概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X的分布律，并求XEHAVEAGOODTIME解本题的随机试验属于古典概型所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X的所有可能取值为1，4，有411XP，434XP，从而413434411XE2在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y的分布律，并求YE解本题的随机试验属于古典概型Y的所有可能取值为1，4，样本空间由13个字母组成，即共有13个样本点，则1311YP，13124YP，从而1349131241311YE3一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60，20，10和10，各级产品的出厂价分别为6元、84元、4元和2元，求产品的平均出厂价解设产品的出厂价为X元，则X的所有可能取值为6，84，4，2，由题设可知X的分布律为X68442P60201010则1651021042084606XE元4设随机变量X具有分布51KXP，5,4,3,2,1K，求XE，2XE及22XE解35432151XE，2115432151222222XE，2744442222XEXEXXEXE5设离散型随机变量X的分布列为KKKKXP2121，,2,1K，问X是否有数学期望解因为1112121KKKKKKK发散，所以X的数学期望不存在6设随机变量X具有密度函数其他,0,22,COS22XXXF求XE及XD解因为XX2COS在2,2上为奇函数，所以0DCOS2D222XXXXXXFXE，2112DCOS2D2222222XXXXXFXXE，故2112222XEXEXD7设随机变量X具有密度函数其他,0,21,2,10,XXXXXF求XE及XD解1D2DD21102XXXXXXXXFXE，67D2DD21210322XXXXXXXFXXE，36122XEXEXD8设随机变量X在21,21上服从均匀分布，求SINXY的数学期望与方差解由题可知X的密度函数为其他,0,2121,1XXF则0D1SINDSINSIN2121XXXXXFXEYE，21D1SINDSINSIN21212222XXXXXFXEYE，2122YEYEYD9某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350M，又知航空测量的误差随机变量X的分布列为XM3020100102030P050080160420160080050而场地边长随机变量Y等于边长的数学期望与测量误差之和，即XY350，求场地面积的数学期望解设场地面积为S，则2YS，160104200160100802005030XE00503008020，160104200160100802005030222222XE186050300802022，故3507003502222XXEXEYESE12268635070022XEXE10A，B两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示4A机床次品数X0123概率P7020060040B机床次品数X0123概率P80060040100问哪一台机床加工质量较好解44004030602201700XE，800403060220170022222XE，6064022XEXEXD，440100304020601800YE，12110030402060180022222YE，9264022YEYEYD，YEXE，但YDXD，故A机床加工质量较好11设随机变量X与Y相互独立，且方差存在，试证22YEXDYDXEYDXDXYD，由此得出YDXDXYD证22XYEXYEXYD222YEXEYXE2222YEXEYEXE2222YEXEYEYDXEXD22YEXDYDXEYDXD因为XD，YD，2XE，2YE非负，所以YDXDXYD512已知随机变量X的密度函数为其他,010,2XCBXXAXF又已知50XE，150XD，求A，B，C解CBAXCBXXAXXF2131DD1102，CBAXCBXXAXXXXFXE213141DD50102，10222D50D150XCBXXAXXXFXEXXD41314151CBA，解之得12A，12B，3C13设,YX的分布律为YX12312010001001011010101求XE及YE；2设XYZ，求ZE；3设2YXZ，求ZE解12130031001021010201XE，01010101300100010201YE，21013001000311021201Z31001013101220112222ZE510131012101130030022222214设随机变量,YX的概率密度函数为6其他,0,10,20,3,YXYXYXF求XE，YE，YXE及22YXE解YXYXXFXEDD,911DD31020YXYXX，YXYXYFYEDD,95DD31020YXYXY，YXYXFYXYXEDD,916DD31020YXYXYX，YXYXFYXYXEDD,2222613DD3102022YXYXYX15,YX在区域1,0,0|,YXYXYXD上服从均匀分布，求XE，23YXE及XYE解由题可知,YX的联合密度函数为其他,0,10,10,2,YYXYXFYXYXXFXEDD,31DD21010YYXX，YXYXFYXYXEDD,232331DD2321010YYXYX，YXYXXYFXYEDD,121DD21010YYXXY16设二维随机变量,YX的概率密度函数为1,0,1,1,2222YXYXYXF证明随机变量X与Y不相关，也不相互独立证2010DDCOS1DD1RRRYXXXE，同理，0YE，2010DDSINCOS1DD1RRRRYXXYXYE，0,COVYEXEXYEYX，7故随机变量X与Y不相关当11X时，21112D1D,22XYYYXFXFXXX，其他，0XFX，故其他,0,11,122XXXFX同理，其他,0,11,122YYYFY易得,YFXFYXFYX，故随机变量X与Y不相互独立17设随机变量1X，2X的概率密度分别为0,0,0,E221XXXFX，0,0,0,E442YYYFY试用数学期望的性质求121XXE及32221XXE；2又设1X，2X相互独立，求21XXE解由题可知1X2E，2X4E，则211XE，412XE，1612XD，8122222XEXDXE1432121XEXEXXE，853232221221XEXEXXE2812121XEXEXXE181设1X，2X，3X及4X独立同在1,0上服从均匀分布，求5141KKKXD；2已知随机变量X，Y的方差分别为25和36，相关系数为40，求YXU23的方差8解1由题易得121IXD，5141KKKXD5141KKKXD432514321XDXDXDXD2143211215122222由已知25XD，36YD，40,COVYDXDYXXY，得12,COVYX，2,3COV22323YXYDXDYXDUD513,COV2322322YXYDXD19一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求XE设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立解引入随机变量站无人下车，在第站有人下车；，在第IIXI01，10,2,1I易知1021XXXX按题意，任一旅客在第I站不下车的概率为90，因此20位旅客都不在第I站下车的概率为2090，在第I站有人下车的概率为20901，也就是20900IXP，209011IXP，10,2,1I由此20901IXE，10,2,1I进而10211021XEXEXEXXXEXE78489011020次20将N只球1N号随机地放进N只盒子1N号中去，一只盒子装一只球若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求XE9解引入随机变量号盒子号球未放入第第号盒子号球放入第第IIIIXI,0,1，NI,2,1，则NXXXX21，显然NXPI11，则NXPI110，NI,2,1，从而NXEI1，NI,2,1，于是12121NNXEXEXEXXXEXE21设随机变量,YX的分布律为YX2112102502500425000250试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的证025002025010250125002XE，5250002504025025001YE，042508022501250102XYE0250804，所以0,COVYEXEXYEYX，故X与Y不相关易知25025002XP，50025025001YP，01,2YXP，有121,2YPXPYXP，故X与Y不相互独立22设二维随机变量,YX的概率密度为10其他,0,10,10,YXYXYXF求XE，YE，XD，YD，XYE，,COVYX及XY解127DDDD,1010YXYXXYXYXXFXE，125DDDD,1010222YXYXXYXYXFXXE，1441122XEXEXD，由轮换对称性，得127YE，14411YD，31DDDD,1010YXYXXYYXYXXYFXYE，1441,COVYEXEXYEYX，111,COVYDXDYXXY23设X,2N，Y,2N，且X，Y相互独立求YXZ1和YXZ2的相关系数，是不为0的常数解由题可知YEXE，2YDXD，则2222XEXDXE，2222YEYDYE，1YXEZE，2YXEZE，222221YDXDYXDZD，222222YDXDYXDZD，222221YXEYXYXEZZE22222222YEXE，222212121,COVZEZEZZEZZ，22222121,COV21ZDZDZZZZ24设,YX的联合概率密度为11,0,10,10,2,其他YXYXYXF1求,COVYX，XY和32YXD；2X与Y是否独立解1125DD2DD,1010YXYXXYXYXXFXE，41DD2DD,1010222YXYXXYXYXFXXE，61DD2DD,10