数学模型第三版课后习题高兵龙

数学建模第三版课后习题解答第1页共59页数学模型作业解答第一章（2008年9月9日）4在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变试构造模型并求解解设椅子四脚连线呈长方形ABCDAB与CD的对称轴为X轴，用中心点的转角表示椅子的位置将相邻两脚A、B与地面距离之和记为FC、D与地面距离之和记为G并旋转0180于是，设,00,00GF就得到0,0FG数学模型设GF、是2,0上的非负连续函数若2,0,有0GF,且0,0,00,00FGFG,则2,00,使000GF模型求解令GFH就有,00H00GGFH再由GF,的连续性,得到H是一个连续函数从而H是,0上的连续函数由连续函数的介值定理,00,使00H即,00,使000GF又因为2,0,有0GF故000GF8假定人口的增长服从这样的规律时刻T的人口为TX,单位时间内人口的增量与TXXM成正比（其中MX为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较解现考察某地区的人口数，记时刻T的人口数为TX（一般TX是很大的整数）,且设TX为连续可微函数又设00|XTXT任给时刻T及时间增量T,因为单位时间内人口增长量与TXXM成正比,假设其比例系数为常数R则T到TT内人口的增量为TTXXRTXTTXM两边除以T,并令0T,得到数学建模第三版课后习题解答第2页共59页00XXXXRDTDXM解为RTMMEXXXTX0如图实线所示，X指数模型当T充分大时MX它与LOGISTIC模型相近0XLOGISTIC模型OT9为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考试尽可能迅速回答下面问题（1）某甲早800从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午500到达山顶并留宿次日早800沿同一路径下山，下午500回到旅店某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛如果是N支球队比赛呢（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的（4）某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于600抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于530抵T市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟问他步行了多长时间（5）一男孩和一女孩分别在离家2KM和1KM且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4KM/H和2KM/H的速度步行回家一小狗以6KM/H的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何数学建模第三版课后习题解答第3页共59页处解（1）方法一以时间T为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程X为纵坐标，第一天的行程TX可用曲线（）表示，第二天的行程TX可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点,000DTP,两天都在0T时刻经过0D地点XD方法二设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同0P时出发，沿同一路径,必定相遇0DT早80T晚5方法三我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为TF即T时刻走的路程为TF,同样设从山顶到山下旅店的路函数为TG,并设山下旅店到山顶的距离为AA0由题意知,08FAF17,AG8,017G令TGTFTH,则有0888AGFH，由于TF,TG都是时间T的连续函数,因此TH也是时间T的连续函数,由连续函数的介值定理,17,80T,使00TH,即00TGTF（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮N队需赛1N场，若KKN221，则需赛K轮（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是800，810，820，那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是809，819，829（4）步行了25分钟设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是600，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是555（5）放学时小狗奔跑了3KM孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家之所以出现位置不定的结果，是数学建模第三版课后习题解答第4页共59页由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定10某人第一天上午900从甲地出发，于下午600到达乙地第二天上午900他又从乙地出发按原路返回，下午600回到甲地试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处若第二天此人是下午400回到甲地，结论将如何答（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为TF即T时刻走的路程为TF,同样设从乙地到甲地的路函数为TG,并设甲地到乙地的距离为AA0由题意知,09FAF18,AG9,018G令TGTFTH,则有0999AGFH由于TF,TG都是时间T的连续函数,因此TH也是时间T的连续函数,由连续函数的介值定理,18,90T,使00TH,即00TGTF若第二天此人是下午400回到甲地,则结论仍然正确,这是因为0999FGFH（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇若第二天此人是下午400回到甲地,则结论仍然正确数学建模第三版课后习题解答第5页共59页数学模型作业解答第二章1（2008年9月16日）1学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者（2）1中的Q值方法；（3）DHONDT方法将A、B、C各宿舍的人数用正整数N1,2,3,相除，其商数如下表将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位你能解释这种方法的道理吗如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较解先考虑N10的分配方案，,432,333,235321PPP311000IIP方法一（按比例分配）,3523111IIPNPQ,3333122IIPNPQ3243133IIPNPQ分配结果为4,3,3321NNN方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为4,3,2321NNN12345ABC2351175783587533316651118325432216144108864数学建模第三版课后习题解答第6页共59页第10个席位计算Q值为,1792043223521Q,7592404333322Q293315443223Q3Q最大，第10个席位应给C分配结果为5,3,2321NNN方法三（DHONDT方法）此方法的分配结果为5,3,2321NNN此方法的道理是记IP和IN为各宿舍的人数和席位（I1,2,3代表A、B、C宿舍）IINP是每席位代表的人数，取,2,1IN从而得到的IINP中选较大者，可使对所有的,IIINP尽量接近再考虑15N的分配方案，类似地可得名额分配结果现将3种方法两次分配的结果列表如下宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667总计1010101515152试用微积分方法，建立录像带记数器读数N与转过时间的数学模型解设录像带记数器读数为N时，录像带转过时间为T其模型的假设见课本考虑T到TT时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2KDNWKNRVDT两边积分，得NTDNWKNRKVDT002222NWKKRNVT222NVKWNVRKT数学模型作业解答第二章2（2008年10月9日）数学建模第三版课后习题解答第7页共59页15速度为V的风吹在迎风面积为S的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与V、S、的关系解设P、V、S、的关系为0,SVPF，其量纲表达式为P32TML,V1LT,S2L,3ML,这里TML,是基本量纲量纲矩阵为A001310013212SVPTML齐次线性方程组为030032221414321YYYYYYYY它的基本解为1,1,3,1Y由量纲IP定理得1131SVP，113SVP，其中是无量纲常数16雨滴的速度V与空气密度、粘滞系数和重力加速度G有关，其中粘滞系数的定义是运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度V的表达式解设V,G的关系为FV,G0其量纲表达式为VLM0T1，L3MT0，MLT2（LT1L1）1L2MLL2T2TL1MT1，GLM0T2,其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A210101101131GVTML齐次线性方程组AY0，即02YYY0YY0YY3YY431324321的基本解为Y3,1,1,1由量纲IP定理得GV133GV，其中是无量纲常数数学建模第三版课后习题解答第8页共59页16雨滴的速度V与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度G有关，其中粘滞系数的定义是运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度V的表达式解设V,，G的关系为0,GVF其量纲表达式为VLM0T1，L3MT0，MLT2（LT1L1）1L2MLL2T2TL1MT1，LM0T0，GLM0T2其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A210010110011311GVTML齐次线性方程组AY0即020035414354321YYYYYYYYYY的基本解为21,1,1,23,021,0,0,21,121YY得到两个相互独立的无量纲量2/112/322/12/11GGV即1212/12/31,GGV由0,21,得12112/12/3GG,其中是未定函数20考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期解设阻尼摆周期T,摆长L,质量M,重力加速度G，阻力系数K的关系为0,KGMLTF其量纲表达式为112120000000,LTMLTVFKTLMGMTLMTLMLTMLT数学建模第三版课后习题解答第9页共59页10MTL，其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A120011010001010KGMLTTML齐次线性方程组02005415342YYYYYYY的基本解为1,21,1,21,00,21,0,21,121YY得到两个相互独立的无量纲量GLT1,21,2/12/12MGKL2/12/1MGKLGLT，其中是未定函数考虑物理模拟的比例模型，设G和K不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为T,T；L,LM,M又2/12/1GMLKGLT当无量纲量LLMM时，就有LLLGGLTT数学模型作业解答第三章1（2008年10月14日）1在31节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期22/112/112/12/1KGMLGTL数学建模第三版课后习题解答第10页共59页和订货批量都比原来结果减少解设购买单位重量货物的费用为K,其它假设及符号约定同课本01对于不允许缺货模型，每天平均费用为KRRTCTCTC2212221RCTCDTDC令0DTDC，解得RCCT212由RTQ，得212CRCRTQ与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变02对于允许缺货模型，每天平均费用为KQQRTRCRQCCTQTC23221221,2223322221222TKQRTQCRCRTQCTCTCTKRTQCCRTQCQC332令00QCTC，得到驻点32322223323213223322122CCKRCCCRKCCCCCRCQCCKCCCRCCT与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数K，销售速率为常数R，数学建模第三版课后习题解答第11页共59页RK在每个生产周期内，开始的一段时间00TT和RK的情况解由题意可得贮存量TG的图形如下贮存费为NITIITTTRKCDTTGCTGC10202022LIM又00TTRTRKTKRT0,贮存费变为KTTRKRC22于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为KTRKRCTCKTTRKRCTCTC2221221KRKRCTCDTDC22210DTDC令,得221RKRCKCT易得函数处在TTC取得最小值，即最优周期为221RKRCKCTRCC,TRK212时当相当于不考虑生产的情况,TRK时当此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量RKTGRTGT0TO数学建模第三版课后习题解答第12页共59页第三章2（2008年10月16日）3在33节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势B有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型解考虑灭火速度与火势B有关，可知火势B越大，灭火速度将减小，我们作如下假设1BKB，分母时是防止中的011BB而加的总费用函数XCBKXBXTCBKXBTCTCXC31221212111212最优解为KBKCBBBCKBCX12112232215在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本Q随时间增长，设TQTQ0，为增长率又设单位时间的销售量为为价格PBPAX今将销售期分为TTTTT，4/RNH，0时，得到两个平衡点2411NRNHNX，2412NRNHNX易知21NX，01XF，02，且尽量接近2N，但不能等于2N2与LOGISTIC模型不同的另一种描述种群增长规律的是GOMPERTZ模型XNRXTXLN其中R和N的意义与LOGISTIC模型相同设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为EXH讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量MH及获得最大产量的捕捞强度ME和渔场鱼量水平0X解TX变化规律的数学模型为EXXNRXDTTDXLN记EXXNRXXFLN令0XF，得0LNEXXNRXRENEX0，01XXNXRX/12X2/N1X4/RNH4/RNH4/RNH20,10,20010101YYXXXXXYYKKKKK由（2）得30102YYXXKK数学建模第三版课后习题解答第29页共59页（1）代入（3）得20102XXXXXKKK0012222XXXXXKKK对应齐次方程的特征方程为022特征根为4822,1当8时，则有特征根在单位圆外，设850,240,201010101YYYXXXXXYYKKKKKK由（5）得，YYYYXXKKK62010203将（4）代入（6），得2220101203XXXXXXXXKKKKK001234424XXXXXXKKKK对应齐次方程的特征方程为702423代数方程（7）无正实根，且42,不是（7）的根设（7）的三个非零根分别为321,，则数学建模第三版课后习题解答第30页共59页424321133221321对（7）作变换,12则,03QP其中612841,122412233322QP用卡丹公式33233223332233223323321322322322322322322PQQWPQQWPQQWPQQWPQQPQQ其中,231IW求出321,，从而得到321,，于是得到所有特征根10由题意知,08FAF17,AG8,017G令TGTFTH,则有0888AGFH，由于TF,TG都是时间T的连续函数,因此TH也是时间T的连续函数,由连续函数的介值定理,17,80T,使00TH,即00TGTF（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮N队需赛1N场，若KKN221，则需赛K轮2已知某商品在K时段的数量和价格分别为KX和KY，其中1个时段相当于商品的一个生产周期设该商品的需求函数和供应函数分别为211KKKXXFY和1KKYGX试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件解已知商品的需求函数和供应函数分别为211KKKXXFY和1KKYGX设曲线F和G相交于点,000YXP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线F和G0,20101XXXYYKKK（1）0,001YYXXKK（2）由（2）得0102YYXXKK（3）（1）代入（3），可得20102XXXXXKKK,2,1,2220012KXXXXXKKK，（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程022容易算出其特征根为数学建模第三版课后习题解答第42页共59页4822,1（5）当8时，显然有44822（6）从而22，2在单位圆外下面设8，由5式可以算出22,1要使特征根均在单位圆内，即2,11，必须2故0P点稳定平衡条件为23设某渔场鱼量TX时刻T渔场中鱼的数量的自然增长规律为1NXRXDTTDX其中R为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量而单位时间捕捞量为常数H（1）求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性（2）试确定捕捞强度ME,使渔场单位时间内具有最大持续产量MQ,并求此时渔场鱼量水平0X解（1）TX变化规律的数学模型为HNXRXDTTDX1记HNXRXXF1,令01HNXRX，即02HRXXNR（1）442NHRRNRHR，（1）的解为2412,1NRNHNX1当0时，（1）无实根，此时无平衡点；当0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20NXNRXRNRXNXRXF21，00XF不能断定其稳定性但0XX及0XX均有041RNNXRXXF，即0DTDX0X不稳定；当0时，得到两个平衡点2411RNHNNX，2412RNHNNX数学建模第三版课后习题解答第43页共59页易知21NX，22NX01XF，02XF平衡点1X不稳定，平衡点2X稳定（2）最大持续产量的数学模型为0MAXXFTSH即1MAXNXRXH，易得20NX此时4RNH，但20NX这个平衡点不稳定要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2NX,且尽量接近2N,但不能等于2N5某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示品种原材料能源消耗百元劳动力人利润千元甲2144乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人试安排生产任务生产甲、乙产品各多少件,使利润最大,并求出最大利润解设安排生产甲产品X件，乙产品Y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为ZYXYXYXYXYXTSYXS,0,02000242400614003254MAX模型的求解用图解法可行域为由直线0,020002424006140032321YXYXLYXLYXL及组成的凸五边形区域直线CYXL54在此凸五边形区域内平行移动易知当L过31LL与的交点时，S取最大值由200024140032YXYX解得200,400YX260020054004MAXS（千元）故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元6某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表数学建模第三版课后习题解答第44页共59页货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润解设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1X,2X,所获利润为Z则问题的数学模型可表示为211020MAXXXZZYXXXXXXXST,0,13522445212121这是一个整线性规划问题用图解法求解可行域为由直线2445211XXL1352212XXL及0,021XX组成直线CXXL211020在此凸四边形区域内平行移动易知当L过L1与L2的交点时，Z取最大值由135224452121XXXX解得1421XX90110420MAXZ7深水中的波速V与波长、水深D、水的密度和重力加速度G有关，试用量纲分析方法给出波速V的表达式解设V,D,，G的关系为,GDVF0其量纲表达式为VLM0T1，LM0T0，2LL1X1L2X数学建模第三版课后习题解答第45页共59页DLM0T0，L3MT0，GLM0T2,其中L，M，T是基本量纲4分量纲矩阵为A200010100013111GDVTML齐次线性方程组AY0，即02YY0Y03YY51454321YYY的基本解为1Y,21,0,0,21,12Y0,0,1,1,0由量纲IP定理得2112121DGVGV1,21,D2DGV，其中是未定函数第二章2（2008年10月9日15速度为V的风吹在迎风面积为S的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与V、S、的关系解设P、V、S、的关系为0,SVPF，其量纲表达式为P32TML,V1LT,S2L,3ML,这里TML,是基本量纲量纲矩阵为A001310013212SVPTML齐次线性方程组为030032221414321YYYYYYYY它的基本解为1,1,3,1Y数学建模第三版课后习题解答第46页共59页由量纲IP定理得1131SVP，113SVP，其中是无量纲常数16雨滴的速度V与空气密度、粘滞系数和重力加速度G有关，其中粘滞系数的定义是运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度V的表达式解设V,G的关系为FV,G0其量纲表达式为VLM0T1，L3MT0，MLT2（LT1L1）1L2MLL2T2TL1MT1，GLM0T2,其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A210101101131GVTML齐次线性方程组AY0，即02YYY0YY0YY3YY431324321的基本解为Y3,1,1,1由量纲IP定理得GV133GV，其中是无量纲常数16雨滴的速度V与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度G有关，其中粘滞系数的定义是运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度V的表达式解设V,，G的关系为0,GVF其量纲表达式为VLM0T1，L3MT0，MLT2（LT1L1）1L2MLL2T2TL1MT1，LM0T0，GLM0T2其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A210010110011311GVTML齐次线性方程组AY0即020035414354321YYYYYYYYYY的基本解为数学建模第三版课后习题解答第47页共59页21,1,1,23,021,0,0,21,121YY得到两个相互独立的无量纲量2/112/322/12/11GGV即1212/12/31,GGV由0,21,得12112/12/3GG,其中是未定函数20考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期解设阻尼摆周期T,摆长L,质量M,重力加速度G，阻力系数K的关系为0,KGMLTF其量纲表达式为112120000000,LTMLTVFKTLMGMTLMTLMLTMLT10MTL，其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为A120011010001010KGMLTTML齐次线性方程组02005415342YYYYYYY的基本解为1,21,1,21,00,21,0,21,121YY得到两个相互独立的无量纲量22/112/112/12/1KGMLGTL数学建模第三版课后习题解答第48页共59页GLT1,21,2/12/12MGKL2/12/1MGKLGLT，其中是未定函数考虑物理模拟的比例模型，设G和K不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为T,T；L,LM,M又2/12/1GMLKGLT当无量纲量LLMM时，就有LLLGGLTT第三章1（2008年10月14日）2在31节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解设购买单位重量货物的费用为K,其它假设及符号约定同课本01对于不允许缺货模型，每天平均费用为KRRTCTCTC2212221RCTCDTDC令0DTDC，解得RCCT212由RTQ，得212CRCRTQ与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变02对于允许缺货模型，每天平均费用为KQQRTRCRQCCTQTC23221221,2223322221222TKQRTQCRCRTQCTCTC数学建模第三版课后习题解答第49页共59页TKRTQCCRTQCQC332令00QCTC，得到驻点32322223323213223322122CCKRCCCRKCCCCCRCQCCKCCCRCCT与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数K，销售速率为常数R，RK在每个生产周期内，开始的一段时间00TT和RK的情况解由题意可得贮存量TG的图形如下贮存费为NITIITTTRKCDTTGCTGC10202022LIM又00TTRTRKTKRT0,贮存费变为KTTRKRC22于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为KTRKRCTCKTTRKRCTCTC2221221RKTGRTGT0TO数学建模第三版课后习题解答第50页共59页KRKRCTCDTDC22210DTDC令,得221RKRCKCT易得函数处在TTC取得最小值，即最优周期为221RKRCKCTRCC,TRK212时当相当于不考虑生产的情况,TRK时当此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量第四章（2008年10月28日）2某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克,B原料5千克；一件乙产品用A原料2千克,B原料4千克现有A原料20千克,B原料70千克甲、乙产品每件售价分别为20元和30元问如何安排生产使收入最大解设安排生产甲产品X件,乙产品Y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为MAXS20X30YSTZYXYXYXYX,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为由直线1LX2Y20,2L5X4Y702LY以及X0,Y0组成的凸四边形区域直线L20X30YC在可行域内L平行移动易知当L过1L与2L的交点时，1LXS取最大值由7045202YXYX解得510YX此时MAXS2053010350（元）2某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表数学建模第三版课后习题解答第51页共59页货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润解设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1X,2X,所获利润为Z则问题的数学模型可表示为211020MAXXXZZYXXXXXXXST,0,13522445212121这是一个整线性规划问题用图解法求解可行域为由直线2445211XXL1352212XXL及0,021XX组成直线CXXL211020在此凸四边形区域内平行移动易知当L过L1与L2的交点时，Z取最大值由135224452121XXXX解得1421XX90110420MAXZ3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和122LL1X1L2X数学建模第三版课后习题解答第52页共59页台试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润解设安排生产甲型微波炉X件,乙型微波炉Y件,相应的利润为S则此问题的数学模型为MAXS3X2YSTZYXYXYXYX,12,61202410032这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为由直线1L2X3Y100,2L4X2Y120及X6,Y12组成的凸四边形区域直线L3X2YC在此凸四边形区域内平行移动易知当L过1L与2L的交点时,S取最大值由1202410032YXYX解得2020YXMAXS320220100第五章2（2008年11月14日）6模仿54节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形解设给药速率为,0VTCTXTF容积为血药浓度为中心室药量为,0/TVCTXTFTKXTXK则排除速率为常数1快速静脉注射设给药量为,0D则,0,0000TKEVDTCVDCTF解得2恒速静脉滴注持续时间为设滴注速率为,00,000CKTFK，则解得中心室TC,TXVK排除TF0数学建模第三版课后习题解答第53页共59页TEEVKKTEVKKTCTKKTKT,10,1003口服或肌肉注射，解得）式节（见1345010010TKEDKTF010101001,01KKTEVKDKKEEKKVDKTCKTTKKT3种情况下的血药浓度曲线如下123OT4在53节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为4BA初始兵力00YX与相同1问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定2若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率R增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负解用TYTX,表示甲、乙交战双方时刻T的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为数学建模第三版课后习题解答第54页共59页000,01,YYXXBXDTDYAYDTDX现求1的解1的系数矩阵为00BAAABABBAAE1,2201212,21，对应的特征向量分别为TABTABECECTYTX1212121的通解为再由初始条件，得2220000TABTABEYXEYXTX又由1AYBXDXDY可得其解为3,202022BXAYKKBXAY而1231000202011YABYABXAYAKTYTX时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为230Y数学建模第三版课后习题解答第55页共59页又令0222,01100001TABTABEYXEYXTX）得由（注意到000020022,1XYYXEYXTAB得43LN,3121BTETAB2若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率R增援则000,04YYXXBXDTDYRAYDTDX,4RDYAYDYBXDXBXRAYDYDX即得由相轨线为,222KBXRYAY222220020KARBXARYABXRYAYK或此相轨线比书图11中的轨线上移了AR乙方取胜的条件为,0222020ARXABARYK亦即第六章（2008年11月