声学基础课后答案

习题111有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为F，质量为M，求它的弹性系数。解由公式MMOMKF21得MFKM2212设有一质量MM用长为L的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生并应怎样表示（2）当外力去掉后，质点MM在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示（答LGF210，G为重力加速度）图习题12解（1）如右图所示，对MM作受力分析它受重力MMG，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则SINL受力分析可得SINMMFMGMGL（2）外力去掉后上述拉力去掉后，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知22DDMFMT则22DDMMMMGTL即22D0,DGTL20GL即01,2GFL这就是小球产生的振动频率。13有一长为L的细绳，以张力T固定在两端，设在位置0X处，挂着一质量MM，如图所示，试问1当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生并应怎样表示2当外力去掉后，质量MM在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示3当质量置于哪一位置时，振动频率最低解首先对MM进行受力分析，见右图，022002200XXTXLXLTFX（0X，2022020220,XLXLXX。）220220XTXLTFY00XTXLT00XLXTL可见质量MM受力可等效为一个质点振动系统，质量MMM，弹性系数00XLXTLK。（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为00XLXTLF，方向为竖直向下。（2）振动频率为MMXLXTLMK00。（3）对分析可得，当20LX时，系统的振动频率最低。14设有一长为L的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的0X位置处悬有一质量为M图习题13的重物。求该系统的固有频率。提示当悬有M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置0的振动位移很小，满足0条件。图习题14解如右图所示，受力分析可得002COS4COS12TMGMGLL又0，TT，可得振动方程为202D2D2TMLT即202D44DTTMTLL001411222TLMGGFMM15有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解设振动位移COS0TA，速度表达式为SIN00TVA。由于00T，00TV，代入上面两式计算可得T00COS；TV000SIN。振动能量22022121AMAMMVME。16有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为0V，试求其振动位移、速度、和能量。解如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为MK，质量为MM，取正方向沿X轴，位移为。则质点自由振动方程为2202D0,DT（其中20,MMKM）解得00COS,AT000000DSINCOSD2AAVTTT当00T，00TVV时，00000COSCOS2AAV222000000001ARCTANAVV质点振动位移为222000000001COSARCTANVVT质点振动速度为2220000000COSARCTAN2VVVT质点振动的能量为22220001122MAMEMVMV17假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加TT2SIN21SIN，试问1在什么时候位移最大2在什么时候速度最大解TT2SIN21SIN，TTDTD2COSCOSTTDTD2SIN2SIN2222。令0DTD，得32KT或KT2，经检验后得32KT时，位移最大。令022DTD，得KT或41ARCCOS2KT，经检验后得KT2时，速度最大。18假设一质点振动系统的位移由下式表示COSCOS2211TT试证明COSTA其中COS212212221A，22112211COSCOSSINSINARCTAN证明COSCOS2211TT11112222COSCOSSINSINCOSCOSSINSINTTTT11221122COSCOSCOSSINSINSINTT设1122COSCOSA，1122SINSINB则COSSINATBT22COSABT（其中ARCTANBA）又22222211221212COSCOS2COSCOSAB222211221212SINSIN2SINSIN22121212122COSCOSSINSIN221212212COS又ARCTANBA11221122SINSINARCTANCOSCOS令22221212212COSAAB则COSTA19假设一质点振动系统的位移由下式表示TWTW2211COSCOS12WW试证明COS1TWA，其中,COSSINARCTAN,COS221212212221WWWWTWTWTA解因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，COS212212221TWTWACOS2212221WT其中，12WWW。由三角形面积知，SIN21SIN21121AWT得AWTSINSIN2得WTWTTGA22222SINSIN2212COSSINWTWTWTWTCOSSIN212故WTWTCOSSIN212即可证。110有一质点振动系统，其固有频率F0为已知，而质量MM与弹性系数KM待求，现设法在此质量MM上附加一已知质量M，并测得由此而引起的弹簧伸长1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之证由胡克定理得MGKM1KMMG/1由质点振动系统固有频率的表达式MMMKF210得，120220244FMGFKMMM纵上所述，系统的质量MM和弹性系数KM都可求解111有一质点振动系统，其固有频率F0为已知，而质量MM与弹性系数待求，现设法在此质量MM上附加一质量M，并测得由此而引起的系统固有频率变为F0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解由MMMKF210得MMMFK202由MMKFMM210得,220MMFKMM联立两式，求得202020FFFMMM，2020202024FFFMFKM112设有如图123和图124所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。解串接时，动力学方程为0212122MMMMMKKKKDTDM，等效弹性系数为MMMMKKKKK2121。并接时，动力学方程为02122MMMKKDTDM，等效弹性系数为MMKKK21。113有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0100MM可称01KG。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为04KG，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1S，试问月球表面的重力加速度是多少而该岩石的实际质量是多少解设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为298GMS，月球表面的重力加速度为G由虎克定律知,MFKX又MFMG则11001MGGKGX0221MTK则221010982544GMKG又104XX则004XMMGKX则224004158KGXMSM故月球表面的重力加速度约为2158MS，而该岩石的实际质量约为25KG。114试求证1COS2COSCOSCOSNTATATATA图123图12421COS2SIN2SINNTNA证12NTJTJTJTJAEAEAEAE1JTJEAESINCOS1SINCOS111JJJNJNAEEEAETJNTJ2COS2SIN2COS2SIN2SIN2SINSIN2SIN2SIN2SIN222JNJNNAEJNJNAETJTJ2121212222SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2SINNTJNJTJJNJTJENAENAEEENAE同时取上式的实部，结论即可得证。115有一弹簧MK在它上面加一重物MM，构成一振动系统，其固有频率为0F，1假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接2假设重物要加重一倍，而要求固有频率0F不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接解固有频率MMOMKF21。（1）200FF4MMKK，故应该另外串接三根相同的弹簧；（2）002FFMMMMMMKK2，故应该另外并接一根相同的弹簧。116有一直径为D的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为MM，弹性系数为MK。试求该扬声器的固有频率。解该扬声器的固有频率为012MMKFM。117原先有一个05的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个02的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了004M，当此附加质量突然拿掉后，已知这05质量的振幅在1S内减少到初始值的1/E倍，试计算（1）这一系统的力学参数KM，RM，F0；（2）当02的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1S后，系统具有的平均能量。解（1）由胡克定理知，KMMG/所以KM0298/00449N/M1/1EE故MSNRMRMMM/12HZFWW57115049210200（2）系统所具有的能量JKEM0392004049212122（3）平均能量JEKETM32201031521118试求当力学品质因素50MQ时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0，0VV，试讨论解的结果。解系统的振动方程为022MMMKDTDRDTDM进一步可转化为，设MMMR2，02222DTDDTD设TIE于是方程可化为02202TJEJ解得202JTE202方程一般解可写成202202TTTBEAEE存在初始条件00T，00VVT代入方程计算得20202VA，20202VB解的结果为202202TTTBEAEE其中20202VA，20202VB。119有一质点振动系统，其固有频率为1F，如果已知外力的频率为2F，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为MK，质量抗为MM已知050FHZ，300FHZ则MMKM2222002222241501430036MMFKMF120有一质量为04KG的重物悬挂在质量为03KG，弹性系数为150N/M的弹簧上，试问1这系统的固有频率为多少2如果系统中引入5KG/S的力阻，则系统的固有频率变为多少3当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大4相应的速度与加速度共振频率为多少解1考虑弹簧的质量，HZ7623/3040150213/210SMMMMKF2考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量MM为MMMS/3550252MMMR，HZ64253/3040150212122200F3品质因素66155058160MMMRMQ，位移共振频率HZ39221120MRQFF4速度共振频率HZ6420FFR，加速度共振频率HZ92221120MMRQFQF121有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于MQ2。解系统每个周期损耗的能量TVRTWEAMF221MMAMAMFMRVMTVREE222121，发生速度共振时，0FF。MMMMMQRMMFREE2200。122试证明（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率0F；（2）假定1F与2F为在0F两侧，其平均损耗功率比0F下降一半时所对应的两个频率，则有120FFFQM证明（1）平均损耗功率为2011D2TRRMAWWTRVT（MR为力阻，AV为速度振幅）质点强迫振动时的速度振幅为22220,1AMAMMFQZVMZZQAF为外力振幅，0为固有频率，MM为质量，MQ为力学品质因素，频率比00FFZ）当Z1即0FF时，发生速度共振，AV取最大值，产生最大的平均损耗功率。（2）221AMRVRW2MAXMAX21AMRVRW2202221MMAMMQFRRWMAX21RW则221AMVR212122022MMAMMQFR即22AV22022MMAMQF（1）把22220,1AMAMMFQZVMZZQ带入式（1），则22221MQZZ（2）由式（2）得MQZZ12解得MMQQZ24112取MMQQZ241121MQZZ12解得MMQQZ24112取MMQQZ241122则MQZZ112即MQFFFFFFF10120102120FFFQM123有一质量为04的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/M的弹簧上，设系统的力阻为2NS/M，作用在重物上的外力为TNFF8COS5。（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少解（1）由强迫振动方程FMMMFKDTDRDTDM22，得TDTDDTD8COS516024022则位移振幅MRWMWKFMMMAA036902222速度振幅SMWVAA/2960加速度振幅22/3642SMWAAA平均损耗功率08760212WVRPAM（2）速度共振时HZ158322120MMMMRMRRKFF则位移振幅MRWMWKFMMMAA12602222速度振幅SMWVAA/4952加速度振幅22/649SMWAAA平均损耗功率2256212WVRPAM124试求出图141所示单振子系统，在0T，0V初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0与0两种情形下，当0时解的结果。解对于强迫振动，解的形式为COSCOS000TTEAT其中MAAZF，20。初始条件0，0V，代入得0COSCOS00A0SINSINCOS00000A解得22,022200COSSINCOS2SINCOSA220222200COSSINCOS2SINCOSCOSARCCOS令22,0222COSSINCOS2SINCOSG得COSCOS0020TTGEATA。当0时，0MR，2ARCTAN0MMRX，20，0，20，A0，COS2COS0TTAACOSSIN0TTA。当0时，A，达到位移共振。125有一单振子系统，设在其质量块上受到外力TFF0221SIN的作用，试求其稳态振动的位移振幅。解此单振子系统的强迫振动方程为22002DD111SINCOSDD222MMMFMRKFTTTTT则22DD1DD2MMMMRKTT（1）202DD1COSDD2MMMMRKTTT（2）由式（1）得12MK令JTFE代入式（2）得0001J2FMMMKRJM则122200012FMMMKRM012MR01122AMMKR126试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式MFAEJWTK1,R1K2,R2解对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为WTAEFKKRRMJ2121该方程式稳态解的一般形式为WTAEJ，将其代入上式可得2121KKMJRRJWFAA2J0|EA其中221221|KKMRRFAA，21210ARCTANRRKKM故质量块的稳态位移表示式可以写为2COS|0WTA127设有如图所示的耦合振动系统，有一外力TJAEFF1作用于质量1M上。1M的振动通过耦合弹簧12K引起2M也随之振动，设1M和2M的振动位移与振动速度分别为1，1V与2，1V。试分别写出1M和2M的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时11221211221FZZZZZZZV与1122121122FZZZZZZV。其中1111RKMJZ，2222RKMJZ，1212JKZ。解对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程1211211112121FKKDTDRDTDM0121222222222KKDTDRDTDM设TJAE1，TJBE2TJEVV11，TJEVV22于是方程可化为AFBKKKRJMA12121121图141图习题127012122222AKKKRJMB设1111RKMJZ，2222RKMJZ，1212JKZ。对上面的两个方程整理并求解可得11221211221FZZZZZZZV1122121122FZZZZZZV128有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为AAAPF，其中A为常数，AP为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式动圈式，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态为什么解压差式传声器产生的作用力振幅为AAAPF，其中A，AP为常数，则AF随变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为EBLV，要使E均匀恒定，则要V恒定系统处在质量控制区时AAAMMFAPVMM，此时AV与频率无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。129对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式电容式，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态为什么解传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系DEE0只有在力阻控制区，MAMARAPRF，即在此控制区，输出电压E与频率无关。传声器的振动系统应工作在力阻控制区。130有一小型动圈扬声器，如果在面积为0S的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为000SCRR（参见55）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态为什么解动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为212RAWRV200012ACSV其中0，0C，0S均为常数，要使W均匀，则2AV应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此时AAMFVR（其中AF为频率恒定的外力，MR也恒定）。131有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面MM由弹簧MK支撑着，现欲在较宽的频率范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面MM产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控制状态为什么解音圈通以I电流时，在磁场下产生电动力BILF，由AMFM可见，只有在质量控制区MAMFA时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。132有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量MM15103，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600时，产生的位移3，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1、频率为20HZ时，隔振台MM将产生多大的位移振幅解每只弹簧的劲度系数K60098/003196105N/M每组弹簧的总劲度K1K/2四组弹簧并联后的劲度K24K12K392105N/M则固有频率5722120MKFHZ由振动方程00MMKM，将JWTAE，JWTAE0代入得，图习题131016802MWKKAA133设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0F10EJT作用于质量块MM上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比MMKM,RMF0F解对质量块进行受力分析，可得质量块MM的振动方程为WTMMMEFKRMJ10其稳态解的一般形式为COSTA其中221010|MMMMAKMRFZF，MMMRKMARCTAN弹簧传递给基础的作用力为COSTKKFAMM，则MAAKF由此传递给基础的力F与F0的振幅比2210MMMMAFKMRKFFD134有一振动物体产生频率为F，加速度振幅为10A的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为0F，力学品质因素为MQ，音圈导线总长为L，磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少解动圈式加速度计测量由0MMMMQR得0MMMMRQ由012MMKFM得2204MMKFM则10MAMMAEBLZ101222MMMMMBLAKRM1012222222MMMMMMMBLAKRMKM10122442222000224168MBLAFFFQ135设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成TTHFFAFSINSIN11，其中H为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解外力表达式为TTHFFAFSINSIN11COSCOS212COS11TTHFTFAA用指数形式表示外力为TJATJATJAFHEFHEFEFF2112121振子进行强迫振动，由式（1514）得，振子系统的位移为20COS212COS313111TZHFTZFAA20COS212121TZHFA其中MMMRKMARCTAN1；MMMRKM112ARCTAN；MMMRKM113ARCTAN；221MMMKMRZ；21122MMMKMRZ；21123MMMKMRZ。136设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为21FATFFT（1,0,1,2,KTTKTK）试求振动系统的位移。解质点的振动方程为22DD21DDMMMFATMRKFTFTTT（1）又01COSSIN,FNNNFTAANTBNT（2T）（2）其中001D0TFAFTTT02COSD0TNFAFTNTTT022SINDTANFFBFTNTTTN式（2）也可表示为0COSFNNNFTFNT（3）其中222ANNNFFABN，2ARCTANANFN把式（3）表示成为复数形式J0ENNTFNNFTF则式（1）可写成2J20DDENNTMMMNNMRKFTT（4）设0NN，代入式（4）可得J00EJNNTNNNNNFNZ其中JJMNNNMMKZRXRNMN取的实部得0COS2NNNNNFNTNZ202COS2ANNNNFNTNZ式中22MNMMKZRNMNARCTANARCTANMMNNMMKNMXNRR137设有如下形式的外力,2,1,0121,21,KTKTTKFATKTKTFFAF作用于单振子的质量上，试求振动系统位移解将周期作用力展开成傅立叶级数，可得0COSNNNFTNFTF其中22NNNBAF，NNNABARCTAN0D100TFTTFTA，0DCOS20TFNTNWTTFTA，为偶数为奇数NNNFNFTNWTTFTBANATFN04112DSIN20由此NNBF，2为奇数NN，即ANAAAFNFFFFFFF4,54,34,4531；2,2,2,2531为奇数NNA由1514得质点振动系统得位移02COSNNNNNNWTZNFCOS43COS94COS423311NNAAANWTZNFWTZFWTZFN为奇数习题221有一质量为M，长为L的细弦以F的张力张紧，试问1当弦作自由振动时其基频为多少2设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。3距细弦一端4L处的速度振幅为多少解（1）简正频率TLNFN2，且线密度LM基频MLTTLF21211。（2）基频振动的总能量2222011616LTBLTE。（3）弦的位移的总和形式1COSSIN,NNNNNTXKBXT速度表达式为1SINSIN,NNNNNNTXKBTXTXTV距一端M250处的速度振幅4SIN2214LLNTLNBVNNLXA4SIN1NMLTBNNN43SIN22143LLNTLNBVNNLXA43SIN1NMLTBNNN22长为L的弦两端固定，在距一端为0X处拉开弦以产生0的静位移，然后释放。（1）求解弦的振动位移；（2）以30LX为例，比较前三个振动方式的能量。解弦的振动位移形式为1SINCOSSIN,NNNNNNTDTCXKXT其中LNKN，LCNN，NNNBCCOS，NNNBDSIN（1）由初始条件可得00000000LXXXLXLXXXXT0000LXTTVT又LNNNLNNXDXKXVLDXDXKXLC0000SIN2SIN2则000222000000SIN2SINSIN200XLNXLXNLXDXKXLXLXDXKXXLCXLXNNN0ND则NNN0SINNNCBTLCNLXXLNXLXNLTXLCXTNNNNNCOS2SINSIN2COS2SIN,010022201（2）222222244NNNBLTNBLCNE当LX310时，3SIN93SIN3322202220NNLLNLLLNLCBNN则LTLTE22022021162433SIN94LTE22026424303E23长为L的弦两端固定，在初始时刻以速度0V敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解弦的振动位移表达式为1SINCOSSIN,NNNNNNTDTCXKXT可得速度表达式为1COSSINSIN,NNNNNNNNTDTCXKTXTXTV由题可得初始条件00T；XLVVXLVTT0000222LXLLX2,20,通过傅立叶变换可得0NC；2SIN2SIN4330KLKLKLVDNN。位移表达式为1SINSIN,NNNNTXKDXT其中2SIN2SIN4330KLKLKLVDNN。24长为L的弦两端固定，在初始时刻以速度0V敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。解初始条件02000TLXTVT弦的总位移为1,SINCOSSIN,NNNNNNTXKXCTDT其中COS,SINNNNNNNCBDB，（,NNCLNNKC）又00N2SINDLNNDVXKXXL00N2SINDLNVKXXL02221COSVLNNC0NC当N为偶数时，2460DDD当N为奇数时，0124VLDC，032419VLDC，0524125VLDC，故NNBD，0N又弦振动时的总能量为1NNEE22214NNTNBL20224111925TVLC2202248TVLC2022TVLC202TVLT2012VL2012MV0KE（2TC）外力传给弦的初始动能为0KE2012MV25设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远即认为没有反射波回来，假设在离固定端距离L处，施加一垂直于弦的力TJAEFF，试求在LX力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。提示在弦的力作用点处，应有连接条件21和FXTXT21。26有长为L，线密度为的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求（1）该弦作自由振动时的频率方程；（2）假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。图26解（1）由题意可知其初始条件和边界条件为LXLXXTMXT2200弦的振动位移为COSSINCOS,UTXCUBXCUAXT（其中U2NNF）当00X时，得0A则COSSIN,UTXCUBXTTSINSINUTXCUBU22TCOSSIN2UTXCUBUXCOSCOSUTXCUCUB带入边界条件可得COSCOSUTLCUCUTBCOSSIN2UTLCUMBU即MCUTLCUTANMMMLMCTLLCUMCUTLCULCUS2TAN（其中,TC弦的质量为SM，线密度为）令LCUR，MMS，则RRTAN，这就是弦作自由振动时的频率方程。（2）当MMFC，由5519可得声源的速度振幅971212502000KSCWUAM/S，则位移振幅为410133AAUM250370200ACFKA，则声源的平均辐射功率为0673041220000AUKASCWW525有一矩形管内充空气，管子的截面积为201008XYLLM，在管口有一声源产生频率从10002000HZHZ的振动，管的另一端延伸无限。试讨论管中声波的传播情况解由2202XYYXNNXYNCNFLL得21034311715201FHZ，20134312143752008FHZ当10001715HZFHZ时，管中传播的是一束沿Z轴方向，波阵面为一维平面波的0,0次波。当17152000HZFHZ时，管中传播的是沿X轴程一定夹角方向斜向传播，并经壁面不断反射而进行着的平面波1,0次高次波。527假设在一矩形管的管口0Z处声源的振速分布为0SINJTXUTUXEL，试求前三个简正波的声压振幅。解管中传播的波的形式为JCOSCOSEZXYXYTKZNNNNXYPAKXKY在0Z处，COSCOSXYXYNNNNXYPAKXKY又在0Z处，0SINJTXUTUXEL则00000012SINDDXYLLXYXBUXXYULLL100002SINCOSDD0XYLLXYXXBUXXXYLLLL010002SINCOSDD0XYLLXYXYBUXYXYLLLL又0XYXYNNNNZABK则（1）对于0,0次简正波，0ZCC00COSCOSXYANNXYPAKXKYNCOSCOSXYXNNXXNAXYLL000000002ZCABUK（2）对于1,0次简正波，02220211ZXCCCL10AP01010COSCOS0XZXAXBXLKL（3）对于0,1次简正波，02220211ZYCCCL01AP00101COSCOS0YZYAYBYLKL习题661对于脉动球源，在满足KR0D，则由四个小球源辐射的声波达到观察点P时，振幅差别甚小，可用R代替R，R，R，R，但是它们对相位的差异不能忽略COS23JCOS2JCOS2JCOS23JKDKRWTKDKRWTKDKRWTKDKRWTERAERAERAERAPCOS23JCOS2JCOS2JCOS23JJKDKDKDKDKRWTEEEEERACOS2JCOS2JCOSDJCOS2JCOS2JCOSDJJKDKDKKDKDKKRWTEEEEEEERACOSDJCOSDJCOS2JCOS2JJKKKDKDKRWTEEEEERACOSDCOS2COS2SINJ2JKKDERAKRWT由于KD1，可将COS2SINKD近似为COS2KD，由此上式COSDCOS2COSJJKKDERAKRWTWTKREKERKADJJCOSDCOSCOS2J由此结论得证615证明如图所示的刚性壁面前偶极子的远场辐射声压为TJRKJEKDCOSJSINECOSR2KADJPDD/2PR硬证明由镜像原理知，绝对硬边界对声源的影响等效于一个同相的的虚声源。根据同相小球声场叠加，分别得两个相距3D的正相小球声场COS23COS21KDERAPKRWTJ两个相距D的负相小球声场COS2COS22KDERAPKRWTJ则远场COS2COSCOS23COS221KDKDERAPPPKRWTJCOS2SINCOSSIN4KDKDERAKRWTJ又COS2COS2SINKDKD，故得JWTJKREKDJERKADPCOSSINCOS2即得证。616由声柱指向特性（6323）式出发，证明长度为L的均匀直线声源的指向特性为SINSINSINLLD。证明由N个体积速度相等，相位相同，两两相距L的小脉动球源组成的声柱的指向特性为KNKNDSINSIN长度为L的均匀直线声源，利用极限将直线声源等效为N（N）个小脉动球源。KNKNDNSINSINLIMSIN122SINSIN122SINLIMNLNNLNNSIN11LIMSINSINNLNLNSINSINSINLL证毕。618试用点源组合的方法求解有限长线声源均匀辐射时的声压。,YXP2L2LXY解由点源组合法可将线声源看成是无数个点声源的组合首先计算任意点声源在点P处产生的声压J,IKRWTIERAYXP，其中22IIYYXR由声压的叠加原理得线声源在P点的声压为2/2/J,LLIKRWTIDYERAYXPIIYYXKWTLLIDYEYYXAIJ2/2/2222619如将一列很长的火车近似看作无限长线声源，设单位长度的声功率为1W，地面为声学刚性平面，求距离火车垂直距离0R处的2EP（不计火车的运动），讨论EP与0R的关系。（提示COS10RR，DRDX1COS）解建立模型如右图所示，设火车首尾与观察点的连线与垂线0R的夹角分别为1和2。取一小微元DX又COS10RR，DRDX1COSDXWRCDWRCDPE1210021002242将DRDX1COS代入并两边积分得21210022DWRCPE21COSCOS20202100DRRWC2120001RCW将火车看作无限长，则有21，2因此可得EP与0R的关系为000122RCWPE620如将火车近似看作有限长线声源，设单位长度得声功率为1W，地面为声学刚性平面，火车首尾与观察点连线的夹角（对于垂线0R）分别为1和2，距离火车垂直距离0R处得2EP（不计火车的运动），证明21200012RCWPE解JETKRAPR，2EAPR2222EAPR，2002WAC则20024EWCPR又0TANXR，20SECDXRD212002204XXWCPDXRX2120002201SEC41TANWCRDR002104WCR621设有一半径为是圆形声源，总输出声功率为W，已知每一面元是辐射声功率都相同，而它们的相位却是无规而各不相干。试求该声源中心轴上Z处的平方平均声压。解已知每一面元相位是无规且各不相干的，因此，总平方平均声压DDWRCP20024DDSAWRC22004DDSZAWC2220014ADZAWCD0222002041LN42200ZAACW622有一直径为30纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假设它可以看作是活塞振动，试分别画出它们在100HZ与1000HZ时的指向性图。当F1000HZ时，主声束角宽度为多少此扬声器临界距离GZ为多少解102SINSINAAPJKDPKA0200183FKFC，半径0152DAM1100FHZ，1183K，10271KA21000FHZ，2183K，2273KA作图如348P,AB2ARCSIN016A02ARCSIN016CFA03442ARCSIN0164310000152GAZ22001510000065344AFMC624已知活塞表面的振速为为TJNEAUTU1,220证明离活塞很远处的辐射声压为11200SINSIN2KAKAJANERUJPNNKRTJ。证明面元在观察点P产生的声压为002KHTJADSEUHCKJDP对整个活塞表面积分可得整个活塞的辐射声压为DSEUHCKJDPPKHTJAS002（）从图中可看出有,COS2222RRRH，在离活塞很远处有AR，上式则可近似为,COSRRH由解析几何可得COSSIN,COSRRR于是（）式可化为AJKNKRTJDEDAERUJP020COSSIN220012（）柱贝塞尔函数有下列性质20COS021DEXJJX，1XXJDXXXJNN通过以上性质对（）式积分可得辐射声压为11200SINSIN2KAKAJANERUJPNNKRTJ626半径为CM15的活塞嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，已知振速幅值SMUA0020，求HZF300时轴上M1处的声压级，辐射声功率及同振质量。解低频时，活塞轴线上的声压幅值为2SIN200ZRKUCPANA因此声压级为EAENAPZRKUCPPSPL22SIN2LG202LG2000已知SMUA0020，MA150，MZ1，MSPAC41500，HZF300又有02CFK，22ZAR，代入以上数值计算得DBSPL165。习题771有一压强式动圈传声器，已知其振膜的有效半径为MA210，振膜的质量KGMM4102，固有频率HZF3000，振动系统的力学品质因素2MQ，音圈导线长度ML3，磁隙是磁通量密度21MWBB，假定有频率为HZ100，HZ300，HZ1000有效声压都为PA1的声波依次垂直作用在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压将各为多少解对HZF1001的声波，10444010242NPESPAFA；3130010001FFZ代入222201MMMAAQZZMZQFV计算的103444SMVA，因此，开路输出有效电压1021924VBLVBLVEAEE。同样的方法可求得HZF3002时，100054VEE；HZF10002时，101084VEE。72有一压强式电容传声器，振膜由镍做成，已知其半径为210AM，厚度510HM,振膜与背极间的距离510DM，施加的极化电压VE2000，假定有一频率为200HZ有效声压为1PA的声波作用在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压为多少解222210SAM，510HM，510DM，VE2000，200FHZ688010MMSHKG