第2章 统计学正交试验设计

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蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃蒈肃羄芃蚃罿肃莅蒆袅肂蒈蚂螁肂膇蒅蚇肁莀蚀肆肀蒂薃羁聿薄螈袇肈芄薁螃肇莆螇虿膆蒈蕿羈膆膈螅袄膅芀薈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅膂芅葿羁膁莇蚄袇膀葿蒇螃芀腿蚃虿艿芁蒅羇芈莄蚁羃芇薆蒄衿芆芆蝿螅芅莈薂肄芄蒀螇羀芄薃薀袆莃节螆螂罿莄蕿蚈羈蒇螄肆羈芆薇羂羇荿袂袈羆蒁蚅螄羅薃第2章正交试验设计教学目标1正确理解正交设计的基本原理和用途2熟练掌握正交设计的基本方法和步骤3对正交试验结果进行正确的统计分析在食品科学研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素数少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难以实施。这就需要在试验设计上想办法，寻求一种既经济合理又易于实施试验设计方法。正交设计（ORTHOGONALDESIGN）就是安排多因素多水平试验、寻求最优水平组合的一种高效率的试验设计方法。21正交设计的概念及原理211正交设计的概念正交设计是利用正交表ORTHOGONALLAYOUT来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它利用从试验的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。【例21】大豆膳食纤维制备试验中，研究影响大豆膳食纤维提取率的因素有3个A因素是氢氧化钠浓度，设A1、A2、A33个水平；B因素是提取温度，设B1、B2、B33个水平；C因素是提取时间，设C1、C2、C33个水平,试确定试验点。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。如果试验方案包含各因素的全部水平组合，即进行全面试验（OVERALLEXPERIMENT），可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。这是全面试验的优点。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。正交设计的基本特点是用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对试验因素的各种互作效应一一分析；当试验因素间存在交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交设计有此不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受科研工作者的青睐。212正交设计的基本原理在试验中，每个试验因素在变化的范围内选几个水平，就好比是在试验空间（选优区）内打上网格，如果网上的每个交点都做试验，就叫做全面试验。【例21】中，3个因素的试验空间（选优区）可以用一个立方体表示（见图21），3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个网图21试验点的分布格点，反映在图21上就是立方体内的27个交点。若27个网格点都试验，就是全面试验。全面试验自然能反映试验空间内的全面情况，但试验的点数往往太多。3因素3水平的全面试验点数为3327个，4因素3水平的全面试验点数为3481个，5因素3水平的全面试验点数为35243个，这在试验中常常是不可能做到的。那么能否用少量的试验点（水平组合）在试验空间中铺开而又保持全面试验的某些特点呢正交设计就是这样一种试验方法。图21中标有试验号的九个“”，就是按正交表从27个试验点中挑选出来的9个试验点（见图21、表21）。49L表21A、B、C3因素各水平的均衡组合B1B2B3A1A2A3A1B1C1A2B1C2A3B1C3A1B2C2A2B3C1A3B2C1A1B3C3A2B2C3A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C三个因素来说，是在27个全面试验点中只做9个试验，仅仅是全面试验的三分之一。从图21中可以看到，9个试验点在试验空间内的分布是均衡的。在立方体的每个平面上，都恰有三个试验点；而且立方体的每条线上也恰有一个点。9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映试验空间内的大致情况。22正交表221正交表正交拉丁方的自然推广在【例21】中，为了书写简便，可将上面的试验设计简写为表22。表223因素3水平的拉丁方BCA123123123231312由表22中的右下角大方块中可以发现每一行、每一列中，1、2、3正好各出现一次，具有这种性质的方块叫拉丁方LATINSQUARE。如果我们还要考虑另一个3水平因素D，能否仍保持上述要求而又不增加试验次数呢实际上是可行的，只是D的拉丁方和C的不一样，只要使两个拉丁方之间搭配均匀即可，设计如表23所示。表234因素3水平的拉丁方BCDA123123112332223113331221因为D的3个水平组成的是另一拉丁方，所以它和A、B、C之间的搭配都是均衡的。可以验证这样安排，4个因素中每两个因素的各水平都碰且只碰一次，即是两两全面试验。表23中的右下角是D的3个水平和C的3个水平各碰一次，既无重复又无遗漏。这是由C和D的拉丁方重叠而成的,具有这种性质的两个拉丁方叫正交拉丁方（ORTHOGONALLATINSQUARE）。表23中C和D的拉丁方即是两两正交的。所以，这样安排的9个试验点能很好地代表4因素3水平的全面试验（3481个试验点）。将上述用正交拉丁方安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外一种形式，即表24所示的形式，就成为一张正交表表25。同理，由此可以得到一系列正交表。9L表24表23试验编号BCDA123123112332223113331221表25正交表L934因素处理号ABCD123456789111222333123123123123231312123312231正交表与正交拉丁方的关系正交表是正交拉丁方的自然推广，但并不都是由正交拉丁方转变而来的。在拉丁方的安排中行数与列数相等组成正方形，即试验的次数一定等于正整数的平方，但并不是每个正整数都有正交拉丁方，如66的正交拉丁方就不存在，而正交表却不一定，试验次数并非都是正整数的平方。正交表还能考察互作效应，而用拉丁方安排试验通常只能考察主效应。222正交表的符号表示由于正交设计安排试验、分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。一般，正交表由符号表示。其中表示正交表，是LATIN的第一个字母；N为试验点LQNTL数，即正交表行数；T为因素的水平数，即一列中出现不同数字的个数；Q为最多能安排的因素数，即正交表的列数。显然，括号内的表示Q个因素、每个因素T个水平的全面试验的水平组合数（即处理数）。T因为在正交表中被安排的因素数不能大于Q，所以为最小部分实施PARTLYEXECUTED。例如，QN记号为正交表,其符号和数字的意义是“L”代表正交表；L右下角的数字“9”表示有9493行，用这张表安排的试验有9个处理（水平组合），括号内的底数“3”，表示因素的水平数，即正交表中只出现“1”、“2”和“3”3种数字，可以安排3水平的因素；括号内3的指数“4”，表示有4列，表示用这张正交表最多可以安排4个因素的试验。4因素3水平的全面试验处理数为3481个，而用表安排试验只需实施其中的9个，故其最小部分实施为9/811/9。当Q和49T增加时，在下降，节省试验次数的效果则更明显。QNT非等水平正交表表示为、等,前者表示该正交表有N行，、12LQNT312QQNTT1T水平的列分别有、列，后者表示该正交表有N行，、水平的列分别有、2T12123T2列，它们各代表一个具体的数字表格，又称混合型正交表。3当用非等水平正交表如安排试验时，则所安排的因素数应不大于，且水12QNT1Q1T平的因素数不大于，水平的因素数不大于，最小部分实施为。122Q12QNT任何一个正交表与其代表的具体表格，都是相互对应的。L223常用正交表的分类及性质2231正交表的分类（1）标准表2水平L423，L827，L16215，3水平L934，L27313，L81340，4水平L1645，L64421，L256485，5水平L2556，L125531，L6255156，凡是标准表，水平数都相等，且水平数只能取素数或素数幂完全由拉丁方而来。因此有7水平，9水平的标准表，没有6水平，8水平的标准表。利用标准表可以考察试验因素的互作效应。对于同一水平即T相等的标准表，其任意2个相邻表，都具有如下关系标准表的构造特点是显然，只要水平数T确定，那么第I张标准表就随之确定。可见T是构造标准表的重要参数。对于任何水平的标准表，I0时确定一个最小号的正交表，它的试验号（即行数）都是水平数的平方，且列数都比水平数多一。（2）非标准表2水平表L12211，L20219，L24223，L28227其它水平表L1837，L3249，L50511非标准表是为缩小标准表试验号的间隔而产生的，它虽是等水平表，却不能考察因素的互作效应。2水平非标准表的构造特点是3且为非2的幂次方的自然数2TINI1Q它表明除了2水平标准表的行数之外，所有能被4整除的正整数都能成为2水平非标准表的行数，且列数Q总比行数N少1。（3）混合型表L84124；2110,13IINTIQ22220,1231IIIIINTITQL123124，L126122；L1641212，L164229，L164326，L164423，L16828；L182137，L186136；L205128，L2010122；L2431216，L24121212，L24314124；L24614123；L3221410，L328149；混合型正交表大致可分为两种情况着重考察的因素须多取水平。例如L84124为着重考察1个因素的，L24314124为着重考察2个因素的。某一因素不能多取水平，如L182137。显然，混合型正交表可包含多个水平不等的因素。一般说来，混合正交表不能考察因素的互作效应，但其中一些由标准表通过并列法改造而得到的，如L8424由L827并列得到，可以考察互作效应，但须回到原标准表上进行。混合型正交表除了可由并列法改造之外，并无一定规律可循。它也是应用广泛的一类正交表。2232正交表的性质1正交性正交表的正交性ORTHOGONALITY是均衡分布的数学思想在正交表中的实际体现。正交性的主要内容是1任何1列中各水平都出现，且出现次数相等。2任意2列间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。我们来具体考察正交表的正交性。由附表4中的正交表可以看到表中每列78L78L2的不同数字1，2都出现，且在每列中都重复出现4次。这种重复称为隐藏重复。正是这种隐藏重复，增强了试验结果的可比性。第1、2两列间各水平所有可能的组合为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共四种。这就是该两列因素全面试验的组合处理，它们都出现且都分别出现2次。显然，任意两列间情况都是如此。上述正交性的2条内容，是判断一个正交表是否具有正交性的条件。正交性是所有正交表的共同特性。正交表的正交性保证了利用正交表安排的部分试验具有代表性和综合可比性。2代表性代表性的含义之一是在正交表的正交性中1任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平。2任意2列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。因此，在部分试验中，所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然正交表安排的是部分试验，却能够了解全面试验的情况。从这个意义上讲，部分试验可以代表全面试验。代表性有时又称为均衡分散性。另一方面，由于正交表的正交性，使部分试验点必然均衡地分布在全面试验的试验空间中。如图21正交试验点的代表性立体方块图所有9个面上，每个面上均有3个试验点；所有27条棱线，每条线上均有1个试验点，所有的9个试验点不偏不倚，具有很强的代表性。因此，部分试验的优化结果与全面试验的优化结果应有一致的趋势，这就为寻找最有的水平组合提供了依据。3综合可比性由于在正交表的正交性当中1任一列各水平出现的次数都相等。2任2列间所有可能的组合出现的次数都相等。因此，使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地排除其它因素的干扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。正交表的3个基本性质中，正交性是核心、是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。正交表集其3个性质于一体，成为正交试验设计的有效工具，因而实际应用越来越广。224正交表的交互作用列多因素试验时经常碰到交互作用的问题。交互作用是指因素间的联合搭配而产生的对试验指标的影响作用，它是试验设计中一个重要概念。试验设计中，交互作用记作AB、ABC，AB称为1级交互作用，表明因素A、B之间有交互作用。ABC称为2级交互作用，表明因素A、B、C三者之间有交互作用。同样，若P1个因素间有交互作用，就称为P级交互作用，记作ABC（P1个）。2级和2级以上的交互作用统称为高级交互作用。在表中，第1列是将4个试验分成两半，前一半是水平1，后一半是水平2，这一列34L称为二分列见表26。第2列是将第1列的2个水平1，2个水平2，再分成1个水平1，1个水平2，称为四分列。这种列称为基本列。第3列是第1、2列的交互列。若将数字1看作“”，2看作“”，两个数字搭配看作是相乘，则由正、负数乘法的符号法则有1,111,222,122,21这正好就是第三列，说明的第三列就是AB，实际上在中，任意两列的交互34L234L2列就是另外一列。表26L423表因素处理号ABAB11111，121221，232122，142212，2现在来看一看的情况见表27。78L表27L827表1234567处理号ABABCACBCABC1234567811112222112211221，111，111，221，222，122，122，212，21121212121，111，221，111，222，122，212，122，211，111，222，122，211，111，222，122，2112212112表中第1列为二分列，第2列为四分列，第4列为八分列，这三列是基本列，分别记上A、B、C。然后将这三列进行搭配，则第3列为AB，第5列为AC，第6列为BC。再将第1列与第6列、第3列与第4列或第2列与第5列搭配，即ABC、ABC或BAC，则可知第7列为高级互作ABC。同理，中任意两列的交互作用列是其它某一列，这个可以通过表28或者附表中的8L2“二列间的交互作用表”查出来。至于多水平的交互作用列确定原理较复杂，这里从略。实际应用中，只要通过查阅与所用正交表对应的交互作用列表及有关表头设计表，则可安排考察交互作用的正交设计了。表28L827两列间交互作用列表1234567列号1322135674476157452366543217123456723正交设计的基本步骤正交试验设计简称正交设计的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下第一步明确试验目的，确定考核指标。第二步挑因素，选水平。第三步选择合适的正交表第四步进行表头设计。第五步确定试验方案。第六步试验结果分析。现用具体例子说明如下。【例22】硫酸法提取鲤鱼抗菌精蛋白试验,以不同浓度的硫酸溶液在不同温度和时间条件下提取抗菌精蛋白，且每个因素都取4水平（具体见表29）。并以所提取鲤鱼抗菌精蛋白的抗菌活性为测定指标，以评价提取的效果。231明确试验目的，确定试验指标试验目的，就是通过正交试验要想解决什么问题。试验前，应根据实际情况，确定这次试验主要解决哪一个或哪几个问题，针对这一个或几个问题确定出相应的试验指标。试验指标就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而复杂的研究工作。在【例22】中，试验目的就是要寻求一个最佳的鲤鱼抗菌精蛋白的提取工艺，可用所提取鲤鱼抗菌精蛋白的抗菌活性作为本试验的试验指标，并且它是一个定量指标。232挑因素，选水平试验指标确定了以后，挑选对试验指标影响大、有较大经济意义，而又了解不够清楚的因素来研究。并根据生产经验和专业知识，定出它们的范围，在范围内选出每个因素的水平，列出因素水平表。在【例22】中，影响鲤鱼抗菌精蛋白抗菌活性的因素有硫酸浓度、提取温度和提取时间，分别用A、B、C表示，并且每个因素都取4水平。于是，就可以列出本试验的因素水平表（见表29）。表29硫酸法提取鲤鱼抗菌精蛋白试验因素水平表ABC水平硫酸浓度/提取温度/提取时间/H1500127510231002034125304引自江西农业大学食品学院。233选择合适的正交表确定好因素和水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。一般可从以下几点来考虑1水平数。水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数。此例3个因素均为4水平，可选、等。4L51621642因素数。因素的个数（包括交互作用）不大于正交表记号中括号内的指数。此例考察3个因素，若不考察其交互作用，可选用；若要考察交互作用，则选用较大的正交4L5164L216表。3试验的次数。若试验要求精确度高，可选用试验次数多的正交表，若试验周期长或费用大，精确度要求不太高时，可选用试验次数少的表。一般条件下应选试验次数少的表,此例可选。4L5164要考察的因素及交互作用的自由度总和小于所选正交表的总自由度。满足这一条是为了在方差分析时能估计试验误差。本例不考察各因素间的交互作用时，各因素的自由度分别为A因素的自由度413，B因素的自由度413，C因素的自由度413，各因素的自ADFBDFCDF由度之和3339，而正交表的总自由度为16115,所以选用C4L516T是合适的。当因素和交互作用自由度总和等于所选正交表总自由度时，则采用有重复的正4L516交试验，以估计试验误差的大小。234进行表头设计正交表选好后，就可以进行表头设计。所谓表头设计，就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。1只考察主效应，不考察互作效应的表头设计。据正交表的基本特性正交表中每一列的位置是一样的，可以任意变换。因此，不考察互作效应（即实际问题中各因子间的交互作用均可忽略）的表头设计非常简单，将所有因素任意上列即可，只是不要在同一列上填上好几个因子就行。若在【例22】中不考察交互作用时，可将硫酸浓度A、提取温度B和提取时间C依次安排在L1645表的第1、2、3列上，第4列、第5列均为空列，见表210。表210例22的表头设计列号12345因素ABC空列空列2考察互作效应的表头设计。这种情形要复杂一些。在表头设计时，各因素及各交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行排列。这是有交互作用正交设计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在正交表的同一列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用。这样，就无法确定同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果。因此，为避免混杂，使表头设计合理、更优，那些主要因素，重点考察的因素，涉及交互作用较多的因素，就应该优先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排。应当明确，在满足试验要求的条件下，如何突出正交设计可以大量减少试验次数的优点，有选择地合理考察交互作用是必须妥善处理的问题。这一问题的合理解决需要综合考察试验目的、专业知识、以往研究经验及现有试验条件等多方面的情况。一般的处理原则是高级交互作用通常不予考虑。实际上高级交互作用的影响一般都很小，可以忽略。试验设计时，因素间一级交互作用也不必全部考察尤其是根据专业知识知道两因素间没有交互作用或者交互作用不大时，通常仅考虑那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。允许的情况下尽量选用二水平表，以减少交互作用所占列数。若因素必须选多水平时，也可以设法将一张多水平表化为二张或多张二水平正交表来完成试验。表211和表212分别是和的几种表头设计的情况。78L21482表211表头设计7列号因素数12345673ABABCACBC4ABABCDCACBDBCADD4ABCDABCBDACDBCAD5ADEBCDABCECBDACBEDAEBCEAD表212表头设计148L2列号因素数123452ABAB1AB2AB33ABACCABABACABAC4ABACADCABADDABACABACAD5ABCDE有时为了满足试验的某些要求，或为了减少试验次数，可允许一级交互作用间的混杂，或次要因素与高级交互作用的混杂，但一般不允许试验因素与一级交互作用的混杂。最后还须指出，没有安排因素或交互作用的列（空列），它可反映试验误差，并以此作为衡量试验因素产生的效应是否可靠的标志。因此，在试验条件允许的情况下，一般都应该设置空列，以此来衡量试验的可靠程度。235确定试验方案在表头设计的基础上，将所选正交表中各列的不同数字换成对应因素的相应水平，便形成了试验方案，【例22】的试验方案见表213。试验方案中的处理试验号并不意味着实际进行试验的顺序，一般是同时进行。若条件只允许一个一个进行试验，为排除外界干扰，应使处理序号随机化，即采用抽签，或查随机数字表的方法确定试验处理的顺序。因为正交表的每一行是等价的，可任意进行行间置换。表213硫酸法提取鲤鱼抗菌精蛋白试验方案因素处理号1A硫酸浓度/2B提取温度/3C提取时间/H4空列5空列11（50）1（0）1（1）1121（50）2（10）2（2）2231（50）3（20）3（3）3341（50）4（30）4（4）4452（75）1（0）2（2）3462（75）2（10）1（1）4372（75）3（20）4（4）1282（75）4（30）3（3）2193（100）1（0）3（3）42103（100）2（10）4（4）31113（100）3（20）1（1）24123（100）4（30）2（2）13134（125）1（0）4（4）23144（125）2（10）3（3）14154（125）3（20）2（2）41164（125）4（30）1（1）32236试验结果分析采用正交表设计的试验，都可用正交表分析试验的结果。正交试验的结果分析，有直观分析和方差分析两种方法。24正交设计试验结果的统计分析241直观分析法直观分析法（又称极差分析法）很重要，正交设计的灵活运用有很多就体现在直观分析上。2411不考察交互作用的分析法现对【例22】进行直观分析，该试验的分析结果见表214。表214硫酸法提取鲤鱼抗菌精蛋白的试验结果ABCDE处理号硫酸浓度提取温度提取时间空列空列抗菌活性/11（50）1（0）1（1）11565721（50）2（10）2（2）22588731（50）3（20）3（3）33536841（50）4（30）4（4）44504552（75）1（0）2（2）34552662（75）2（10）1（1）43522172（75）3（20）4（4）12493582（75）4（30）3（3）21521293（100）1（0）3（3）426868103（100）2（10）4（4）316413113（100）3（20）1（1）246576123（100）4（30）2（2）136367134（125）1（0）4（4）236012144（125）2（10）3（3）146532154（125）3（20）2（2）416454164（125）4（30）1（1）325573JK21957240632302723491237362J20894240532423423687232633J26224233332398022880229684J24571221972240523588236791J548960165757587359342JK522460136059592258163J655658335995572057424J61435549560158975920JR1332467458202192从16个处理中直观地找出最优水平组合为9号处理，即A3B1C3,试验指标值为6868；其次为11号处理A3B3C1,试验指标值为6576。现在通过直观分析进行验证计算各列的值。为第J列中第I水平试验指标值之和。在这里，为第J列水平IJKIJ1JK1的4次指标值之和，为第J列水平2的4次指标值之和，为第J列水平3的4次指标值2J3J之和，为第J列水平4的4次指标值之和。J以第1列A因素为例，第1水平之和K11565758875368504521957第2水平之和K21552652214935521220894第3水平之和K31686864136576636726224第4水平之和K41601265326454557324571其余因素计算方法相同，结果填于表下部栏。IJK计算各列同一水平的平均值。如第1列的A因素IJ21957/4548914K20894/45224226224/465563124571/461434计算各因素列的极差RJ。RJ表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度，RJMAXMINIJKIJ根据极差的大小，进行因素的主次排队。越大，表示该因素的水平变化对试验指标JJ的影响越大，因此在本试验中这个因素就越重要；反之，越小，这个因素就越不重要。JR比较本试验中A、B、C三因素中值的大小，可以看出A因素，即硫酸浓度为最重要因素，J然后依次为B因素（提取温度）C因素（提取时间），三个因素的主次关系是作出因素与指标试验结果的关