2018届高考理科数学热点题型：函数与导数（有答案和解释）

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/92018届高考理科数学热点题型函数与导数（有答案和解释）函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型1讨论函数的单调性、极值、最值，2利用单调性、极值、最值求参数的取值范围【例1】已知函数FXLNXA1X1讨论FX的单调性；2当FX有最大值，且最大值大于2A2时，求实数A的取值范围解1FX的定义域为0，FX1XA若A0，则FX0，所以FX在0，上单调递增若A0，则当X0，1A时，FX0；当X1A，时，FX0，所以FX在0，1A上单调递增，在1A，上单调递减综上，知当A0时，FX在0，上单调递增；当A0时，FX在0，1A上单调递增，在1A，上单调递减2由1知，当A0时，FX在0，上无最大值；当A0时，FX在X1A处取得最大值，最大值为精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/9F1ALN1AA11ALNAA1因此F1A2A2等价于LNAA10令GALNAA1，则GA在0，上单调递增，G10于是，当0A1时，GA0；当A1时，GA0因此，实数A的取值范围是0，1【类题通法】1研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性2由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解LNAA10，则需要构造函数来解【对点训练】已知AR，函数FXX2AXEXXR，E为自然对数的底数1当A2时，求函数FX的单调递增区间；2若函数FX在1，1上单调递增，求实数A的取值范围解1当A2时，FXX22XEX，所以FX2X2EXX22XEX精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/9X22EX令FX0，即X22EX0，因为EX0，所以X220，解得2X2所以函数FX的单调递增区间是2，22因为函数FX在1，1上单调递增，所以FX0对X1，1都成立，因为FX2XAEXX2AXEXX2A2XAEX，所以X2A2XAEX0对X1，1都成立因为EX0，所以X2A2XA0对X1，1都成立，即AX22XX1（X1）21X1X11X1对X1，1都成立令YX11X1，则Y11（X1）20所以YX11X1在1，1上单调递增，所以Y1111132即A32因此实数A的取值范围为A32热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类1讨论函数零点或方程根的个数；2由函数零点或方程的根求参数的取值范围精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/9【例2】设函数FXLNXMX，MR1当MEE为自然对数的底数时，求FX的极小值；2讨论函数GXFXX3零点的个数解1由题设，当ME时，FXLNXEX，定义域为0，则FXXEX2，由FX0，得XE当X0，E，FX0，FX在0，E上单调递减，当XE，FX0，FX在E，上单调递增，当XE时，FX取得极小值FELNEEE2，FX的极小值为22由题设GXFXX31XMX2X3X0，令GX0，得M13X3XX0设X13X3XX0，则XX21X1X1，当X0，1时，X0，X在0，1上单调递增；当X1，时，X0，X在1，上单调递减X1是X的唯一极值点，且是极大值点，因此X1也是X的最大值点X的最大值为123精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/9又00，结合YX的图象如图，可知当M23时，函数GX无零点；当M23时，函数GX有且只有一个零点；当0M23时，函数GX有两个零点；当M0时，函数GX有且只有一个零点综上所述，当M23时，函数GX无零点；当M23或M0时，函数GX有且只有一个零点；当0M23时，函数GX有两个零点【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法1运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；2将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决【对点训练】函数FXAX2XEX，其中E是自然对数的底数，AR1当A0时，解不等式FX0；2当A0时，求整数T的所有值，使方程FXX2在T，T1上有解解1因为EX0，AX2XEX0精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/9AX2X0又因为A0，所以不等式化为XX1A0所以不等式FX0的解集为1A，02当A0时，方程即为XEXX2，由于EX0，所以X0不是方程的解，所以原方程等价于EX2X10令HXEX2X1，因为HXEX2X20对于X，00，恒成立，所以HX在，0和0，内是单调递增函数，又H1E30，H2E220，H3E3130，H2E20，所以方程FXX2有且只有两个实数根且分别在区间1，2和3，2上，所以整数T的所有值为3，1热点三利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度1证明简单的不等式；2由不等式恒成立求参数范围问题；3不等式恒成立、能成立问题【例3】设函数FXE2XALNX1讨论FX的导函数FX零点的个数；精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/92证明当A0时，FX2AALN2A1解FX的定义域为0，FX2E2XAXX0当A0时，FX0，FX没有零点当A0时，设UXE2X，VXAX，因为UXE2X在0，上单调递增，VXAX在0，上单调递增，所以FX在0，上单调递增又FA0，当B满足0BA4且B14时，FB0讨论A1或A1来检验，故当A0时，FX存在唯一零点2证明由1，可设FX在0，上的唯一零点为X0，当X0，X0时，FX0；当XX0，时，FX0故FX在0，X0上单调递减，在X0，上单调递增，所以当XX0时，FX取得最小值，最小值为FX0由于2E2X0AX00，所以FX0A2X02AX0ALN2A2AALN2A故当A0时，FX2AALN2A【类题通法】1讨论零点个数的答题模板第一步求函数的定义域；第二步分类讨论函数的单调性、极值；精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/9第三步根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数2证明不等式的答题模板第一步根据不等式合理构造函数；第二步求函数的最值；第三步根据最值证明不等式【对点训练】已知函数FXAXLNXAR1若A2，求曲线YFX在X1处的切线方程；2求FX的单调区间；3设GXX22X2，若对任意X10，均存在X20，1使得FX1GX2，求A的取值范围解1由已知得FX21XX0，所以F1213，所以斜率K3又切点为1，2，所以切线方程为Y23X1，即3XY10，故曲线YFX在X1处的切线方程为3XY102FXA1XAX1XX0，当A0时，由于X0，故AX10，FX0，所以FX的单调增区间为0，当A0时，由FX0，得X1A在区间0，1A上，FX0，在区间1A，上，FX0，所以函数FX的单调递增区间为0，1A，单调递减区间为1A，精品文档2016全新精品资料