北京理工大学2005级数学专业常微分方程期末试题A卷C074104答案及评分标准

课程编号C074104北京理工大学20062007学年第二学期2005级数学系常微分方程期末试题A卷答案及评分标准一、填空（本题满分20分，答案按题号写在答题册上）1常系数齐次微分方程组0110XX的通解是12COSSINSINCOSXXCCXX2已知XYE是微分方程0YPXY的一个特解，则该方程的通解为12XXCECE3常系数线性微分方程组XAXDDT的解渐近稳定的充要条件是A的特征值实部小于零4二阶自治系统22DXXYDTDYXYDT的奇点是（0，0），奇点类型是不稳定焦点二、计算题（求解下列微分方程，要有必要的解题步骤,本题满分21分）13YDXXYDY0解将方程变形为200YDXXDYYDYYY，（2分）凑微分得202XYDDY（2分），于是可得方程的通解22XYCY（2分）及其特解（1分）0Y222DYYXDXXY解令，（2分）则YXU221UDDUUXX，（2分）故132121DXDUUUX（2分）,从而3YXCYX特解YX（1分）333DYXYXDXY12解原方程化为323DYYXYXDX，即22312DYXYXDX3E（2分）两端同乘得（2分）2XE2222XXEYXE两边同时积分得，（2分）2221XYXC从而求得原方程通积分为0Y（1分）三（本题满分8分）证明微分方程2XYDYYYEDX满足00,1Y的解的存在区间是,。证易见是方程的解，存在区间均为0,1YY,因2,XYFXYYYE在全平面连续，且2,21XYYFXYYXYYE在全平面连续，故F满足局部LIPSHITZ条件，从而满足解的存在唯一性定理。（3分）若，对任意的正数A，在紧集00,1Y0,11,2KA中对过点的右行解用延拓定理知解必延拓到K的边界，但据解的唯一性定理可知此时积分曲线不能穿过直线00,Y0,1YY，从而解必穿过XA由A的任意性知右行解存在区间为0,同理可证左行解存在区间为,0（3分）四（本题满分15分）试求非齐次微分方程组XAXFDTDT的通解，其中1100001,0001TTTAF解A的特征多项式为2DETAI1,故A有单重特征根11和二重特征根20（2分）由得1010010AI011001001000行特征根1对应的一个特征向量为11R00；（2分）再由求得特征根222110111AI0010000000002所对应的两个广义特征向量（根向量）分别为212211R1,R001（3分）故得基解矩阵为12212122122222RRAIRRAIR1101001TTTTTEETETETT。3分解得则101001TTTEEETT。10XFTTTSSDS3232622621TTTTTTT从而得所求方程的解为（2分）XCXTTT12,13DXXYDTDYZTDTDZTDT232TZTTC32236TYTCCTT321233162TTTXTCECCCTT五（本题满分15分）设连续函数满足方程XF120COS210,XXFXEXXYFYDY（1）写出所满足的微分方程初值问题；XF（2）求函数。XF解方程（1）两端分别对求导得X0COSSIN220,22XXXEEFXXXFXFYDY（1分）与方程1联立得22SIN130022XFXFXFXEXFF（2分）其特征方程为2220，得特征值1I（2分）从而对应齐次方程的通解为12COSSINXFXECXCX（2分）3因1SINIMXIXEXE，可设特解为，（1分）代入原方程解得IMIXFXCXE112IC，则1COS2XFXXEX（1分）故原方程解为121COSSINCOS2XXXFXCEXCEXXEX（1分）注意到102F，（1分）解得111COSSINCOS222XXXFXEXEXEX（2分）六（本题满分12分）给定微分方程组22222,DXYXXXYDTDYYXYXYDT（1）利用LIAPUNOV函数判断零解的稳定性；（2）判断是否存在闭轨线解1令221,2LXYXY，则L是定正函数（2分）L沿方程组的解对时间求导数得222222221,230,42LXYXXYYXYXYXYXYXYNULLNULLNULLNULLNULLII故从D的边界出发的解不能再进入D（2分）若2222020YXXXYYXYXY12则21XYII得2202YX，从而0XY，即系统在D内无奇点（2分）据POINCARBENDIXSON定理，题中所给系统在D内有闭轨（不稳定极限环）存在（1分）七本题满分9分给定矩阵微分方程TDDTXAXA，其中是未知的N矩阵函数，TXNIJAA为幂零矩阵，即1,1,20,1IJJIINAJI，TA为的转置矩阵。A（1）求时此方程的通解，此时3N000100010A（2）求时此方程的通解。4N0000010010000010,0100000100100000AB解定义原矩阵方程的PICARD序列如下0100XXAXA,1,2,XCTTNNTSDSNNULLT（2分）由此得1XCA