导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX21XLN1X2导数的运算法则法则1VU法则2若C为常数,则VCU法则3（V0）。U23复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）（3）（4）SIN25XY321XXY4COS21SINXXYX3、导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率。也就是说，曲000线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。00相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。0例曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）32FX0P41YX0PABC和D和1,0,81,2,81,4四、导数的应用1函数的单调性与导数（1）如果，则在此区间上为增函数；FX0XF如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。F0XXF例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,2极点与极值曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例函数已知时取得极值，则,9323XAXF3XF在AA2B3C4D53最值在区间A，B上连续的函数F在A，B上必有最大值与最小值。但在开区间（A，B）内连续函数F（X）不一定X有最大值，例如。3,1,F函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是_13XF（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练组一、选择题3函数的递增区间是（）3YXABCD,01,14,若,则的值等于（）32FXA4FAABCD19633106函数在区间上的最小值为（）34XY2,ABCD72610二、填空题1若，则的值为_；30,FXF0X2曲线在点处的切线倾斜角为_；Y431,33函数的导数为_；SINX4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_；YL,1ME5函数的单调递增区间是_。523X三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。610Y325YX3求函数在区间上的最大值与最小值。5431FXX4,4已知函数，当时，有极大值；23BXAY13（1）求的值；（2）求函数的极小值。,Y经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图XFYXFXFXFY象大致是例2已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为DAXBXF231,F076YX（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间XFXFY例4设函数，已知是奇函数。32FBCXRGF（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。求A、B的值。CBXA2332例7已知函数其中223,XFXAERA（1）当时，求曲线处的切线的斜率；01YFF在点（2）当时，求函数的单调区间与极值。3X导数知识点归纳及应用教师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX21XLN1X解析A错，XB正确，LOG2XLXC错，3X3XLN3D错，X2COSX2XCOSXX2SINX2导数的运算法则法则1VU法则2若C为常数,则VCU法则3（V0）。U23复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）（3）（4）SIN25XY321XXY4COS21SINXXYX解1,SINSIN232251XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SISI21XY（4），XXX121122Y4、导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率。也就是说，曲000线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。00相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。0例曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）32FX0P41YX0PABC和D和1,0,81,2,81,4四、导数的应用1函数的单调性与导数（1）如果，则在此区间上为增函数；FX0XF如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。F0XXF例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,解析由0，当时，0，X/F/XF1/XF故的极小值、极大值分别为，F3F、而1073F、故函数在3，0上的最大值、最小值分别是3、17。XF（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练组一、选择题3函数的递增区间是（）3YXABCD,01,14,若,则的值等于（）32FXA4FAABCD19633106函数在区间上的最小值为（）34XY2,ABCD72610二、填空题1若，则的值为_；30,FXF0X2曲线在点处的切线倾斜角为_；Y431,33函数的导数为_；SINX4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_；YL,1ME5函数的单调递增区间是_。523X三、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。610Y325YX3求函数在区间上的最大值与最小值。5431FXX4,4已知函数，当时，有极大值；23BXAY13（1）求的值；（2）求函数的极小值。,Y（数学选修11）第一章导数及其应用基础训练A组一、选择题3C对于任何实数都恒成立210YX4D1036,364,3FAFA6D4,1,0YXYXXYXY令当时当时得而端点的函数值，得1|0,X极小值23|7|2XXYMIN二、填空题12003,1F2342134,|TAN,4XYXKY32COSINX22SIICOSINXX41,0EY111,|,XEKYEY5,3253503X令得或三、解答题1解设切点为，函数的导数为,PAB32YX26YX切线的斜率，得，代入到2|6XAK1A325X得，即，。31,33,0YXY3解,520524XXF当得，或，或，X，01,41,431,4列表又；右端点处；0,10FF4265F函数在区间上的最大值为，最小值为。5345XXY1,26504解（1）当时，2,AB1|30,|3XXYABYABX,00,FX1即320,6,9ABB（2），令，得322,18YXYX0Y,1X或0|X极小值经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的XFYXFXFXFY图象大致是解析由函数的图象可知XFY当时，0，此时增1XXF当时，0，0，0，此时增1FXF故选C例2已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为DAXBF231,F076YX（）求函数的解析式；XF（）求函数的单调区间Y解（）由的图象经过P（0，2），知D2，XF所以,23CBF2XX由在处的切线方程是，知1,FM076YX1,076FF即3,03211623CBCBCB解得即故所求的解析式是223XXF（）012,03662XXF即令解得当1,21,1FXX时或当0,FX时故内是增函数，2,323在F在内是减函数，在内是增函数1,1例4设函数，已知是奇函数。32FXBCXRGXFX（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C解（），。从而32F23FBC是2GXXCXX32XCBX一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；0G（）由（）知，从而，由此可知，366G和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；,2,G在时，取得极大值，极大值为，GX42在时，取得极小值，极小值为。例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。CBXA233（1）求A、B的值。解（1）由题意F/（X）的两个根分别为1和232由韦达定理，得1，3A321B则，2AB例7已知函数其中22,XFXAERA（3）当时，求曲线处的切线的斜率；0A1,YFXF在点（4）当时，求函数的单调区间与极值。23解（I）3122EFEXXFEXF，故，时，当31,FY处的切线的斜率为在点所以曲线（II）422XEAXAX2320AF知，由，或，解得令以