外文翻译--基于模糊控制的移动机器人（适用于毕业论文外文翻译+中英文对照）

W1998年的IEEE国际会议上机器人及自动化LEUVEN，比利时1998年5月一种实用的办法带拖车移动机器人的反馈控制FLAMIRAUXANDJPLAUMOND拉斯，法国国家科学研究中心法国图卢兹FLORENT,JPLLAASFR摘要本文提出了一种有效的方法来控制带拖车移动机器人。轨迹跟踪和路径跟踪这两个问题已经得到解决。接下来的问题是解决迭代轨迹跟踪。并且把扰动考虑到路径跟踪内。移动机器人HILARE的实验结果说明了我们方法的有效性。1引言过去的8年，人们对非完整系统的运动控制做了大量的工作。布洛基2提出了关于这种系统的一项具有挑战性的任务，配置的稳定性，证明它不能由一个简单的连续状态反馈。作为替代办法随时间变化的反馈10,4,11,13,14,15,18或间断反馈3也随之被提出。从5移动机器人的运动控制的一项调查可以看到。另一方面，非完整系统的轨迹跟踪不符合布洛基的条件，从而使其这一个任务更为轻松。许多著作也已经给出了移动机器人的特殊情况的这一问题6,7,8,12,16。所有这些控制律都是工作在相同的假设下系统的演变是完全已知和没有扰动使得系统偏离其轨迹。很少有文章在处理移动机器人的控制时考虑到扰动的运动学方程。但是1提出了一种有关稳定汽车的配置，有效的矢量控制扰动领域，并且建立在迭代轨迹跟踪的基础上。存在的障碍使得达到规定路径的任务变得更加困难，因此在执行任务的任何动作之前都需要有一个路径规划。在本文中，我们在迭代轨迹跟踪的基础上提出了一个健全的方案，使得带拖车的W机器人按照规定路径行走。该轨迹计算由规划的议案所描述17，从而避免已经提交了输入的障碍物。在下面，我们将不会给出任何有关规划的发展，我们提及这个参考的细节。而且，我们认为，在某一特定轨迹的执行屈服于扰动。我们选择的这些扰动模型是非常简单，非常一般。它存在一些共同点1。本文安排如下第2节介绍我们的实验系统HILARE及其拖车两个连接系统将被视为（图1）。第3节处理控制方案及分析的稳定性和鲁棒性。在第4节，我们介绍本实验结果。图1带拖车的HILARE2系统描述HILARE是一个有两个驱动轮的移动机器人。拖车是被挂在这个机器人上的，确定了两个不同的系统取决于连接设备在系统A的拖车拴在机器人的车轮轴中心线上方（图1，顶端），而对系统B是栓在机器人的车轮轴中心线的后面（图1，底部。A对B来说是一种特殊情况，其中LR0。这个系统不过单从控制的角度来看，需要更多的复杂的计算。出于这个原因，我们分开处理挂接系统。两个马达能够控制机器人的线速度和角速度（VR，R。除了这些速度之外，还由传感器测量，而机器人和拖车之间的角度，由光学编码器给出。机器人的位置和方向（XR,YR,R）通过整合前的速度被计算。有了这些批注，控制系统B是WXRVRCOSRYRVRSINRRRVRSINLTLRRLTCOSR（1）3全球控制方案31目的当考虑到现实的系统，人们就必须要考虑到在运动的执行时产生的扰动。这可能有许多的来源，像有缺陷的电机，轮子的滑动，惯性的影响这些扰动可以被设计通过增加一个周期在控制系统（1），得到一个新的系统的形式XFX,U在上式中可以是确定性或随机变量。在第一种情况下，扰动仅仅是由于系统演化的不规则，而在第二种情况下，它来自于该系统一个随机行为。我们将看到后来，这第二个模型是一个更适合我们的实验系统。为了引导机器人，从一开始就配置了目标，许多工程认为扰动最初只是机器人和目标之间的距离，但演变的系统是完全众所周知的。为了解决这个问题，他们设计了一个可输入的时间状态函数，使目标达到一个渐近稳定平衡的闭环系统。现在，如果我们介绍了先前定义周期在这个闭环系统，我们不知道将会发生什么。但是我们可以猜想，如果扰动很小、是确定的、在平衡点（如果仍然还有一个）将接近目标，如果扰动是一个随机变数，平衡点将成为一个平衡的子集。但是，我们不知道这些新的平衡点或子集的位置。此外，在处理障碍时，随时间变化的方法不是很方便。他们只能使用在附近的目标，这附近要适当界定，以确保无碰撞轨迹的闭环系统。请注意连续状态反馈不能适用于真实情况下的机器人，因为间断的速度导致无限的加速度。我们建议达成某一存在障碍特定配置的方法如下。我们首先在当前的配置和使用自由的碰撞议案所描述17目标之间建立一个自由的碰撞路径，然后，我们以一个简单的跟踪控制率执行轨迹。在运动结束后，因为这一目标的各种扰动机器人从来没有完全达到和目标的轨迹一致，而是这一目标的左右。如果达到配置远离目标，我们计01W算另一个我们之前已经执行过的一个轨迹。现在我们将描述我们的轨迹跟踪控制率，然后给出我们的全球迭代方法的鲁棒性问题。32轨迹跟踪控制率在这一节中，我们只处理系统A。对系统B容易计算（见第34节）。图2单一机器人的跟踪控制率很多带拖车轮式移动机器人的跟踪控制律已经被提出。其中16虽然很简单,但是提供了杰出的成果。如果X,Y,是模拟机器人的坐标构成真实机器人（图2），如果（0,0VRR）是输入的参考轨迹，这种控制律表示如下RVR0COSKXSINKKYRR32（2）我们控制律的关键想法如下当机器人前进，拖车不需要稳定（见下文）。因此，我们对机器人使用公式（2）。当它后退时，我们定义一个虚拟的机器人XR,YR,R（图3）这是对称的真实一对拖车的车轮轴XRXR2LTCOSTYRYR2LTSINTR2TR然后，当真正的机器人退后，虚拟机器人前进和虚拟系统X,Y,在运动学上是RRR等同于真正的一个。因此，我们对虚拟机器人实行跟踪控制法（2）。图3虚拟机器人VRRLW现在的问题是当机器人前进时，拖车是否真的稳定下一节将回答这个问题。33拖车稳定性分析在这里我们考虑的向前运动情况下V0,虚拟机器人向后的运动被等值转变。让我们把坐标X0,Y0,0,V0,0作为参考轨迹并且把坐标X,Y,V,作为实RRRRRRRRRR际运动的系统。我们假设机器人完全跟随其参考轨迹X,Y,V,X0,Y0,0,V0,0并且我们把我们的注意力放在拖车偏差RRRRRRRRRR0。这一偏差的变化很容易从系统（1）推导出L0（系统A）VRLSINSIN0T2V0RCOSSIN22尽管是减少的02（3）222我们的系统而且被不等量限制了,0（4）22因此0和式（3）等价于2002且20或（5）00且220图4显示的范围随着给定的0的值正在减少。我们可以看到，这个范围包含了拖车的所有的位置，包括式（4）所界定的范围。此外，以前的计算许可轻松地表明对于变量0，0是一个渐近稳定值的变量。因此，如果实际或虚拟的机器人按照它的参考轨迹前进，拖车是稳定的，并且将趋于自己的参考轨迹。TRRTTCSCSSCSW图4的稳定范围34虚拟机器人系统B当拖车挂在机器人的后面，之前的结构甚至更简单我们可以用拖车取代虚拟的机器人。在这种实际情况下，机器人的速度V,和拖车V,一对一映射的连接。然后虚拟的机器人系统表示为如下XRXRLRCOSRLRCOSRYRYRLRSINRLTSINRRR和以前的稳定性分析可以被很好的使用通过考虑悬挂点的运动。下面一节讨论了我们迭代计划的鲁棒性。35迭代计划的鲁棒性我们现在正在显示上文所提到的迭代计划的鲁棒性。为此，我们需要有一个当机器人的运动时产生扰动的模型。1扰动的模型系统是一个不规则，从而导致矢量场确定性的变化。在我们的实验中，我们要看到由于随机扰动导致的例如在一些悬挂系统中发挥作用。这些扰动对模型是非常困难的。出于这个原因，我们只有两个简单的假说有DQS,Q0SDQS,Q0S其中S是沿曲线横坐标设计路径，Q和Q0分别是真正的和参考的结构，D是结构空间系统的距离并且，是正数。第一个不等量意味着实际和参考结构之间的距离成正比的距离覆盖计划路径。第二个不等量是确保轨迹跟踪控制率，防止系统走得太远远离其参考轨迹。让我们指出，这些假设是非常现实的和适合大量的扰动模型。211212因此，如果Q1IGOAL是上界序列DIW我们现在需要知道在每个迭代路径的长度。我们使用指导的方法计算这些路径验证拓扑短时间的可控性17。这个也就是说，如果我们的目标是充分接近起初的结构，轨迹的计算依然是起初的结构的附近。在9我们给出的估算方面的距离如果Q和Q是两种不够紧密的结构，规划路径的长度验证它们之间的关系这里是一个正数。LPAHTQ,QD1Q,Q4II1,2是配置依次获得的，我们有以下不等式Q,QGOALDQQDQ,QCSI1,GOALCSIGOAL这些不等式确保DISTCSQ,QII1,2的正数I11D4和趋近于足够反复后的。因此，我们没有获得渐近稳定性配置的目标，但这一结果确保存在一个稳定的范围处理这个配置。这一结果基本上是来自我们选择非常传统扰动的模型。让我们重复这包括诸如扰动模型的时间不同的控制律无疑将使其失去其渐近稳定。实验结果如下节显示，收敛域的控制计划是非常小的。4实验结果现在，我们目前获得的带拖车机器人HILARE系统A和B的实验结果。图5和图6显示第一路径计算的例子所规划初始配置（黑色）和目标配置（灰色）之间的运动。在第二种情况下包括上一次计算结果。连接系统的长度如下系统A中L0，L125RT厘米，系统BL60厘米，L90厘米。表1和表2提供的初始和最后配置位置以及RT目标和期望配置在第一次动作和第二次动作之间的不足，3个不同的实验。在这两种情况下，第一次试验相当于图表。Q意味着，在第一动作后精度十分充足，没有更多可进行的动作。评论和意见表1和表2的报告结果显示了两个主要的见解。首先，系统达成非常令人满意的精密程度，其次迭代次数是非常小的（介于1和2之间）。事实上，精密程度取决于很多的速度和不同的动作。在这里，机器人的最大线速度是50厘米/秒。CSDCSD1D2W5结论我们已经提出了一种方法来控制机器人与拖车从初始结构到一个已知输入问题的目标。这种方法是以迭代于开环和闭环控制相结合为前提的办法。它对大范围的扰动模型已经显示出健全的一面。这个鲁棒性主要来自拓扑性能指导方法介绍17。即使该方法不完全趋于机器人的最终目标，但是在真正实验期间达到的精度程度是非常令人满意的。图5系统A初始、目标配置跟踪第一路径图6系统B初始、目标配置跟踪第一路径和最终结果表1系统A目标和期望配置在第一次动表2系统B目标和期望配置在第一次动作和第二次动作之间的差距作和第二次动作之间的差距W参考文献1MKBENNANIETPROUCHONROBUSTSTABILIZATIONOFFLATANDCHAINEDSYSTEMSINEUROPEANCONTROLCONFERENCE,19952RWBROCKETTASYMPTOTICSTABILITYANDFEEDBACKSTABILIZATIONINDIFFERENTIALGEOMETRICCONTROLTHEORY,RWBROCKETT,RSMILLMANETHHSUSSMANNEDS,19833CCANUDASDEWIT,OJSORDALENEXPONENTIALSTABILIZATIONOFMOBILEROBOTSWITHNONHOLONOMICCONSTRAINTSIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL37,NO11,19924JMCORONGLOBALASYMPTOTICSTABILIZATIONFORCONTROLLABLESYSTEMSWITHOUTDRIFTINMATHEMATICSOFCONTROL,SIGNALSANDSYSTEMS,VOL5,19925ADELUCA,GORIOLOETCSAMSONFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICCARLIKEROBOT,“ROBOTMOTIONPLANNINGANDCONTROL“JPLAUMONDED,LECTURENOTESINCONTROLANDINFORMATIONSCIENCES,SPRINGERVERLAG,TOAPPEAR6RMDESANTISPATHTRACKINGFORATRACTORTRAILERLIKEROBOTININTERNATIONALJOURNALOFROBOTICSRESEARCH,VOL13,NO6,19947AHEMAMI,MGMEHRABIETRMHCHENGSYNTHESZSOFANOPTIMALCONTROLLAWPATHTRACKANGANMOBILEROBOTSINAUTOMATICA,VOL28,NO2,PP383387,19928YKANAYAMA,YKIMURA,FMIYAZAKIETTNOGUSHIASTABLETRACKINGCONTROLMETHODFORANAUTONOMOUSMOBILEROBOTINIEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSANDAUTOMATION,CINCINNATI,OHIO,19909FLAMIRAUXROBOTSMOBILESCIREMORQUEDELAPLANIFICATIONDECHEMINSDLEXHTIONDEMOUUEMENTS,PHDTHESISN7,LAASCNRS,TOULOUSE,SEPTEMBER1997L0PMORINETCSAMSONAPPLICATIONOFBACKSTEPPINGTECHNIQUESTOTHETIMEVARYINGEXPONENTIALSTABITISATIONOFCHAINEDFORMSYSTEMSEUROPEANJOURNALOFCONTROL,VOL3,NO1,199711JBPOMETEXPLICITDESIGNOFTIMEVARYINGSTABILIZANGCONTROLLAWSFORACLASSOFCONTROLLABLESYSTEMSWITHOUTDRIFTINSYSTEMSANDCONTROLLETTERS,NORTH12MSAMPEI,TTAMURA,TITOHETMNAKAMICHIPATHTRACKINGCONTROLOFTRAILERLIKEMOBILEROBOTINIEEEINTERNATIONALWORKSHOPONINTELLIGENTROBOTSANDSYSTEMSIROS,WOSAKA,JAPAN,PP193198,199113CSAMSONVELOCITYANDTORQUEFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICCARTINTERNATIONALWORKSHOPINADAPTATIVEANDNONLINEARCONTROLISSUESINROBOTICS,GRENOBLE,FRANCE,199014CSAMSONTIMEVARYINGFEEDBACKSTABILIZATIONOFCARLIKEWHEELEDMOBILEROBOTSININTERNATIONALJOURNALOFROBOTICSRESEARCH,121,199315CSAMSONCONTROLOFCHAINEDSYSTEMSAPPLICATIONTOPATHFOLLOWINGANDTIMEVARYINGPOZNTSTABILIZATIONINIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL40,NO1,199516CSAMSONETKAITABDERRAHIMFEEDBACKCONTROLOFANONHOLONOMICWHEELEDCARTZNCARTESAANSPACEINIEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSANDAUTOMATION,SACRAMENTO,CALIFORNIA,PP11361141,199117SSEKHAVAT,FLAMIRAUX,JPLAUMOND,GBAUZILANDAFERRANDMOTIONPLANNINGANDCONTROLFORHILAREPULLINGATRADEREXPERZMENTALISSUESIEEEINTCONFONROBANDAUTOM,PP33063311,199718OJSPLRDALENET0EGELANDEXPONENTIALSTABZLZSATIONOFNONHOLONOMICCHAINEDSYSTEMSINIEEETRANSACTIONSONAUTOMATICCONTROL,VOL40,NO1,1995BOLLAND,VOL18,PP147158,1992WPROCEEDINGSOFTHE1998IEEEINTERNATIONALCONFERENCEONROBOTICSAUTOMATIONLEUVEN,BELGIUMMAY1998APRACTICALAPPROACHTOFEEDBACKCONTROLFORAMOBILEROBOTWITHTRAILERFLAMIRAUXANDJPLAUMONDLAASCNRSTOULOUSE,FRANCEFLORENT,JPLLAASFRABSTRACTTHISPAPERPRESENTSAROBUSTMETHODTOCONTROLAMOBILEROBOTTOWINGATRAILERBOTHPROBLEMSOFTRAJECTORYTRACKINGANDSTEERINGTOAGIVENCONFIGURATIONAREADDRESSEDTHISSECONDISSUEISSOLVEDBYANITERATIVETRAJECTORYTRACKINGPERTURBATIONSARETAKENINTOACCOUNTALONGTHEMOTIONSEXPERIMENTALRESULTSONTHEMOBILEROBOTHILAREILLUSTRATETHEVALIDITYOFOURAPPROACH1INTRODUCTIONMOTIONCONTROLFORNONHOLONOMICSYSTEMSHAVEGIVENRISETOALOTOFWORKFORTHEPAST8YEARSBROCKETTSCONDITION2MADESTABILIZATIONABOUTAGIVENCONFIGURATIONACHALLENGINGTASKFORSUCHSYSTEMS,PROVINGTHATITCOULDNOTBEPERFORMEDBYASIMPLECONTINUOUSSTATEFEEDBACKALTERNATIVESOLUTIONSASTIMEVARYINGFEEDBACKL0,4,11,13,14,15,18ORDISCONTINUOUSFEEDBACK3HAVEBEENTHENPROPOSEDSEE5FORASURVEYINMOBILEROBOTMOTIONCONTROLONTHEOTHERHAND,TRACKINGATRAJECTORYFORANONHOLONOMICSYSTEMDOESNOTMEETBROCKETTSCONDITIONANDTHUSITISANEASIERTASKALOTOFWORKHAVEALSOADDRESSEDTHISPROBLEM6,7,8,12,16FORTHEPARTICULARCASEOFMOBILEROBOTSWALLTHESECONTROLLAWSWORKUNDERTHESAMEASSUMPTIONTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMISEXACTLYKNOWNANDNOPERTURBATIONMAKESTHESYSTEMDEVIATEFROMITSTRAJECTORYFEWPAPERSDEALINGWITHMOBILEROBOTSCONTROLTAKEINTOACCOUNTPERTURBATIONSINTHEKINEMATICSEQUATIONSLHOWEVERPROPOSEDAMETHODTOSTABILIZEACARABOUTACONFIGURATION,ROBUSTTOCONTROLVECTORFIELDSPERTURBATIONS,ANDBASEDONITERATIVETRAJECTORYTRACKINGTHEPRESENCEOFOBSTACLEMAKESTHETASKOFREACHINGACONFIGURATIONEVENMOREDIFFICULTANDREQUIREAPATHPLANNINGTASKBEFOREEXECUTINGANYMOTIONINTHISPAPER,WEPROPOSEAROBUSTSCHEMEBASEDONITERATIVETRAJECTORYTRACKING,TOLEADAROBOTTOWINGATRAILERTOACONFIGURATIONTHETRAJECTORIESARECOMPUTEDBYAMOTIONPLANNERDESCRIBEDIN17ANDTHUSAVOIDOBSTACLESTHATAREGIVENININPUTINTHEFOLLOWINGWEWONTGIVEANYDEVELOPMENTABOUTTHISPLANNER,WEREFERTOTHISREFERENCEFORDETAILSMOREOVER,WEASSUMETHATTHEEXECUTIONOFAGIVENTRAJECTORYISSUBMITTEDTOPERTURBATIONSTHEMODELWECHOSEFORTHESEPERTURBATIONSISVERYSIMPLEANDVERYGENERALITPRESENTSSOMECOMMONPOINTSWITHLTHEPAPERISORGANIZEDASFOLLOWSSECTION2DESCRIBESOUREXPERIMENTALSYSTEMHILAREANDITSTRAILERTWOHOOKINGSYSTEMSWILLBECONSIDEREDFIGURE1SECTION3DEALSWITHTHECONTROLSCHEMEANDTHEANALYSISOFSTABILITYANDROBUSTNESSINSECTION4,WEPRESENTEXPERIMENTALRESULTS2DESCRIPTIONOFTHESYSTEMHILAREISATWODRIVINGWHEELMOBILEROBOTATRAILERISHITCHEDONTHISROBOT,DEFININGTWODIFFERENTSYSTEMSDEPENDINGONTHEHOOKINGDEVICEONSYSTEMA,THETRAILERISHITCHEDABOVETHEWHEELAXISOFTHEROBOTFIGURE1,TOP,WHEREASONSYSTEMB,ITISHITCHEDBEHINDTHISAXISFIGUREL,BOTTOMAISTHEPARTICULARCASEOFB,FORWHICHLR0THISSYSTEMISHOWEVERSINGULARFROMACONTROLPOINTOFVIEWANDREQUIRESMORECOMPLEXCOMPUTATIONSFORTHISREASON,WEDEALSEPARATELYWITHBOTHHOOKINGSYSTEMSTWOMOTORSENABLETOCONTROLTHELINEARANDANGULARVELOCITIES（VR，ROFTHEROBOTTHESEVELOCITIESAREMOREOVERMEASUREDBYODOMETRICSENSORS,WHEREASTHEANGLEBETWEENTHEROBOTANDTHETRAILERISGIVENBYANOPTICALENCODERTHEPOSITIONANDORIENTATION（XR,YR,R）OFTHEROBOTWARECOMPUTEDBYINTEGRATINGTHEFORMERVELOCITIESWITHTHESENOTATIONS,THECONTROLSYSTEMOFBISXRVRCOSRYRVRSINRRRVRSINLTLRRLTCOSR（1）FIGURE1HILAREWITHITSTRAILER3GLOBALCONTROLSCHEME311MOTIVATIONWHENCONSIDERINGREALSYSTEMS,ONEHASTOTAKEINTOACCOUNTPERTURBATIONSDURINGMOTIONEXECUTIONTHESEMAYHAVEMANYORIGINSASIMPERFECTIONOFTHEMOTORS,SLIPPAGEOFTHEWHEELS,INERTIAEFFECTSTHESEPERTURBATIONSCANBEMODELEDBYADDINGATERMINTHECONTROLSYSTEML,LEADINGTOANEWSYSTEMOFTHEFORMXFX,UWHEREMAYBEEITHERDETERMINISTICORARANDOMVARIABLEINTHEFIRSTCASE,THEPERTURBATIONWISONLYDUETOABADKNOWLEDGEOFTHESYSTEMEVOLUTION,WHEREASINTHESECONDCASE,ITCOMESFROMARANDOMBEHAVIOROFTHESYSTEMWEWILLSEELATERTHATTHISSECONDMODELISABETTERFITFOROUREXPERIMENTALSYSTEMTOSTEERAROBOTFROMASTARTCONFIGURATIONTOAGOAL,MANYWORKSCONSIDERTHATTHEPERTURBATIONISONLYTHEINITIALDISTANCEBETWEENTHEROBOTANDTHEGOAL,BUTTHATTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMISPERFECTLYKNOWNTOSOLVETHEPROBLEM,THEYDESIGNANINPUTASAFUNCTIONOFTHESTATEANDTIMETHATMAKESTHEGOALANASYMPTOTICALLYSTABLEEQUILIBRIUMOFTHECLOSEDLOOPSYSTEMNOW,IFWEINTRODUCETHEPREVIOUSLYDEFINEDTERMINTHISCLOSEDLOOPSYSTEM,WEDONTKNOWWHATWILLHAPPENWECANHOWEVERCONJECTURETHATIFTHEPERTURBATIONISSMALLANDDETERMINISTIC,THEEQUILIBRIUMPOINTIFTHEREISSTILLONEWILLBECLOSETOTHEGOAL,ANDIFTHEPERTURBATIONISARANDOMVARIABLE,THEEQUILIBRIUMPOINTWILLBECOMEANEQUILIBRIUMSUBSETBUTWEDONTKNOWANYTHINGABOUTTHEPOSITIONOFTHESENEWEQUILIBRIUMPOINTORSUBSETMOREOVER,TIMEVARYINGMETHODSARENOTCONVENIENTWHENDEALINGWITHOBSTACLESTHEYCANONLYBEUSEDINTHENEIGHBORHOODOFTHEGOALANDTHISNEIGHBORHOODHASTOBEPROPERLYDEFINEDTOENSURECOLLISIONFREETRAJECTORIESOFTHECLOSEDLOOPSYSTEMLETUSNOTICETHATDISCONTINUOUSSTATEFEEDBACKCANNOTBEAPPLIEDINTHECASEOFREALROBOTS,BECAUSEDISCONTINUITYINTHEVELOCITYLEADSTOINFINITEACCELERATIONSTHEMETHODWEPROPOSETOREACHAGIVENCONFIGURATIONTNTHEPRESENCEOFOBSTACLESISTHEFOLLOWINGWEFIRSTBUILDACOLLISIONFREEPATHBETWEENTHECURRENTCONFIGURATIONANDTHEGOALUSINGACOLLISIONFREEMOTIONPLANNERDESCRIBEDIN17,THENWEEXECUTETHETRAJECTORYWITHASIMPLETRACKINGCONTROLLAWATTHEENDOFTHEMOTION,THEROBOTDOESNEVERREACHEXACTLYTHEGOALBECAUSEOFTHEVARIOUSPERTURBATIONS,BUTANEIGHBORHOODOFTHISGOALIFTHEREACHEDCONFIGURATIONISTOOFARFROMTHEGOAL,WECOMPUTEANOTHERTRAJECTORYTHATWEEXECUTEASWEHAVEDONEFORTHEFORMERONEWEWILLNOWDESCRIBEOURTRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWANDTHENGIVEROBUSTNESSISSUESABOUTOURGLOBALITERATIVESCHEME32THETRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWINTHISSECTION,WEDEALONLYWITHSYSTEMACOMPUTATIONSAREEASIERFORSYSTEMBSEE1WSECTION34FIGURE2TRACKINGCONTROLLAWFORASINGLEROBOTALOTOFTRACKINGCONTROLLAWSHAVEBEENPROPOSEDFORWHEELEDMOBILEROBOTSWITHOUTTRAILERONEOFTHEM16,ALTHOUGHVERYSIMPLE,GIVEEXCELLENTRESULTSIFX,Y,ARETHECOORDINATESOFTHEREFERENCEROBOTINTHEFRAMEOFTHEREALROBOTFIGURE2,ANDIF0,0ARETHEINPUTSOFTHEREFERENCETRAJECTORY,THISCONTROLLAWHASTHEFOLLOWINGEXPRESSIONVRR0RVR0COSKXSINKKYRR32（2）THEKEYIDEAOFOURCONTROLLAWISTHEFOLLOWINGWHENTHEROBOTGOESFORWARD,THETRAILERNEEDNOTBESTABILIZEDSEEBELOWSOWEAPPLY2TOTHEROBOTWHENITGOESBACKWARD,WEDEFINEAVIRTUALROBOTXR,YR,RFIGURE3WHICHISSYMMETRICALTOTHEREALONEWITHRESPECTTOTHEWHEELAXISOFTHETRAILERXRXR2LTCOSTYRYR2LTSINTR2TRTHEN,WHENTHEREALROBOTGOESBACKWARD,THEVIRTUALROBOTGOESFORWARDANDTHEVIRTUALSYSTEMX,Y,ISKINEMATICALLYEQUIVALENTTOTHEREALONETHUSWEAPPLYRRRTHETRACKINGCONTROLLAW2TOTHEVIRTUALROBOTFIGURE3VIRTUALROBOTAQUESTIONARISESNOWISTHETRAILERREALLYALWAYSSTABLEWHENTHEROBOTGOESFORWARDVRRRRRRR0LWTHEFOLLOWINGSECTIONWILLANSWERTHISQUESTION33STABILITYANALYSISOFTHETRAILERWECONSIDERHERETHECASEOFAFORWARDMOTIONV0,THEBACKWARDMOTIONBEINGEQUIVALENTBYTHEVIRTUALROBOTTRANSFORMATIONLETUSDENOTEBYX0,Y0,0,V0,0AREFERENCETRAJECTORYANDBYXR,YR,R,VR,RTHEREALMOTIONOFTHESYSTEMWEASSUMETHATTHEROBOTFOLLOWSEXACTLYITSREFERENCETRAJECTORYX,Y,V,X0,Y0,0,V0,0ANDWEFOCUSOURATTENTIONONTHETRAILERRRRRRRRRRRDEVIATION0THEEVOLUTIONOFTHISDEVIATIONISEASILYDEDUCEDFROMSYSTEM1WITHL0SYSTEMAVRLSINSIN0T2V0RCOSSIN22ISTHUSDECREASINGIFF02222（3）OURSYSTEMISMOREOVERCONSTRAINEDBYTHEINEQUALITIES,0（4）SOTHAT0222AND3ISEQUIVALENTTO002ANDOR20（5）0AND22FIGURE4SHOWSTHEDOMAINONWHICHISDECREASINGFORAGIVENVALUEOF0WECANSEETHATTHISDOMAINCONTAINSALLPOSITIONSOFTHETRAILERDEFINEDBYTHEBOUNDS4MOREOVER,THEPREVIOUSCOMPUTATIONSPERMITEASILYTOSHOWTHAT0ISANASYMPTOTICALLYSTABLEVALUEFORTHEVARIABLETHUSIFTHEREALORVIRTUALROBOTFOLLOWSITSREFERENCEFORWARDTRAJECTORY,THETRAILERIS0TRRTTCSCSSWSTABLEANDWILLCONVERGETOWARDITSOWNREFERENCETRAJECTORYFIGURE4STABILITYDOMAINFOR34VIRTUALROBOTFORSYSTEMBWHENTHETRAILERISHITCHEDBEHINDTHEROBOT,THEFORMERCONSTRUCTIONISEVENMORESIMPLEWECANREPLACETHEVIRTUALROBOTBYTHETRAILERINTHISCASEINDEED,THEVELOCITIESOFTHEROBOTV,ANDOFTHETRAILERV,ARECONNECTEDBYAONETOONEMAPPINGTHECONFIGURATIONOFTHEVIRTUALROBOTISTHENGIVENBYTHEFOLLOWINGSYSTEMXRXRLRCOSRLRCOSRYRYRLRSINRLTSINRRRANDTHEPREVIOUSSTABILITYANALYSISCANBEAPPLIEDASWELL,BYCONSIDERINGTHEMOTIONOFTHEHITCHINGPOINTTHEFOLLOWINGSECTIONADDRESSESTHEROBUSTNESSOFOURITERATIVESCHEME35ROBUSTNESSOFTHEITERATIVESCHEMEWEARENOWGOINGTOSHOWTHEROBUSTNESSOFTHEITERATIVESCHEMEWEHAVEDESCRIBEDABOVEFORTHIS,WENEEDTOHAVEAMODELOFTHEPERTURBATIONSARISINGWHENTHEROBOTMOVESLMODELTHEPERTURBATIONSBYABADKNOWLEDGEOFCONSTANTSOFTHESYSTEM,LEADINGTODETERMINISTICVARIATIONSONTHEVECTORFIELDSINOUREXPERIMENTWEOBSERVEDRANDOMPERTURBATIONSDUEFORINSTANCETOSOMEPLAYINTHEHITCHINGSYSTEMTHESEPERTURBATIONSAREVERYDIFFICULTTOMODELFORTHISREASON,WEMAKEONLYTWOSIMPLEHYPOTHESESABOUTTHEMDQS,Q0SDQS,Q0SCS1212121IGOALDIWWHERESISTHECURVILINEARABSCISSAALONGTHEPLANNEDPATH,QANDQ0ARERESPECTIVELYTHEREALANDREFERENCECONFIGURATIONS,DISADISTANCEOVERTHECONFIGURATIONSPACEOFTHESYSTEMAND,AREPOSITIVECONSTANTSTHEFIRSTINEQUALITYMEANSTHATTHEDISTANCEBETWEENTHEREALANDTHEREFERENCECONFIGURATIONSISPROPORTIONALTOTHEDISTANCECOVEREDONTHEPLANNEDPATHTHESECONDINEQUALITYISENSUREDBYTHETRAJECTORYTRACKINGCONTROLLAWTHATPREVENTSTHESYSTEMTOGOTOOFARAWAYFROMITSREFERENCETRAJECTORYLETUSPOINTOUTTHATTHESEHYPOTHESESAREVERYREALISTICANDFITALOTOFPERTURBATIONMODELSWENEEDNOWTOKNOWTHELENGTHOFTHEPATHSGENERATEDATEACHITERATIONTHESTEERINGMETHODWEUSETOCOMPUTETHESEPATHSVERIFIESATOPOLOGICALPROPERTYACCOUNTINGFORSMALLTIMECONTROLLABILITY17THISMEANSTHATIFTHEGOALISSUFFICIENTLYCLOSETOTHESTARTINGCONFIGURATION,THECOMPUTEDTRAJECTORYREMAINSINANEIGHBORHOODOFTHESTARTINGCONFIGURATIONIN9WEGIVEANESTIMATEINTERMSOFDISTANCEIFQANDQARETWOSUFFICIENTLYCLOSECONFIGURATIONS,THELENGTHOFTHEPLANNEDPATHBETWEENTHEMVERIFIES1WHEREISAPOSITIVECONSTANTLPAHTQ,QDQ,Q4THUS,IFISTHESEQUENCEOFCONFIGURATIONSREACHEDAFTERIMOTIONS,WEHAVETHEFOLLOWINGINEQUALITIESQ,QGOALDQQDQ,QCSI1,GOALCSIGOALTHESEINEQUALITIESENSURETHATDISTCSQ,QISUPPERBOUNDEDBYASEQUENCEII1,2OFPOSITIVENUMBERSDEFINEDBYI11D44ANDCONVERGINGTOWARD3AFTERENOUGHITERATIONSTHUS,WEDONOTOBTAINASYMPTOTICALSTABILITYOFTHEGOALCONFIGURATION,BUTTHISRESULTENSURESTHEEXISTENCEOFASTABLEDOMAINAROUNDTHISCONFIGURATIONTHISRESULTESSENTIALLYCOMESFROMTHEVERYGENERALMODELOFPERTURBATIONSWEHAVECHOSENLETUSREPEATTHATINCLUDINGSUCHAPERTURBATIONMODELINATIMEVARYINGCONTROLLAWWOULDUNDOUBTEDLYMAKEITLOSEITSASYMPTOTICALSTABILITYTHEEXPERIMENTALRESULTSOFTHEFOLLOWINGSECTIONSHOWHOWEVER,THATTHECONVERGINGDOMAINOFOURCONTROLSCHEMEISVERYSMALLCSDCSD1D2W4EXPERIMENTALRESULTSWEPRESENTNOWEXPERIMENTALRESULTSOBTAINEDWITHOURROBOTHILARETOWINGATRAILER,FORBOTHSYSTEMSAANDBFIGURES5AND6SHOWEXAMPLESOFFIRSTPATHSCOMPUTEDBYTHEMOTIONPLANNERBETWEENTHEINITIALFIGURE5SYSTEMATHEINITIALANDGOALCONFIGURATIONSANDTHEFIRSTPATHTOBETRACKEDFIGURE6SYSTEMBTHEINITIALANDGOALCONFIGURATIONS,THEFIRSTPATHTOBETRACKEDANDTHEFINALMANEUVERCONFIGURATIONSINBLACKANDTHEGOALCONFIGURATIONSINGREY,INCLUDINGTHELASTCOMPUTEDMANEUVERINTHESECONDCASETHELENGTHSOFBOTHHOOKINGSYSTEMISTHEFOLLOWINGL0,L125CMFORAANDL60CM,L90CMFORBTABLES1AND2GIVETHEPOSITIONOFRTRTINITIALANDFINALCONFIGURATIONSANDTHEGAPSBETWEENTHEGOALANDTHEREACHEDCONFIGURATIONSAFTERONEMOTIONANDTWOMOTIONS,FOR3DIFFERENTEXPERIMENTSINBOTHCASES,THEFIRSTEXPERIMENTCORRESPONDSTOTHEFIGUREEMPTYQCOLUMNSMEANTHATTHEPRECISIONREACHEDAFTERTHEFIRSTMOTIONWASSUFFICIENTANDTHATNOMOREMOTIONWASPERFORMEDCOMMENTSANDREMARKSTHERESULTSREPORTEDINTHETABLES1AND2LEADTOTWOMAINCOMMENTSFIRST,THEPRECISIONREACHEDBYTHESYSTEMISVERYSATISFYINGANDSECONDLYTHEWNUMBEROFITERATIONSISVERYSMALLBETWEEN1AND2INFACT,THEPRECISIONDEPENDSALOTONTHEVELOCITYOFTHEDIFFEREN