理求得 b 的值 第 8 页（共 17 页） 【解答】 解： a， b、 c 成等差数列， 2b=a+c，得 a2+2 又 面积为 ， B=30， 故由 ， 得 a2+12 由余弦定理，得 ， 解得 又 b 为边长， 故选 B 11在边长为 1 的菱形 ， 0， E 是 中点，则 =（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得 ，且 = = + ，代入要求的式子运算求得结果 【解答】 解：在边长为 1 的菱形 ， 0， E 是 中点， 则 等边三角形， ，且 = = + =（ ） （ ） = + + =1+ 1 1 = ， 故选 D 12设正实数 m， n， t 满足 3t=0，则当 取得最小值时， m+2n t 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 基本不等式 【分析】 求得 t=3 m， n， t 0），代入 ，整理后运用基本不等式，可得 m=2n，取得最小值，此时 t=入 m+2n t，运用二次函数的最值求法，可得最大值 【解答】 解： 3t=0，可得 t=3 m， n， t 0）， 即有 = = + 3 2 3=1， 第 9 页（共 17 页） 当且仅当 m=2n 时，取得最小值 1 此时 t= 则 m+2n t=4n 2 2（ n 1） 2+2， 当 n=1 时， m+2n t 取得最大值 2 故选： B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13在等比数列 ， ， ，则数列 公比为 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的性质求解 【解答】 解： 在等比数列 ， ， ， = = ， q= 故答案为： 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意画出平面区域，根据线性规划解答 【解答】 解：作出平面区域如图： 则当过 A（ 3， 0）时，目标函数 z=x+y 有最大值 3 故答案为： 3 第 10 页（共 17 页） 15若 O 为 在平面内一点，且满足 ，则 形状为 等腰三角形 【考点】 三角形的形状判断 【分析】 利用向量的运算法则将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状 【解答】 解： = = = =0， ， 等腰三角形 故答案为：等腰三角形 16已知数列 满足 ， 0， ，且 = ，= ，则 2（ ） n 1+8 【考点】 数列递推式 【分析】 由条件可知 ， = +4， = +4，两式相减求得 = （ cn 4， 以 4 为首项，以 为公比的等比数列，求得通项公式；两式相加，利用数学归纳法证明： cn+6，将 6 入通项公式，即可求得 【解答】 解：由 ， =， = = +4， = = +4， = （ 10= 4， 以 4 为首项，以 为公比的等比数列， 4） （ ） n 1， += （ cn+8， 第 11 页（共 17 页） c1+6， c2+6， c3+6， 猜想： cn+6， 用数学归纳法证明： 当 n=1 时， c1+6，结论成立， 假设当 n=k 时结论成立，即 ck+6， 那么当 n=k+1 时， += （ ck+8=16，即当 n=k+1 时结论也成立， 由 得：当 n=N*时， cn+6 恒成立， 将 6 入 4） （ ） n 1， 解得： （ ） n 1+8， 故答案为： （ ） n 1+8 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 ， 是夹角为 60的单位向量，且 ， （ 1）求 ； （ 2）求 的夹角 【考点】 平面 向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角 【分析】 （ 1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可 （ 2）利用向量数量积公式变形，求出 的夹角余弦值，再求出夹角 【解答】 解：（ 1）求 = = =6+1 1 2= （ 2） = = = 同样地求得 = 所以 = = = ， 又 0 ，所以 = 18一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行（ 2 2） 达海岛 B，然后从 北偏东 15的方向航行 4达海岛 C （ 1）求 长； （ 2）如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求 大小？ 第 12 页（共 17 页） 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 由题意，结合图形知，在 ， 20， 2， ，故可由余弦定理求出边 长度，由于此时在 ， 20，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出 正弦值，即可得出结论 【解答】 解：由题意，在 ， 80 75+15=120， 2， ， 根据余弦定理得 2 2 2） 2+42+（ 2 2） 4=24， 所以 根据正弦定理得， = ， 5 19在 ，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 a、 b、 c 成等比数列，且 （ ）求 + 的值； （ ）设 = ，求 a、 c 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 （ ）由 ， B （ 0， ）可得 由 a、 b、 c 成等比数列，可得 b2=利用正弦定理可得 是可得 + = = ； （ ）设 = ，则 ，可得 再利用余弦定理可得： b2=a2+2立即可得出 【解答】 解：（ ）由 ， B （ 0， ） = a、 b、 c 成等比数列， b2= 由正弦定理可得 + = = = = = ； （ ）设 = ，则 ， ，化为 第 13 页（共 17 页） 由余弦 定理可得： 2=ac=b2=a2+2，化为 a2+ 联立 ，解得 或 即 a=2， c=1，或 a=1， c=2 20如图，在 ， ，斜边 ， 过 直线 旋转得到，且二面角 B C 是直二面角动点 D 在斜边 （ ）求证：平面 平面 （ ）当 D 为 中点时，求异面直线 成角的正切值； （ ）求 平面 成角最大时该角的正切值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）欲证平面 平面 证直线与平面垂直，由题意可得： O 以 平面 一步易得平面 平面 ）求异面直线 所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由 D 为 中点，故平移时很容易应联想到中位线，作 足为 E，连接 以 O 与 成的角 （ ）由第（ ）问可知： 平面 以 平面 成的角， = ，当 小时， 大 【解答】 （ I）证明：由题意， 二面角 B C 是 直二面角， 又 二面角 B C 是直二面角， 又 O=O， 平面 又 面 平面 平面 （ ：作 足为 E，连接 图），则 异面直线 成的角 第 14 页（共 17 页） 在 ， O=2， ， 又 =2 在 ， = = 异面直线 成角的余弦值大小为 （ 由（ I）知， 平面 平面 成的角 且 = 当 小时， 大，这时， 足为 D， = ， ， 平面 成角的最大时的正切值为 21已知定义在 R 上的函数 f（ x） = 3 a） x+2（ 1 a）（其中 a R） （ ）解关于 x 的不等式 f（ x） 0； （ ）若不等式 f（ x） x 3 对任意 x 2 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质 【分析】 （ I）比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可； （ 用基本不等式求出函数的最大值，从而求出 a 的范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =（ x 2） x（ 1 a） ， f（ x） 0（ x 2） x（ 1 a） 0， 当 a 1 时，不等式的解集为（ ， 2） （ 1 a， +）； 当 a= 1 时，不等式的解集为（ ， 2） （ 2， +）； 当 a 1 时，不等式的解集为（ ， 1 a） （ 2， +） （ ）不等式 f（ x） x 3，即 恒成立， 第