【材料力学论文】关于平面拉伸的力学分析

关于平面拉伸的力学分析作者周成杰（系南京工业大学土木工程0级强化班）学号1801060125摘要1AA平面上各点是存在剪应力并且是非均匀分布的，近似呈线性分布。2AA平面上各点的应力状态是不完全相同的，并且AA平面和整个平面上的危险点可以求出。材料力学当中，不规则的物体可心通过力学软件如ANSYS和VISUALBASIC的帮助来解决许多实际的问题，如危险点、各处的应力状态、正应力、剪应力、主应力等等。（3）整体物体及AA平面，受力之后的应力集中和应变分析。物体在被力作用的时候会有形变和位移，这也很重要，分析时应该用理论推导和软件共同进行。关键词形变；集中应力；线性分布；危险点；ANSYS有限元VB编程引言为了分析问题的方便和用ANSYS建模，假设如下的数据，。各个端点的坐标为6310PA12030,51厚度（，）、（，）、（，）、（，）。图1原问题图一研究AA平面上各点是存在剪应力并且是非均匀分布的初步分析AA面内的应力状态11研究AA面内顶部的应力状态如图，三角形的斜面为自由表面，上面不受力。我们知道，右面上一定有垂直于右面的的正应力。由平衡条件可知沿X方向上的合力应该为，故X下边的面上有如图的剪力。再由剪应力互等定理可知右面上有，同样地，00由平衡条件可知下面上有正应力。YY00X图顶部的微元到此，可以看出来顶部点的应力状态如图所示。1研究AA面内中部点的应力状态先假设中间的微元不受上面或下面微元的影响。左右图AA面微段如图，可知左边的面积小，右边的面积大，所以左边的应力比右边的大一点。再由平衡条件和剪应力互等定理可以判断出如图的剪应力。COMMENT周周周1此时算正应力的时候，忽略了应力集中，下面有考虑应力集中的分析。左XY右图AA面中间的微元应力状态现在考虑中间的微元受上面或下面微元的影响。显然综合上下微元的应力之后可得如图右左YY图AA面中间微元的实际应力状态2现在具体地计算各处剪力的大小21总体分析如图,FHATN左右A左右22计算如图6顶部的一块微元的应力，COMMENT周周周2三角形微元产生的剪应力求得。由平衡条件可知Y00右图6顶部的微元00TANTANFHA右右22先假定不考虑顶部的三角的影响，即忽略剪应力和Y方向的正应力的影响。YH图顶部的微元在距离顶部面的距离为Y时如右图，对于一小段微元DY0YH由平衡条件可以知道COMMENT周周周3这个剪应力是不考虑顶部微元时中间部分产生的剪应力。ADYA在到Y部分上积分0DYAAA得到的便是不考虑上部三角微元影响的假定下的Y处的剪应力23现在考虑顶部的影响。当考虑到顶部的影响的时候，就必需加上顶部产生的剪应力在距离Y处对应的剪应力0TANTANTYYFHFA（其中的有下标为的为顶部产生的剪应力，没有下标的剪应力为假设中间部分不受顶部影响时算得的剪应力。）由上式可知YH时，即在中点处剪应力为综上所述，可知AA上的点的存在剪应力并且非均匀分布。并且沿Y方向可以看成是线性分布的。用ANSYS软件验证结论的成立。31用ANSYS软件取如沿AA方向的一系列的点（路径JOB），如下图所示32得到的这条路径上的点的剪应力SXY，如上图所示从上图可以看出在中点处（即横坐标147处）剪应力为。AA上半部分的剪应力是正号，所以剪应力流是顺时针方向的。下半部分的正好相反。33下面一张图整体的剪应力图从上面这张图可以明明白白地看出，整个图形的剪应力状态，包括AA方向的点也是可以直观地看出来是不完全相同的。34下面一张图是这条路径上剪应力SXY的一张形象一点图从上图中可以看出沿AA方向上，剪应力可以看成是线性分布（不考虑应力集中情况下的近似线性）的。结论（1）AA上的点的存在剪应力且非均匀分布。（2）并且沿Y方向可以近似看成是线性分布的。3在中点处的剪应力最小为0,向两边剪应力递增。二研究AA平面上各点的应力状态是不完全相同的，并且判断AA平面和整个平面上的危险点。1主应力是反映应力状态本质的特征量，所以可由主应力的公式如下22420XYXYXY1XYXY2XY3AXYXY是相同的，也是相同的，唯独在变化。所以，各点的主应力不尽相同。因而沿方向上的各点的应力状态不完全相同。用ANSYS软件验证结论的成立。31下面是用ANSYS做的一张SEQV（等效应力）图虽然差距不大，等效应力是从686726到690317，显然不尽相同。32下面是S1,S2,S3的三个主应力图从这三张主应力图也可以看出各点的应力状态是第一和第二主应力不同，第三主应力都为。判断AA上哪一点最易发生危险假定此种材料是韧性材料，现在用第三强度理论来判断哪一点先坏。13M上式的二个应力为第一主应力和第三主应力。如上面两组数据中用方框标出的为最大的第一主应力。而第三主应力为。故由可知13M如果AA面上发生破坏的话，则063025和23109两个对称的点处先发生破坏。研究整个平面内哪个点是危险点COMMENT周周周4同前面的AA平面相对比，前面的不是在中点处有最大第一主应力。这中间存在着一个分界线判断是否这个竖线上的危险点发生在中点处。31下面一张图是整个平面的第一主应力图可以看出最左边的第一主应力应该最大，下面取左边的一条路径研究。32下面研究最左边的最大主应力。下图为路径和路径上的第一主应力图，从中可以明显地看出中点处的第一主应力最大。由第三强度理论13M知整个平面上最左边的中点处的第一主应力最大，因而也就在此点最容易发生破坏。结论（1）AA平面上各点的应力状态是不完全相同的。（2）最先发生破坏的两个点为AA的路径上063025和23109两个对称的点。（3）各条竖线上的危险点是否发生在中点处存在着一个竖线作为临界线。（4）整个平面内的危险点处在最左边的线上的中点处。三研究AA平面及整个物体，在受力之后的应力集中及变形分析。研究应力集中现象。其中的K为应力集中系数。查表可得D，D和K之间的关系。DRD图9假设的数据中D/D15大概有下列的数据KR/D1无穷大2025301MAXPKA无穷大0在本题中，如果材料是刚体那么半径R就是无穷大R/D则为无穷大，查表可得K1即AA面上的正应力是均匀分布的。然而材料不可能是刚体，在拉伸的过程中将使R变为有限的值，故应力集中系数K要大于1自然地，本题中AA面的各点的应力应该有大有小，下面用ANSYS来进一步分析这个问题。3用ANSYS进一步分析可以看出在X方向最大应力分布在中点处，在Y方向，最大正应力在两端。4用ANSYS分析形变由下图明显进可以看出中间的路线都是朝左鼓的，显然加力后，AA上不再保持平面，而是朝左倾斜。这个可由上面的分析证明，因为在中点处的SX最大，并且是左边占优势。至于SY，虽然是中间的小，但是竖起方向的应力实在太小。由公式YXXE可知其中的AA方向的中部的X方向的正应力大一点，Y方向的正应力小一点，那么中部的水平方向的应变自然更大一点。所以呈现以下的变形图。4结论（1）这种形状在加上上述的均匀分布力之后，会有应力集中现象，AA线上，X方向的正应力中部相对大一点，Y方向上的正应力在两端正对大一点。（2）加力后会产生形变并且左边鼓，如上面所示的变形图。四研究AA平面及整个物体，在受力之后的在各个方向的应变分析。推导X,Y方向的正应变和剪应变的关系。XYXYX图8于是可得到X,Y方向的线应变和一定角度方向的线应变的关系。2222022COS,SINLIMCOSINRRXYXYRRXYRYXRXY由勾股定理可得省去高阶无穷小可得当时，故可得COMMENT周周周5代码中反映了材料的弹性模量、泊松比、切变模量。同理，也可以推得在纯剪应力的情况下求一定角度方向的线应变。如公式然后再将以上两者相加可以得到如下的公式2用自编的软件计算上述公式求最大线应变上面推导了有如下的公式用这个公式比较繁，所以我用VB编了一个程序来帮助计算窗体如下主要的代码如下PRIVATESUBCOMMAND1_CLICKDIMDASSINGLEDIMMAXASSINGLETEXT6“E36000000V03K31415926/180GE/21VXTEXT1YTEXT2TTEXT3RTEXT4DVALTEXT5IFD0THEND1XXX/EY/EVYYY/EX/EVTTT/GCOSINXY22SSICOSINXYXY22COSSINCOSINXYXYCOMMENT周周周6求线应变COMMENT周周周7找出最大的线应变，并记录下来对应的角度。FORI0TORSTEPDRRXXCOSIK2YYSINIK2TTSINIKCOSIKTEXT6TEXT6VBCRLF“I“RRIFRRMAXTHENMAXRRHIENDIFNEXTIIFIRTHENIRRRXXCOSIK2YYSINIK2TTSINIKCOSIKTEXT6TEXT6VBCRLF“I“RRIFRRMAXTHENMAXRRHIENDIFENDIFTEXT7MAXTEXT8HENDSUBPRIVATESUBFORM_ACTIVATEX0SCREENWIDTHY0SCREENHEIGHTX0X0MEWIDTH/2Y0Y0MEHEIGHT/2MEMOVEX0,Y0ENDSUB例如上面一组数据，其中包含了SEQU最大值。现在取上面的倒数第二行分析即S042017处，SX67408,SY19683,SXY10806在小程序“要求的方向角”中输入90,以便观看所有角度上的结果。在“精度”中输入了1,其实这个精度也不算高，如果需要的话可以输入足够精确的精度。根据这个小软件，可以得到如下数据角度这个方向上的线应变0185604194444444E051186894054108819E052188038388598805E053189035803719146E054189885084273199E055190585195543465E056191135284552236E057191534681100811E058191782898586035E059191879634593147E0510191824771264228E0511191618375441791E0512191260698587344E0513190752176475023E0514190093428660669E0515189285257726995E051618832864830576E051718722476587815E0518185974955354817E0519184580739437313E0520183043816762913E0521181366059835087E0522179549512742144E0523177596388666823E0524175509067189873E05251732900913909E0526170942164750015E0527168468147854063E0528165871054911435E0529163154050079723E0530160320443610677E0531157373687817181E0532154317372867132E0533151155222409381E0534147891089037037E0535144528949593678E0536141072900328178E0537137527151904059E0538133896024269449E0539130183941393887E0540126395425878399E0541122535093445409E0542118607647315186E05431146178724757E054411057062985285E0545106470850388174E0546102323529031255E0547981337186541505E0648939065238952384E064989647094940008E0650853606212463492E0651810523252219991E065276727455861842E0653723912823528186E0654680490876542331E0655637061620612813E0656593677967596415E0657550392773789794E0658507258775532231E0659464328524954528E0660421654325952331E0661379288170461893E0662337281675115915E0663295686018356623E0664254551878082732E0665213929369906226E0666173867986094212E0667134416535270218E0668956230829484024E0769575348929731342E0770201983699352789E0771163409973646439E0772520386913375557E0773868512198436425E0774120736169180826E0675153652255759322E0676185559376399339E0677216418657190617E0678246192500854302E0679274844632549438E0680302340144068266E0681328645536366502E0682353728760376761E0683377559256055401E0684400107989615236E0685421347488898726E068644125187684857E0687459796903034917E0688476959973200769E0689492720176789612E0690507058312421701E06在结果中，小软件自动显示其中的最大线应变发生在9度处，且线应变为1918796E05在前文判断危险点的时候，知道最左边的竖线的中点为整个物体的危险点，由ANSYS得到这个点的数据SX99517,SY29393,SXY017475E12由上述小软件可以得到如下数据在0度处（即沿X轴方向），有最大的线应变2519419E05（相对比较大）这个也同样反映了这点不安全，如果是脆性材料那么这点肯定是最危险的。4结论（1）一点的各种应力在0到90度的角度内都可以用以下公式来求与线应变的关系。22COSSINCOSINXYXY（2）用上述的自编小软件可以求出任一点的任一角度上的线应变，并且可以找出最大的线应变，并且可以判断强度是否符合要求。参考文献1材料力学。林毓錡，陈瀚，楼志文。西安交通大学出版社2材料力学教材。孔喜新，孙庆文，潘光明。华南理工大学出版社3材料力学。（日）渥美光，铃木幸之，细贤次（张必如译）人民教育出版社4材料力学。（美）HIGDON,OHLSEN,STILES,WEESE,RILEY高等教育出版社5ANSYS基础应用及范例解析。龚曙光。机械工业出版社6ANSYS70基础教程张立新徐长航。机械工业出版社作者简介周成杰，男，南京工业大学土木工程学院0级本科生，专业土木工程，研究方向材料力学中的平面拉伸问题。材料力学学习感想这一学期来跟着范老师一起，学了材料力学这一门课程。就我看来，材料力学还是比较难学的，主要是因为这门课的内容比较多，而课的学时却很少。同时我们强化班的课程也是非常多的，这也大大地加大了学习的难度，可是“因祸得福”从紧张的学习过程中，我们自然而然也学到了许多平常学不到的东西。比如合理地利用时间这个方面，我们常常在线性代数、大学物理的压迫下努力地完成力学作业。不过这样更好，在白天上完了有老师的课程，等到晚上或者是等到周末的时候，为了完成作业就必须学会合理地分配时间。然后还要学会自学，因为课上的那一点时间根本不可能让人完全理解课上的知识。对于那些没有掌握的知识，根据范老师在课上讲的和书上写的内容再加上课堂上的笔记，就差不多可以学会所有的内容并且完成当天或者是那一周的作业了。说实话跟着范老师一起学习材料力学总体上来说是非常累的。去年跟着郭老师学习理论力学，看上去是非常地轻松一点都感觉不到“三大力学”传说中的痛苦，这可能跟郭老师的灌输式教学有关。范老师的教学方法以培养开放的思维而著名，在第一节课的时候范老师就说他的课绝非是灌输式的教育，而是开发我们的思维，创造性的思维，我想这也正是我们所需要的宝贵的东西。每当想到这些，我在学习时候的种种不快乐甚至可以说是痛苦就灰飞烟灭了。通