自考高数线性代数课堂笔记

羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆袄肆肇芆蚆羂肆莈袂袈肅蒁蚅螄肄蚃蒇膂肄莃螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆膀荿螀肅腿蒁薂羁膈薄螈羇膈莃薁袃膇蒆袆蝿膆薈虿肈膅芈袄羄膄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆肄节芄蒈肀芁蒇蚄羆芀蕿薇袂艿艿螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃莇薅薃衿莆芅蝿螅莅莇薁膃莄薀螇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁罿蒄芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅莅薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈节莁蚂芀肅螀蚁羀莀蚆蚀肂膃薂虿膅荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇蚂螇聿膀薈螆膁莅蒄螅袁膈蒀螄肃蒃莆螃膅芆蚅螂袅蒂薁螂羇芅蒇螁肀蒀莃袀膂芃蚂衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肁莈薀袄膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蚁羁自考高数线性代数课堂笔记自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式1113第一集三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆任何阶数三角形行列式的值为主对角线的三个数之积（二）N阶行列式N阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。12行列式按行（列）展开行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。凡是含零行或零列的行列式，其值必为零。13行列式的性质与计算性质1行列式和它的转置行列式相等，即性质2用数K乘D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于KD。即行列式可以按行和按列提出公因数注意如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式根据这个性质可以得到下面的重要推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。性质5行列式可以按行（列）拆开，即性质6把D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。即定理131N阶行列式零，即的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于，（110），（111）例9计算行列式解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行例10计算行列式1例12计算范德蒙德行列式14克拉默法则定理（克拉默法则）在N个方程的N元一次方程组则N元一次方程组有唯一解。（1）中，若它的系数行列式0推论N元一次齐次方程组（1）若系数行列式D0，（2）若系数行列式D0，方程组只有零解，（2）中则方程组（2）它必有无穷多个非零解。第二章矩阵第2集21矩阵的概念通常用A，B，C等表示矩阵。也可记为A（AIJ）MN或（AIJ）MN或AMN。当MN时，称A（AIJ）NN为称为N阶方阵。它不是一个数，它与N阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。几种常用的特殊矩阵1N阶对角矩阵形如或简写为的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。2数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。特别，当A1时，称它为N阶单位矩阵。N阶单位矩阵记为EN或IN3N阶上三角矩阵与N阶下三角矩阵4零矩阵22矩阵运算221矩阵的相等（同）记为AB。行列式相等与矩阵相等有本质区别222矩阵的加、减法AB（AIJBIJ）MN。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。注意（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别；（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。但是A（AIJ）MN与数量矩阵AEN可以相加矩阵的加法满足下列运算律设A，B，C都是MN矩阵，O是MN零矩阵，则（1）交换律ABBA；（2）结合律（AB）CA（BC）；（3）AOOAA；（4）消去律ACBCAB2223数乘运算数K与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以K，而数K与行列式DN的乘积只是用K乘DN中某一行（列）的所有元素。数乘运算律（1）结合律（KL）AK（LA）KLA，K和L为任意实数。（2）分配律K（AB）KAKB，（KL）AKALA，K和L为任意实数。224乘法运算两个矩阵可以相乘当且仅当A列B行。当CAB时，C行A行，C列B列。矩阵乘法具有以下性质（1）ENAAENA；（2）（AEN）AA（AEN）；（3）在一般情形下，ABBA；（4）当ABO时，一般不能推出AO或BO；（5）当ABAC时，一般不能推出BC。若矩阵A与B满足ABBA，则称A与B可交换。此时，A与B必为同阶方阵。被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。为与A可交换的矩阵，则。解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设由AXXA，可推出X120，X11X22，且X11，X21可取任意值，即得乘法运算律（1）（AB）CA（BC）；（2）分配律（AB）CACBC，A（BC）ABAC。（3）K（AB）（KA）BA（KB），K为任意实数。（4）EMAMNAMN，AMNENAMN。方阵的方幂例11设N阶方阵A和B满足证由方幂的规则AKALAKL，（AK）LAKL，K，L为任意正整数。，证明。可推出B2AEN。再由B2（2AEN）（2AEN）4A24AEN，证得因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于N阶方阵A和B，有以下重要结论（1）（AB）2（AB）（AB）A2ABBAB2A22ABB2ABBA。（2）（AB）（AB）A2ABBAB2A2B2ABBA。（3）当ABBA时必有（AB）KAKBK（4）当AB时，在满足可乘条件下必可推出ACBC，CACB，但未必有ACCB，CABC。因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于N阶方阵A和B，有以下重要结论（1）ABO，AO不能推出BO；（2）由A2O不能推出AO；（3）由ABAC，AO不能推出BC。（4）由A2B2不能推出AB225矩阵的转置把NM换成NM，称为A的转置矩阵，记AT或A，转置运算律（1）（AT）TA；（2）（AB）TATBT；（3）（KA）TKAT，K为实数；（4）（A1A2AN）TANTAN1TA1T若ATA，则称A为对称矩阵；若ATA，则称A为反对称矩阵。例16证明任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。证取其中则AXYXX是对称阵。Y是反对称阵。226方阵的行列式矩阵与行列式的区别（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数。（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。（3）对于不是方阵的矩阵不可以取行列式。3方阵的行列式性质（1）；（2）；（3）。（行列式乘法规则）；|AB|A|B|任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。227方阵多项式任意给定一个多项式和任意给定一个N阶方阵A，都可以定义一个N阶方阵，称F（A）为A的方阵多项式。注意在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例22设，求F（A）解23方阵的逆矩阵第三集,即。满足则称A是可逆矩阵,不满足则为不可逆矩阵可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数K0，则（1）为可逆矩阵，且（2）（3）（与转置类似）（4）（5）（6）（7）若A可逆且ABAC，则有消去律BC对角阵的逆矩阵等于其原元素的倒数；如果A20，IA1IA；若A是可逆的，则A1是唯一的。如何判定一个给定方阵是否可逆呢定义232设，为的元素的代数余子式（I,J1,2,N），则矩阵称为A的伴随矩阵，记为。（27）类似可得（28）N阶方阵A为可逆矩阵。由14节中的定理141可得求逆矩阵公式例1若解。当N3时，计算量很大，不宜使用，而用初等行变换来计算参考254。，求例4设A为N阶方阵，则例5若解（1）（2）例6设A是3阶方阵且解（1）。证由知道。当时，显然有。求A的逆矩阵和AE的逆矩阵。，求（1）（2）（3）（4）4（2）（3）（4）24分块矩阵对于任意一个MN矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法行向量表示法、列向量表示法。分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。241分块矩阵的加法把MN矩阵A和B作同样的分块例1设的值。，则都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式解根据分块矩阵加法的定义知道，242数乘分块矩阵数K与分块矩阵243分块矩阵的转置“内外一起转”的乘积为设则其转置矩阵为244分块矩阵的乘法和分块方阵求逆设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B的对应的子块。例4对于矩阵，用分块矩阵计算AB。方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类（凡空白处都是零块）（1）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。（2）两个准对角矩阵的乘积设是同阶方阵，则（3）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵5可逆，并且重要结论上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积，即25矩阵的初等变换与初等方阵251初等变换（I）交换A的某两行（列）。（II）用一个非零数K乘A的某一行（列）。（III）把A中某一行（列）的K倍加到另一行（列）上。定义251若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为性质。（1）反身性（2）对称性若则矩阵之间的等价关系有以下三种则（3）传递性若252初等方阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。我们对N阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类N阶初等方阵。有下面的定理。定理251PIJ左（右）乘A就是互换A的第I行（列）和第J行（列）DI（K）左（右）乘A就是用非零数K乘A的第I行（列）。TIJ（K）左乘A就是把A中第J行的K倍加到第I行上。TIJ（K）右乘A就是把A中第I列的K倍加到第J列上。253矩阵的等价标准形定理252任意一个MN矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的MN矩阵。这是一个分块矩阵，其中ER为R阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。称其为A的等价标准形。初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理252可以等价地叙述为定理252对于任意一个MN矩阵A，一定存在M阶可逆矩阵P和N阶可逆矩阵Q，使得254用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵第4集用初等行变换把（A，EN）化为（EN，A1），如果前N列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。注意用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换，而且在求出A1以后，最好验证式子AA1EN。变换过程是先把第一列变好，再变第二列，以此类推。255用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类（1）设A是N阶可逆矩阵，B是NM矩阵，求出矩阵X满足AXB原理AXB时方法用初等行变换把分块矩阵（A，B）化成（E，A1B）即公式（A，B）（E，A1B）则XA1B例4求解矩阵方程。（2）设A是N阶可逆矩阵，B是MN矩阵，求出矩阵X满足XAB。解由方程XAB（方法）（AT，BT）（EN，（BA1）T）（AT，BT）（E，XT）先求XT，再求X。例5求解矩阵方程6XAA1BA1，解为XBA1（而不可以写成XA1B）。1关于矩阵方程的另一种常用求解方法是先求出逆矩阵A，然后，求出AXB的解XA1B，或者XAB的解XBA126矩阵的秩第4集方法一定义261在MN矩阵A中，非零子式的最高阶称为A的秩，记为R（A）。所谓非零子式的最高阶数指的是，在所有的不等于零的那些子式中，阶数最高的子式的阶数有一个就行例2显然，的秩序为R定理1对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩。推论设A为MN矩阵，P和Q分别为M阶和N阶可逆矩阵，则R（PA）R（A），R（AQ）R（A）。要确定非零子式的最高阶数，可以采用阶梯形矩阵方法二定义262满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵R（A）R（T）“T”中非零行的行数。定理262对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵。注在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也可以用初等列变换。而且不必化成简化行阶梯形矩阵矩阵的秩，有以下结论。（1）设A（AIJ）MN,则R（A）MINM,N。（2）R（AT）R（A）,实际上，A与AT中的最高阶非零子式的阶数必相同。所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。（3）N阶方阵A为可逆矩阵27矩阵与线性方程组在求解齐次线性方程组时，可利用矩阵的初等行变换，将其系数矩阵化为简化行阶梯矩阵，得出易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。对于非齐次线性方程组，我们可以利用矩阵的初等行变换把它的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程的解。下面利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。定理271N元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A（AIJ）MN的秩R（A）N。说明A的秩R（A）K时表示方程组中有效的保留方程个数也是K。R（A）N表示保留下来的有效方程个数未知数个数N，所以有自由未知数，因而解有无穷多，当然有非0零解。推论1含有N个方程的N元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。推论2若方程组AX0中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。事实上，方程组的系数矩阵的秩不超过其行数，即方程的个数，所以R（A）MN。第三章向量空间31N维向量概念及其线性运算311N维向量及其线性运算向量的运算满足下列8条运算律设，都是N维向量，K，L是数，则（1）；（加法交换律）（2）（）（）；（加法结合律）（3）0；（4）（）0（5）1；（6）K（）KK；（数乘分配律）（7）（KL）KL；（数乘分配律）（8）（KL）K（L）。（数乘向量结合律）312向量的线性组合71向量的线性组合例1设（2，1，3），（1，3，6），（2，1，4），求向量23。解232（2，1，3）3（1，3，6）（2，1，4）（4，2，6）（3，9，18）（2，1，4）定义向量组1（1，0，0，0），2（0，1，00），N（0，0，0,1），其中每一个向量只有一个分量为1，其余分量为0，叫标准单位向量组。显然，任何一个向量都可以表示为标准单位向量组的线性组合。2向量的线性表出关系例4（1）因为（2，4，6）2（1，2，3，），所以（2，4，6）可用（1，2，3）线性表出2。3线性组合的矩阵表示法向量（B1，B2，AN1）T可用向量组1（A11，A21，AN1）T，,M（A1M，A2M，ANM）T线性表出的充分必要条件是存在M个数K1，K2，KM使得K11K22KMM（31）于是满足（31）式的表出系数K1,K2，KM就是线性方程组AX的解。若方程组（32）有惟一解，则表明可用1，2，M线性表出，且表示法是惟一的若方程组（32）有无穷多解，则表明可用1，2，M线性表出，且表示法不惟一若方程组（32）无解，则表明不能用1，2，M线性表出。如果1，2，M和都是N维行向量，此时必须构造NM矩阵成列向量再依次存放构造出矩阵A，则4表出系数求法举例例5问（1,1,5）T能否表示成1（1,2,3）T，2（0,1,4）T，3（2,3,6）T的线性组合解设线性方程组为X11X22X33能否表示成1，2，3的线性组合，取决于该方程是否有解，对它的增广矩阵施行行初等变换，得，即把所给的行向量全部转置有解。，X11X22X33的同解方程组TXD就是它的惟一的解就是X11,X22,X31,所以可以惟一地表示成1,2,3的线性组合，且1223例6问（4,5,5）能否表示成1（1,2,3），2（1,1,4），3（3,3,2）的线性组合解考察线性方程组用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵，方程组的同解方程组为取X3K，则有（32K）1（K1）2K3，K可任意取值。32线性相关与线性无关定义321设1，2，M是M个N维向量，如果存在M个不全为零数K1，K2，,KM，使得K11K22KMM0。则称向量组1，2，M线性相关，称K1，K2，KM为相关系数，否则，线性无关。D1,D2,DK经初等行变换为阶梯阵，若阶梯阵非零行的行数向量向量组线性相关；或阶梯阵非零行的行数向量向量组线性无关。结论（1）含有零向量的向量组一定线性相关。（2）单个向量A线性相关0；单个向量A线性无关0（3）两个向量的向量组，线性相关与的分量