2016上海市中考数学压轴题解题策略：相切的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 相切的存在性问题解题策略 2015 年 9 月 25 日星期 五 专题攻略 一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素： R、 r、 d， 第二 步分类列方程，第三步解方程并验根 第一步在罗列三要素 R、 r、 定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有 第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况 二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素 ： R和 d， 第二步列方程，第三步解方程并验根 第一步 在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有 第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 d 例题解析 例 如图 1已知抛物线 y 1 与 、 （ 1）有一半径为 P，且圆心 半径 （ 2）半径为 1 的 P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时， P与 交？ 图 1【解析】（ 1）如果 么圆心 直线y x 和 y x，四个圆心 P 就都找到了，如图 1 1实求半径 r，只需一个图就可以了， r |x| 5+12或 512 （ 2）要判断 P 与 y 轴相离、相交，先找到临界位置 P 与 y 轴相切，此时 x 1 或 x 1如图 1以想象，当圆心 P在 P与 时 1 0；当圆心 P在 P与 时 0 图 1 图 1 图 1 如图 2 5， 8， 图 2 B在 个单位长的速度运动，则点 带动 图 2运动的时间为 以点 图 2 图 2解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中 （ 1）如图 2 点 A；作 5；以 C，以 8 为半径画弧，产生点 B 如图 2点 B画 知 1，求得 t （ 2）如图 2画 ，产生点 得 t 图 2 图 2 图 2 如图 3A( 5,0)， B( 3,0)， C(0, 3)，四边形 矩形点 (4,0)出发，沿 个单位 长的速度运动，以 的运动而变化，当 边所在的直线）相切时，求运动时间 图 3 解析】我们先根据“ d r”讲解题策略 如图 3点 线 条等于半径 时 P(3, 0)， t 1 如图 3点 线 径 时 P(0, 0)， t 4 如图 3点 A， 半径 时在 勾股定理解得 以 t 图 3 图 3 图 3们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图 形中 如图 3过切点 (3, 0) 如图 3过切点 (0, 0) 如图 3知圆上两点 ，画 图 3 图 3 图 3 如图 4知抛物线 y c(m 0)经过 A(1, 0)、 B( 3,0)两点，顶点为 P，与 、 B，当 线 图 4解析】由 y m(x 1)(x 3)，可得 D(0, 3m)， P( 1, 4m) ，切线 如图 4假设切点为 E，那么 D 解方程22141m m ，得 33m 所以当 33m时，直线 事实上，此时直线 ， 30（如图 4 图 4 图 4 如图 5梯形 ， 90， 8， 18，54 开始沿 以每秒 3 个单位的速度移动，点 始沿 向终点 个单位的速度移动，设运动时间为 t 秒如果 ， ，在移动的过程中，试探索： t 为何值时 切、相交？ 图 5解析】对于 P， R 6；对于 Q， r 4圆心距 d 如图 582 (12 5t)2 当两圆外切时，由 d R r 10，得 102 解方程 82 (12 5t)2 102，得 t 图 5或 t 图 5 现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论： 当 0 t t 6 时，两圆外离；当 t ，两圆相交 图 5 图 5 图 5 如图 6 90， 4 厘米， 3 厘米， （ 1）求 （ 2）动点 P 从点 B 沿 点 A 以每秒 1 厘米的速度匀速运动，以 P 为圆心， 半径作圆设点 图 6解析】如图 6 r 1（厘米） 对于 O， r 1；对于 P， R t；圆心距 d t 图 6 由 12 (2 t)2，得 d 2 45 当 d R r，得 2 4 5 1t t t 解得 23t（如图 6 当 d |R r|，得 2 4 5 | 1 |t t t 解得 t 2（如图 6 图 6 图 6 图 6 图 6 如图 7知直线 l： 4 43与 、 B， ，点 C是 果 与直线 圆心 图 7解析】先确定 解方程 如图 7点 D 足为 D设 5m，半径 3m 对于 O， r 1；对于 C， R 3m；圆心距 d 4 5m 当两圆外切时， R r d解方程 3m 1 4 5m，得 38m此时 17(0, )8C（如图 7 当两圆内切时， R r d解方程 3m 1 4 5m，得 58m此时 7(0, )8C（如图 7 图 7 图 7 图 7 如图 8知在等腰 5， 6，点 与点 过点 ， A，以点 D设 x （ 1）当 （ 2） 如果 为圆心， 图 8解析】如图 8 A，隐含了 x （ 1）如图 8 d r，解 解方程 4 65 ，得 103x （ 2）对于 D， R 6 x；对于 E， r 655x； 圆心距 d x 当两圆外切时，由 d R r，得 6( 6 ) ( 5 )5x x x 解得 5516x（如图 8 当两圆内切时，由 d R r，得 6( 6 ) ( 5 )5x x x 解得 54x（如图 8 图 8 图 8 图 8 图 8 如图 9个 重合，过 线 斜边 行，已知 12， 4， 3如图 9 点出发，沿射线 个单位的速度运动， 时 个单位的速度运动，当点 D 运动到点 A 时，两个运动都停止 在 运动过程中，是否存在以点 Q 为圆心的圆与 两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间 t，若不存 在，说明理由 图 9 图 9解析】这道题目我们讲画图的策略注意到 t 如图 9 射线 ，过点