2014-2015学年高二数学教案：14《柱坐标系与球坐标系简介》（新人教a版选修4-4）

四柱坐标系与球坐标系简介课标解读1了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置2知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题1柱坐标系图141如图141所示，建立空间直角坐标系OXYZ设P是空间任意一点它在OXY平面上的射影为Q，用，0,02表示点Q在平面OXY上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组，ZZR表示建立了空间的点与有序数组，Z之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组，Z叫做点P的柱坐标，记作P，Z，其中0,02，ZR2球坐标系图142建立如图142所示的空间直角坐标系OXYZ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|R，OP与OZ轴正向所夹的角为设P在OXY平面上的射影为Q，OX轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为这样点P的位置就可以用有序数组R，表示这样，空间的点与R，之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系有序数组R，叫做点P的球坐标，记做PR，其中R0,0，023空间直角坐标与柱坐标的转化空间点PX，Y，Z与柱坐标，Z之间的变换公式为ERRORERROR4空间直角坐标与球坐标的关系空间点PX，Y，Z与球坐标R，之间的变换公式为ERRORERROR1要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离2在柱坐标系中，方程1表示空间中的什么曲面在球坐标系中，方程R1分别表示空间中的什么曲面【提示】1表示以Z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程R1表示球心在原点的单位球面3空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些【提示】1柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面XOY内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置2空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组点的柱坐标与直角坐标互化1设点M的直角坐标为1,1,1，求它的柱坐标系中的坐标2设点N的柱坐标为，求它的直角坐标【思路探究】1已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式ERROR求出，即可2已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式ERROR求出X，Y，Z即可【自主解答】1设M的柱坐标为，Z，则由ERROR解之得，24因此，点M的柱坐标为，1242设N的直角坐标为X，Y，Z，则由ERROR得ERRORERROR因此，点N的直角坐标为，0，1由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为，Z，代入变换公式ERROR求；也可以利用2X2Y2，求利用TAN，求，在求的YX时候特别注意角所在的象限，从而确定的取值2点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标12，3；2，55624【解】设点的直角坐标为X，Y，Z1ERROR因此所求点的直角坐标为，1,332ERROR故所求点的直角坐标为1,1,5将点的球坐标化为直角坐标已知点M的球坐标为2，求它的直角坐标3434【思路探究】球坐标XRSINCOS，YRSINSIN，ZRCOS直角坐标【自主解答】设点的直角坐标为X，Y，Z则ERROR因此点M的直角坐标为1,1，21根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标R，中角，的边与数轴OZ，OX的关系，注意各自的限定范围，即0，022化点的球坐标R，为直角坐标X，Y，Z，需要运用公式ERROR转化为三角函数的求值与运算若例2中“点M的球坐标改为M3，”，试求点M的直角坐标5653【解】设M的直角坐标为X，Y，Z则ERROR点M的直角坐标为，34334332空间点的直角坐标化为球坐标图143已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图2143所示，建立空间直角坐标系AXYZ，AX为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标【思路探究】先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标【自主解答】点C1的直角坐标为1,1，2设C1的球坐标为R，其中R0,0，02，由XRSINCOS，YRSINSIN，ZRCOS，得R2X2Y2Z2122212由ZRCOS，COS，224又TAN1，YX4从而点C1的球坐标为2，441由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为R，再利用变换公式ERROR求出R，2利用R2X2Y2Z2，TAN，COS特别注意由直角坐标求球坐标时，应YXZR首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标【解】易知C的直角坐标为1,1,0设点C的柱坐标为，0，球坐标为R，其中0，021由于X2Y212122又TAN1，YX4因此点C的柱坐标为，0242由RX2Y2Z2121202COS0，ZR2故点C的球坐标为，224柱坐标系、球坐标系的应用已知点P1的球坐标是P12，P2的柱坐标是P2，1，求|P1P2|33466【思路探究】可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离【自主解答】设P1的直角坐标为P1X1，Y1，Z1，则ERRORP1的直角坐标为，3223223设P2的直角坐标为P2X2，Y2，Z2，则ERRORP2的直角坐标为，132262|P1P2|032262231230102柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决在球坐标系中，求两点P3，Q3，的距离64634【解】将P、Q两点球坐标转化为直角坐标设点P的直角坐标为X，Y，Z，则ERRORP，324324332设点Q的直角坐标为X，Y，Z则ERROR点Q，324324332|PQ|324324232432423323322，322即P、Q两点间的距离为322教材第17页思考1给定一个底面半径为R，高为H的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置2013长春检测在柱坐标系中，点M的柱坐标为2，则235|OM|_【命题意图】本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画【解析】设点M的直角坐标为X，Y，Z由，Z2，知235XCOS2COS1，Y2SIN23233因此|OM|X2Y2Z23123252【答案】31在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2，3，P在XOY平面上的射影为Q，则4Q点的坐标为A2,0,3B2，04C，3D，02424【解析】由点的空间柱坐标的意义可知，选B【答案】B2已知点A的柱坐标为1,0,1，则点A的直角坐标为A1,1,0B1,0,1C0,1,1D1,1,1【解析】XCOS1COS1，YSIN0，Z1直角坐标为1,0,1，故选B【答案】B3已知点A的球坐标为3，则点A的直角坐标为22A3,0,0B0,3,0C0,0,3D3,3,0【解析】X3SINCOS0，Y3SINSIN3，Z2COS22220，2直角坐标为0,3,0故选B【答案】B4设点M的直角坐标为1,1，则点M的柱坐标为_，球坐标为_2【解析】由坐标变换公式，可得，TAN1，点1,1X2Y22YX4在平面XOY的第一象限，R2X2Y2Z2121222由RCOSZ，2得COS，2R224点M的柱坐标为，球坐标为2，24244【答案】，2，24244时间40分钟，满分60分一、选择题每小题5分，共20分1空间直角坐标系OXYZ中，下列柱坐标对应的点在平面YOZ内的是A1，2B2，023C3，D3，4662【解析】由P，Z，当时，点P在平面YOZ内2【答案】A2设点M的直角坐标为2,0,2，则点M的柱坐标为A2,0,2B2，2C，0,2D，222【解析】设点M的柱坐标为，Z，2，TAN0，X2Y2YX0，Z2点M的柱坐标为2,0,2【答案】A3在空间球坐标系中，方程R20，02表示2A圆B半圆C球面D半球面【解析】设动点M的球坐标为R，由于R2，0，02动2点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面【答案】D4已知点M的直角坐标为0,0,1，则点M的球坐标可以是A1,0,0B0,1,0C0,0,1D1，0【解析】设M的球坐标为R，则R1，0，X2Y2Z2又COS1，0ZR故点M的球坐标为1,0,0【答案】A二、填空题每小题5分，共10分5已知点M的球坐标为4，则点M到OZ轴的距离为_434【解析】设M的直角坐标为X，Y，Z，则由R，4，434知X4SINCOS2，434Y4SINSIN2，434ZRCOS4COS242点M的直角坐标为2,2,22故点M到OZ轴的距离222222【答案】226已知点M的球坐标为4，则它的直角坐标是_，它的柱坐标是434_【解析】设M的直角坐标为X，Y，Z，柱坐标为，Z则XRSINCOS4SINCOS2，434YRSINSIN4SINSIN2，434ZRCOS4COS242点M的直角坐标为2,2,22又ERROR解之得2，Z22342点M的柱坐标为2，22342【答案】2,2,22，222342三、解答题每小题10分，共30分7已知点P的柱坐标为，5，点B的球坐标为，求这两个点的直角24636坐标【解】设点P的直角坐标为X，Y，Z，则XCOS1，24222YSIN1，Z524设点B的直角坐标为X，Y，Z，则XSINCOS，63663232364YSINSIN，63663212324ZCOS6361262所以点P的直角坐标为1,1,5，点B的直角坐标为，364324628在柱坐标系中，求满足ERROR的动点M，Z围成的几何体的体积【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1,02，0Z2的动点M，Z的轨迹如图所示，是以直线OZ为轴，轴截面为正方形的圆柱圆柱的底面半径R1，H2，VSHR2H29经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80，纬度为75试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立球坐标系由已知航天器位于经度为80，可知8049由航天器位于纬度75，可知，9075