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反应注射成型过程中熔体流动前沿的PETROV-GALERKIN有限元分析摘要:在这篇论文里我们将描述一种在反应注射成型技术模具充模过程中用来分析熔体前沿的前进还有相关速度、压力、转化和温度的概率函数的数值分析方法。在反应注射成型过程中，能量方程式中的对流项是主要的影响因素。因此，这种数值分析法耦合利用PETROV-GALERKIN有限元分析法来消除伪振荡和提高计算的准确度。这种数值分析法的另一个特点是同时通过运用表面参数化方法分析一些主要变量来确定流动前沿的位置。数值分析的结果与实验报告的数据有很好的一致性。在熔体前沿区域，用这种数值分析法获得的准确度的提高对于预计在反应注射成型中纤维的走向和发泡的情况是有帮助的,因为它们主要由熔体前沿区域决定。1、绪论反应注射成型技术广泛应用于汽车工业制造外表仪表盘。在这种制法中,一种预聚的异氰酸酯和另一种多元醇/胺的混合物被混合在一起,被注射进模具,然后发生聚合反应。模具充模的阶段，在不断前进的熔体前沿区域，喷泉效应在测定液体成分的停留时间和最终产品中控制纤维走向方面扮演了重要角色[1].有种准确模拟熔体流动前沿的方法,但是会产生一个具有挑战性的问题。不断转化的流体区域与不断前进的熔体前沿区域在每个时间段都需要更新数字网格和预计移动的边界。材料的低热传导率,在反应注射成型过程中高的流动速率和快速的放热反应构成了对流项占优的能量运输方程式,它需要特殊的数值处理。此外,内壁附近的移动接触线需要合适的边界条件，这种边界条件不会造成数值的不稳定。一种混合了反应注射成型过程中所有这些错综复杂特点的数值分析法对于熔体前沿区域的准确预测是必要的。先前的研究既没有使关于熔体前沿区域的设想简化[2-4],也没有将他们的结果同实验相比较[5，6]。在这篇文章中,我们将详细介绍一种数值分析法,这种方法可以处理上面提到的错综复杂的问题；我们还将描述相关的成果，以数值分析法为重点(根据我们先前的工作成果[7],主要是关于控制方程式和一些结果的详细讨论)。这种数值分析法无论是对流动前沿的模型还是对于在熔体区域的速率概率函数都没有做任何先验的假设。我们使用一种被称作自由表面参数化的方法，在这种方法中流动前沿的模型与其他领域的变量被同时考虑，比如压力、速率和转化率等，通过将流动前沿的表面运动边界条件合为一体作为控制方程式之一。众所周知，传统的Galerkin有限元方法在对流占优的传输问题上会产生数值的不稳定。虽然造成的伪振荡一般可以通过精制网格来消除，但是，对于这里所描述的瞬态问题，精制网格是种不切实际而且昂贵的方法。其他可供选择的方法包括各种各样的上风法[9-12]，特征法[6,13,14]，还有Galerkin/最小二乘法。虽然保守的方法，比如特征法和Galerkin/最小二乘法更准确，但是一种简单的Petrov-Galerkin上风法更易于实施也更有效，特别是针对这个研究中发现的瞬态的问题。因此，这种方法在这里是适用的，是继AdornatoandBrown[9]之后，可以消除数值的不稳定却不需要求助于特别的精制网格方法。控制方程式在第二部分将做简洁的陈述，数值方法将在第三部分做详细描述。在一个二维矩形模具里，在反应注射成型过程中充模阶段得到的典型的结果将在第四部分得到陈述。得到的结果还将和实验报告的数据、还有用传统的Galerkin有限元方法得到的数值结果做了比较。2、控制方程式反应注射成型过程中的聚合反应的总的运动速度表达式为在这里Ci表示异氰酸酯浓度，T表示温度，R表示法定气体常量，m表示反应的数量级，E表示反应的活化量，A表示比率常量。粘性取决于转化率和温度，Castro-Macosko粘度模型为[2]。在这个公式中X表示脂的转化率，表示凝胶点转化率，和B为常量。对于恒定的热特性、反应混合物的密度以及可以忽略的分子扩散，无量纲的控制方程式为：连续性方程为动量守恒方程为分子平衡方程为能量守恒方程为在这里，表示速度矢量，表示剪切速率，t表示时间，p表示压力，表示无量纲的比率常量，定义式为指数函数。方程式是无量纲的，使用平均速率，模具厚度的一半H，温度，模具入口的粘性。所有的无量纲组和他们的定义在表1中列出。无量纲变量的边界条件为1在内壁：（无滑动），2在中间平面：3，在入口处：完全反应流体速度，4，在接触线：（完全滑动）5，在流动前沿上：（力平衡），（运动状态）表1，控制方程式中的无量纲组，为反应热，为绝热温度的上升，脂最初浓度在这里，和表示速度矢量的分量，n表示单位法向向量，剪切应力，h表示熔体流动前沿的位置矢量，表示模具内壁无量纲温度。将边界条件考虑到在数值分析中的具体细节将在下一部分做详细解释。3、数值分析在有限元分析公式中未知的速度、温度、和转化扩展为四次基的函数，压力扩展为双线基的函数，流动前沿模型的高扩展为二次基函数：在这里，和为等参变量变换式的坐标值，定义为在等参变量域（）。在这里，和分别对应为速度值，压力值，自由表面结点数。变量的未知结点系数和每个结点的x坐标值取决于时间。值得注意的是四次-双线基成分（v，p）不满足著名的Brezzi-Babuska稳定性条件[18，19]，因此，这会造成整体的质量平衡，但是不能保证局部的元素水平的质量平衡。虽然一些符合Brezzi-Babuska稳定性条件的经过综合考虑的速度和压力因素的组合已经被发现[20，21]，但是，他们的插值法模型在有限元分析法中却是无效的。上述的四次基-双线性基成分（v，p）没有表现出伪压力模态[22，23]，并且被广泛使用在有限数值稳定性问题上。除此以外，Petrov-Galerkin方法有望增强数值的稳定性[24]。所有结点Y坐标值是固定的，而X坐标值与自由表面的位置成比例。熔体流动前沿是沿着X方向，流动前沿向前移动，然后流体膨胀。当沿着X方向成分的长度超过到预先确定的值时，通过在流动前沿方向上将每个成分分割成相同大小的两个成分，进而生成网格。结点变量的插值法是简单的，而且对于四次基的元素可以很快的计算。在传统的Galerkin有限元公式中，他们的基函数在计算流动前沿区域的残值控制方程时是作为加权函数。但是这种方法是不健全的。我们都知道当Galerkin公式用于解决对流占优的方程式时，会造成数值的不稳定和伪振荡。在反应注射成型过程中早期引入的能量方程式中对流占主导地位。一种可供选择的方法为用精制网格来消除伪振荡。但是，这种方法对于含有大量未知因素瞬态问题是不切实际的，比如此处已经解决的一个。其他可供选择的方法为修改加权函数，通过引进一个人为耗散系数。公式可以方便的改写为更高阶的方程式。加权函数公式为在这里，人为耗散系数通过公式引进，取决于局部速度区域和与各自的控制方程式相结合的恰当的扩散系数D。的函数形式以一维的对流--扩散问题为基础[25]，函数表达为在这里，表示局部元素的Peclet值，表示元素的大小，为三次多相式。指数与顶点结点数相一致，与元素的重心结点数相一致。标准的一维对流--扩散问题在结点处已经有精确的解决办法，例如[25，9]在一个二维问题中，方程式（10）和（11）中张量的乘积提供了在方程式（9）中描述过的加权函数中公式。局部Peclet值三个结点为一组计算，并且以二维元素的相关边界的平均速度为基础[9]。共有六个这样的组（三个在X方向，三个在Y方向），因此，有十二个上风法参数。Peclet值的计算包括线性距离，这种线性距离基本上忽略了元素曲线的边界。但是，它是个很好的粗略估计的方法，因为在我们研究的问题上使用此方法时流动前沿很少被损坏。扩散系数在能量方程式中为，在动量方程式中为。PETROV-GALERKIN加权残值方程式为，

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