[农学]医用物理学12章量子物理基础

第十二章 量子物理基础,黑体辐射光电效应康普顿效应波粒二象性不确定关系薛定谔方程薛定谔方程的应用氢原子中的电子电子自旋,12-1 黑体辐射 问题的提出：光的本质是什么？牛顿(16421727)提出光具有粒子性,杨(17731829)通过光的双缝干涉实验证实光具有波动性,但光的波动性无法解释黑体辐射、光电效应等实验规律.一、基本概念 热辐射(thermal radiation)热量以电磁波的形式从一个物体传给其他物体的过程.实验证明任何物体只要T 0 K,都要以电磁波形式向外辐射能量.同时吸收其他物体发出的能量.,温度越高,辐射的总能量越多;同时,辐射能按波长的分布随温度的变化而改变.,平衡热辐射同一时间内物体辐射出的能量与吸收的能量相同.这时物体的温度不变.,不同温度的白炽灯灯丝及其辐射的能谱.左图灯丝温度较低,辐射的能量集中在可见光谱的长波段,灯丝看起来是红色的;右图灯丝温度较高,辐射的能量包括全部可见光谱,灯丝发出“白炽”光.,辐射出射度(radiant exitance)若物体温度为T 时,单位时间内从物体单位表面积辐射出的波长在 + d 间隔内的辐射能为dE(, T),则物体单色辐射出射度(单色辐出度) M (, T) 定义为单位时间内从物体单位表面积辐射出的包括各种波长的总辐射能称为总辐射出射度.,吸收因数(absorption factor)物体吸收的辐射能与入射到物体的总辐射能的比值,用 (, T)表示.M (, T)和 (, T)由物体性质及表面情况决定. 黑体(black body)在任何温度下都能把入射其上的所有波长的辐射能全部吸收的物体.即0 (, T) 1,与 、T无关. 基尔霍夫辐射定律：热辐射问题转化为黑体辐射问题.,黑体模型在由不透明材料制成的任意形状的封闭空腔的表面上开一小孔,若入射到小孔的光强为1,空腔内部吸收因数为,则光线在空腔内一次反射后的光强为1- ;二次反射后的光强为 (1- )2 ; ; n次反射后光线从小孔射出,其光强为(1- )n A时,光电子才能从金属表面逸出.由此解释了光电效应全部实验结果.,爱因斯坦(A. Einstein，18791955)美籍德国人,20世纪最伟大的物理学家.1921年因发现光电效应公式获诺贝尔物理学奖.,例 使锂产生光电效应的最大波长0为520nm.若以波长为=0/2的光照射在锂金属上,它所放出的光电子的最大动能是多少?解：截止频率0为,由此可求出锂金属是脱出功A为,以波长为260 nm的光照射时放出的光电子的最大动能为,或,三、光电效应的应用利用光电效应制成的光电池可以将光信号转换成电信号,被用于许多领域.例如: 光电池用于车库门的自动开启. 光电池在医学中的应用,细菌对光的吸收导致光电池接收到的光子数目减少,光电流降低. 电影胶片上的光学声轨与条形码类似,但更详细.声轨调制与所记录声音频率相同的光的强度.由光电池转成电流,经放大后驱动扬声器发声.,12-3 康普顿效应,康普顿效应(Compton effect)证实光子不仅具有能量E=h,也具有动量p = h/ .一、实验规律 波长为0的X射线经物质散射时,在散射线中除有0的射线外,还有波长为(0)的射线. 波长差 = -0 随散射角的增大而增大.,康普顿(A. H. Compton, 18921962)美国物理学家.1937年因发现康普顿效应获诺贝尔物理学奖., 与散射物质无关;波长为0的谱线强度随散射物质原子序数的增加而增加,波长为的谱线强度随原子序数的增加而减小.经典理论无法解释康普顿效应.二、理论解释根据光子理论,康普顿效应可看作X射线中的光子与散射物质中的原子核和静止的自由电子作弹性碰撞. 光子与质量很大的原子核碰撞后,只改变运动方向,不损失能量,波长仍为0. 光子与电子碰撞时,将部分能量传递给电子,使散射光子能量减少,波长增加为 .,上式与实验结果完全符合.而且随着散射物质原子序数的增大,被原子核束缚很紧的内层电子数增加,光子与这些电子碰撞相当于和原子核碰撞.因此波长为0的谱线强度增加,波长为的谱线强度减小.,根据光子与电子碰撞前后能量守恒、动量守恒,可以计算散射光子波长及其与入射光子的波长差 .,我国物理学家吴有训作为康普顿的得力助手,参加了研究X射线散射的开创性工作.吴有训测试了15种元素对X射线的散射曲线,证实了康普顿效应的普遍性.吴有训还是著名的教育家,他的学生有杨振宁及“两弹一星功勋奖章”获得者:钱三强、王淦昌、郭永怀、赵九章、朱光亚、彭桓武、王大珩、邓稼先等人.,吴有训(18971977) 闻名国际的中国物理学家、教育家,是中国近代物理学的先驱者.,12-4 波粒二象性,实验表明光同时具有波动性和粒子性,即波粒二象性(wave - particle dualism).粒子性和波动性通过E=h 和p = h/ 联系起来.1924年德布罗意提出既然波动具有粒子性,实物粒子也应具有波动性.能量为E、动量为p的粒子的频率和波长为,德布罗意(L. V. de Broglie, 18921987) 法国物理学家.1929年因发现电子波动性获诺贝尔物理学奖.,1927年戴维孙、革末和汤姆孙获得电子在晶体上的衍射图样,实验证实电子具有波动性.,戴维孙(C. J. Davisson, 18811958,左)美国物理学家,1937年因用晶体对电子衍射所作出的实验发现获诺贝尔物理学奖.革末(L. H. Germer, 18961971,右)美国物理学家.,电子束在单晶上的衍射图样.,汤姆孙(G. P. Thomson, 18921975)英国物理学家,1937年因用晶体对电子衍射所作出的实验发现获诺贝尔物理学奖.他是发现电子的J. J. 汤姆孙(18561940, 1906年诺贝尔物理学奖获得者)的独生子.,电子束在多晶上的衍射图样,随后,实验陆续证实中子、质子、原子甚至分子等都具有波动性.即一切微观粒子都具有波动性. 描写微观粒子的波称为物质波(matter wave),它既不是机械波,也不是电磁波,而是一种概率波.我们无法确定某一时刻粒子出现的位置，只能知道某一时刻粒子在空间各处出现的概率. 微观粒子的波动性不是大量粒子的集体行为.微观粒子的波动性与粒子性一样,是每个粒子自身的固有属性.粒子的干涉是自身的干涉,而不是不同粒子之间的干涉.,电子显微镜由于电子的波长(0.1 0.01nm) 远小于可见光的波长,因此电子显微镜的分辨能力可达0.1nm.,扫描电子显微镜 透射电子显微镜,鲁斯卡(E. Ruska, 19061988)德国物理学家.1986年因设计了第一台电子显微镜获诺贝尔物理学奖.,1931年鲁斯卡和克诺尔(M. Knoll, 18971969)研制了第一台电子显微镜.,电子显微镜下的红细胞,HIV病毒颗粒的电镜照片,12-5 不确定关系(uncertainty relation),微观粒子的波粒二象性表明微观粒子具有与经典粒子完全不同的属性. 物质波的一个实例粒子最简单的运动形式是沿x方向以确定的动量p和能量E作匀速直线运动.其运动相当于一个频率 和波长 均取定值的平面波.,海森伯(W. Heisenberg, 19011976)德国物理学家.1932年因创立了量子力学获诺贝尔物理学奖.,沿x方向传播的平面波可以表示为,写成复数形式为,根据德布罗意关系:p=h/ ,E=h ,可以写出以动量p,能量E沿x方向作匀速直线运动的粒子的波函数为,其中 = h/2 ,称为约化普朗克常量.由于上式表示的平面波是无限长的,即它代表的粒子有确定的能量和动量,但分布于整个空间.或者说以它为波函数所描写的粒子处于空间坐标完全不确定的状态.这与经典粒子可以同时具有确定的空间位置和动量(速度)完全不同. 描述局限在空间一定范围内的粒子可以用一个有限长的波列(称为波包)表示.要得到波包最简单的方法是用振动方向相同、振幅相同,而频率不同的两列正弦波相干叠加.,其中一个拍类似于一个波包.许多不同频率的正弦波叠加可以得到一个孤立的波包.,由于拍频为,因此观察时间t 必须大于 1/ 才能看到一个拍.即或设波速为u,则在时间t 内波所走过的路程为x = u t .代入上式,有又因 = u / ,则代入上式得,这表明为了得到一个孤立的波包,即位置很确定的波包,必须用很多个波去叠加,x越小, 就越大.,利用德布罗意关系=h/p,考虑到粒子沿x方向运动,有代入 得或,这就是粒子位置坐标与动量的不确定关系.它表明当粒子被局限在x方向上一个有限范围x内时,它所相应的动量分量px必然有一个不确定的数值px范围,两者的乘积满足x px h.即粒子不能同时具有确定的坐标位置及其相应的动量.如果粒子的位置完全确定(x=0),那么粒子可以具有的动量px的数值是完全不确定(px )的;当粒子处于一个px数值完全确定的状态(px=0)时,粒子在x方向的位置是完全不确定的(x ),我们无法在x 方向把粒子固定住.,对于其他坐标分量,类似地有 y py h z pz h 由 = E/h ,可得 = E/h 代入t 1,得到 E t h 这是能量与时间的不确定关系.它表明若一粒子在能量状态E只能停留t 时间,那么,在这段时间内粒子的能量状态并非完全确定,而是有一个弥散E h /t ;只有当粒子的停留时间为无限长时(稳态),它的能量状态才是完全确定的(E=0) .,例 一个电子及一个质量为0.01kg的子弹均沿x 方向运动,速度都是vx=500m/s,已知速度的精确度为0.01%.求电子及子弹坐标所能达到的最大准确度.解：,将me = 9.110 -31 kg 及m子弹= 0.01kg 代入,得xe 14.510 -3 m; x子弹 1.3210 -30 m.,以上对不确定关系的推导比较粗糙.更严格的证明给出:,不确定关系与粒子坐标和动量按概率分布有密切关系,存在概率分布表明这些量是不确定的.微观粒子固有的波粒二象性必然导致粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值.因此也就不可能确切地用粒子的坐标和动量描述粒子的运动状态,粒子运动轨道的概念在量子力学中也是不存在的.,12-6 薛定谔方程,微观粒子具有波粒二象性,其运动状态可以用波函数(wave function)描述.波函数满足的基本规律是薛定谔方程.一、波函数的统计解释 玻恩1926年提出了粒子波函数的统计诠释:波函数模的平方 (r, t) 2等于在t 时刻该粒子在r处的单位体积中出现的概率.,玻恩(M. Born,18821970)德国物理学家.1954年因对波函数所作的统计解释获诺贝尔物理学奖.,即描写微观粒子运动状态的物质波与经典的机械波和电磁波不同,其在一般情况下是不可测量的,可以测量的只是2. 由于2表示粒子出现的概率,与C (C为常数)具有相同的概率分布,因此它们所描述的粒子状态完全相同. 根据波函数的统计诠释,就要求描写粒子的波函数必须是单值、有限和连续(包括其一阶导数连续)的函数.此外,任何时刻,在整个空间发现粒子的概率应为1,即称为波函数的归一化条件.,上述条件为波函数必须满足的标准条件.二、定态薛定谔方程 某些情况下,粒子的波函数可以写成位置和时间两个函数的乘积.如自由粒子的波函数,薛定谔(E. Schrdinger, 18871961)奥地利物理学家.1933年因发现了原子理论(波动力学)的新形式获诺贝尔物理学奖.,除自由粒子外,若波函数 (r, t) 可以写为,则即粒子在空间出现的概率密度不随时间变化.我们将这时粒子所处的状态称为定态(stationary state). (r) 称为定态波函数. 对于定态,如果能得到粒子的定态波函数 (r),再乘上时间因子,就可以得到粒子的整个波函数 (r, t) .,为找到定态波函数满足的方程,将自由粒子的定态波函数对x取二阶导数,可得,在v U0,粒子将越过势垒.,在E U0情况下,分别写出三个区域的定态薛定谔方程,令,解得上述方程在三个区域的通解为,A0、A、B、C、D为常数,可由波函数在x=0, x=a 两点的连续性条件和归一化要求确定.,1中的两项分别表示入射波和 x=0处的反射波;由于U0是有限的,因此20.若在 x=a 处,2 没有衰减到0,粒子将穿过势垒;3只有透射波,而没有反射波.当粒子能量E U0,计算表明A 0,在x 0区域中仍然有反射波存在,即粒子有一定的概率被反射回去.,扫描隧穿显微镜(Scanning Tunnelling Microscope, STM),1981年德国物理学家宾尼(G. Binnig,1947 )和瑞士物理学家罗雷尔(H. Rohrer,1933 )利用隧道效应研制成扫描隧穿显微镜.并因此获得1986年诺贝尔物理学奖.,DNA的STM图像及三维图像,红细胞的STM扫描像,12-8 氢原子中的电子氢原子是量子力学解决的第一个实际问题,并由此证明了量子力学的正确性.氢原子中的电子在原子核的电场中运动时,其势能为,势能与时间无关,氢原子中的电子处于定态.解定态薛定谔方程知,对于任何E0的能量值E，都有满足标准条件的解.即电子能量可以连续取值,电子处于电离状态.,一、能量量子化 对于E 0 的束缚态,只有当E为某些特定值时,才有满足标准条件的解.这时能量本征值是离散的:,n为主量子数.氢原子能量只能取离散的值,这就是能量的量子化.上式中的每一个能量的可能取值称为原子的一个能级. 氢原子在不同能级间跃迁时吸收或放出的光子能量等于相应的能级差,即h = En - El .,二、轨道角动量量子化 经典力学中,粒子在中心对称的势场中运动时,粒子的角动量守恒,角动量可以取任意值而保持不变. 量子力学中,通过解薛定谔方程得到:在氢原子中电子轨道运动的角动量的数值虽然是确定的,但不能任意取值,只能取一系列离散值,即氢原子中电子的轨道角动量L也是量子化的,l 称为角量子数.通常将l = 0,1,2,3,的状态称为s,p,d,f, 态.,三、轨道角动量分量量子化 角动量是个矢量,有三个独立的分量(如Lx、Ly、Lz),但这些分量受到不确定原理的限制不能同时确定.如,因此一般总是研究角动量的一个分量,如Lz,当这个分量有确定值时,另外两个分量的值是完全不确定的. 解薛定谔方程知Lz有确定的值,并是量子化的.Lz的可能取值为,其中m称为磁量子数.可见角动量的方向是不确定的. 三个量子数n、l、m分别决定了氢原子的能量E、角动量的大小L及其在z轴的分量Lz .,E、L、Lz都有确定的数值,而且是量子化的,这些结果是从波函数连续、单值、有限的条件得到的,除此之外没有其他假设.,四、定态波函数和概率分布 电子的运动状态由波函数描述,每个波函数都表示电子一个可能的运动状态.波函数由三个量子数n、l、m决定,因此波函数可表示为nlm . 解定态薛定谔方程可以得到氢原子基态的定态波函数1s = 100 为,其中,1s 只是电子与原子核距离r 的函数,1s态的波函数为,计算电子随r 的概率分布.以原子核为中心,r 为半径,取一单位厚度的球壳层,电子在其中出现的概率为,12-9 电子自旋一、能级简并和能级分裂 对氢原子,电子的能量只由主量子数n 决定.n确定后,l 取0,1,2,(n-1) 所对应的n 个状态具有相同的能量值En,即这n 个描述电子运动状态的波函数nl 都是同一能量值En的本征函数,这种情况称为n度简并(degeneracy). 而复杂一些的多电子原子,其能量由n、l共同决定.对于确定的n值,多电子原子有n个能级分别对应的l = 0,1,2,(n-1)的状态.即从氢原子的一个n度简并的能级分裂为多电子原子的n 个能级.,二、电子轨道磁矩氢原子中的电子具有确定的角动量L和角动量的投影Lz,因而具有磁矩,称为电子轨道磁矩或原子磁矩.按经典观点,原子中电子绕核运动与闭合载流线圈相似,应具有磁矩;根据量子理论,由电子波函数可以得到空间r处绕z轴环流的电流密度,通过积分可以得到这个电流分布所产生的磁矩.所得结果与经典模型的结果相同.,按经典观点,设电子在半径为r的圆轨道上以速度v绕核运动,则产生的磁矩为 = i S其中i 为电子运动产生的电流,等于电子电量-e 与,S为电子轨道包围的面积,S = r2,因此,单位时间内电子转过的圈数的乘积,即,三、外磁场中能级进一步分裂当有外磁场(沿z方向)存在时,电子的轨道磁矩便与外磁场相互作用而产生一个附加的能量,角动量和磁矩都是矢量,且方向相反,因此,由于Lz = m 只能取一系列离散值,因此,E也只能取一系列相应的离散值.,其中,称为玻尔磁子(Bohr magneton),是原子磁矩的基本单位.由于m可取 0, 1,2,l 共2l +1个值,所以附加能量E共有2l +1个可能的数值.这就使原来一个能级在外磁场作用下分裂为2l +1个能级.这些能级的间距是相同的,都等于BB,即外磁场越强,能级间隔越大.,如果观察原子在外磁场中的光谱就会发现原来一条谱线分裂成2l + 1条谱线.这个现象早在1896年即为塞曼首先发现,称为塞曼效应(Zeeman effect).,塞曼(P. Zeeman, 18651943)荷兰物理学家.1902年因研究磁性对辐射现象的影响所作的特殊贡献获诺贝尔物理学奖.,在外磁场存在时,由于电子轨道磁矩与外磁场相互作用产生附加能量E = mBB.因此决定电子能量的量子数除了n和l外,还要加上m. m是表示轨道磁矩与磁场相互作用的能量大小的量子数,所以称为磁量子数.四、斯特恩-盖拉赫实验1921年德国物理学家斯特恩(O. Stern)和盖拉赫(W. Gerlach) 通过实验测得了一束经过非均匀磁场的Ag原子具有磁矩,进一步研究发现该磁矩并不是电子相对于核运动所产生的轨道磁矩.,斯特恩(O. Stern,18881969,左) 德国物理学家.1943年因在发展分子束方法上所作的贡献和发现了质子的磁矩获诺贝尔物理学奖.盖拉赫(W. Gerlach,18891979,右) 德国物理学家.,实验装置如图所示,银原子被加热成蒸气,通过狭缝形成一束很细的射线进入非均匀磁场,在照相底片上记录银原子到达的位置.没有磁场时,观察到一条细痕迹; 在有磁场时,观察到的是两条痕迹.,分析:根据电磁学理论,具有磁矩的载流线圈在