基于GHM多小波和贝叶斯估计的图像去噪

吉林大学硕士学位论文1分类号TN9418学校代码10185密级内部学号200627硕士学位论文题目基于GHM多小波和贝叶斯估计的图像去噪作者姓名丛才巍专业通信与信息系统导师姓名及职称赵继印副教授吉林大学年月吉林大学硕士学位论文2提要图像噪声平滑是图像分析和计算机视觉中最基本然而又是十分重要的技术，寻找能够兼容去噪和细节保持的图像滤波算法一直是这一领域的热点。小波变换为信号和图像的表示提供了一种多分辩率（多尺度）的表示方法，根据多小波比平凡单小波具有的更多的优点（同时具有正交性、对称性、紧支性）而利用多小波对信号和噪声进行分解。提出了在多小波域内进行贝叶斯估计的去噪算法。本文对噪声和图像在多小波域内的统计特性，在多小波域内的信号建模，算法中贝叶斯估计的提出和在多小波域内的导入等几个问题进行了研究和探讨。该算法不仅对图像噪声有良好的抑制特性，同时还可以保留尽可能多的图像细节，并且具有广泛的应用意义。关键词图像，GHM多小波变换，域值，贝叶斯估计，拉普拉斯，去噪吉林大学硕士学位论文3目录第1章绪论111引言112课题来源213图像去噪的发展状况2131线性滤波器用于图像增强的发展状况2132非线性滤波器用于图像增强的发展状况4133小波域的噪声平滑514本论文的主要研究内容6第2章小波变换的基本理论821小波的发展概况822短时傅立叶变换9221短时傅立叶变换（STFT）10222STFT的时间分辨率与频率分辨率1123小波变换及其应用理论12231连续小波变换12232离散小波变换15233小波的分类1524框架理论1625多分辨率分析（MULTIRESOLUTIONANALYSIS,简写MRA）1726MALLAT塔形算法2027多小波理论2228贝叶斯估计准则2329本章小结25吉林大学硕士学位论文4第3章多小波变换域中的图像去噪与重构2631引言2632多小波变换2633数字图像多小波变换预处理2834GHM多小波分解过程2935本章小节36第4章贝叶斯估计3741引言3742贝叶斯信号估计3943多小波的统计参数的参数模型41第5章实验模拟及结果分析4451实验数字图像的选择4452噪声模型4553基本参数及评价标准4654实验结果及分析48第6章全文总结54致谢56参考文献57摘要IABSTRACTIV吉林大学硕士学位论文5第一章绪论11引言在当今的现实世界中，图像是人们获取信息的重要来源。这是因为一幅图像所包含的信息量和直观性是其他途径（如声音信号，文字信号）所无法比拟的。同时，又因为图像可以给人更好的亲和力，使人容易接受和理解。所以，人们非常重视图像信号的处理。数字图像处理从字面上看，至少是经过数字化处理的图像，严格来说是指利用计算机技术将一幅图像变为另一幅经过修改（或改进）的图像或者抽取图像中的测度的过程，现在则包括了图像编码、压缩、传输、去噪到重现的所有处理过程和测度分析，数字图像处理的目的就是要获得质量更高的重现图像和更清晰有效的测度指标，获得更省时快捷的传输能力。图像在进行分析和使用之前，都要经过严格的预处理过程。图像的预处理包括很多方面，比如将图像存储成需要的格式，对图像进行去噪。由于本文的内容所限，只探讨去噪方面的内容。谈到去噪的重要性，这主要有三方面的原因1、图像信号是通过传感器将现实世界中的有用图像进行采集、编码、传输、恢复几个基本步骤。在这几个步骤中影响图像质量的因素很多，首先对于信号源来说，现实图像中，并不是所有的图像都是我们所需要的信息，所以无用的部分对我们而言就是噪声，同时由于设备、环境、方法等因素也会引进来很多噪声干扰源，如电磁干扰、相片颗粒噪声、采集图像信号的传感器噪声、信道噪声、甚至滤波器产生的噪声等等，这些噪声严重降低了图像信号的质量；2、在科学研究、工业生产、国防等很多领域对图像质量的要求也越来越高；3、是图像后续处理的需要，因为这样可以降低图像的冗余度，提高图像压缩的压缩比。在这种情况下，人们不得不从各种角度进行探索以提高图像的质量。通常情况下，人们提高图像的手段有两个途径1、提高进行图像处理的处理器的速度；2、研究更优的图像处理的理论方法。吉林大学硕士学位论文612课题来源本科题是吉林省科学技术委员会立题，并委托吉林大学信息学院的赵继印老师进行研究的具有一定的实际意义的从理论到实践过度性的课题。13图像去噪的发展状况在对图像进行滤波的过程中所采用的滤波器分为空间域滤波、频域滤波。而从所处理的信号域来分又可以分为线性滤波器和非线性滤波器以及近年来兴起的小波域滤波。131线性滤波器用于图像增强的发展状况早期用到的一种线性滤波器是非加权邻域平均滤波器4（UNWEIGHTEDNEIGHBORAVERAGINGFILTER），它是一种简单而实用的滤波器。设图像中某像素点的灰度值为FX,Y（在以后的论文中也使用这一约定），它的邻域S为NN点的方形窗口。点集的总点数为M，则平滑后，这一点的灰度值取为SJIJIFMYXF,1,1,131如果对上述算法稍加改进，可得到另一种称为超像素平滑滤波器4（OUTRANGEPIXELSMOOTHINGFILTER）。它是将FX,Y和,1YXF的绝对差值与选定的阈值相比较，根据比较结果决定点X,Y的最后灰度,2YXF否则当,112YXFTYXFYXFYXFYXF132其中，T为选定的阈值。这种方法对抑制椒盐噪声（SALTANDPEPPERNOISE）有特效。修改均值滤波的权值我们可以得到不同的加权平均滤波器。有人提出个邻点平均滤波器5（NEARESTNEIGHBORAVERAGINGFILTER），它是用与中心点最接近的个邻点吉林大学硕士学位论文7的平均灰度来代替中心像素的灰度。ANG、VAGNUCCI和CLI等人提出梯度倒数加权平滑滤波器5GRADIENTINVERSEWEIGHTINGSMOOTHINGFILTER。即在一个NN的窗口内，把中心像素点与各邻点之间梯度绝对值的倒数定义为各邻点的加权值。这样可使图像得到平滑，又不致使边沿和细节有明显模糊。另一种均值滤波器是最大均匀性平滑滤波器MAXIMUMHOMOGENEITYSMOOTHINGFILTER。它是通过寻找环绕图中每点的最均匀区域，然后用这区域的灰度均值代替这点原来的灰度值。TOMITA和TSUJI等人建议6，对图像中任一点X,Y的5个重叠的矩形邻域用梯度算子计算它们灰度变化的大小。把其中灰度变化最小的邻域作为最均匀的区域，用它的平均灰度代替像点X,Y的原灰度值。NAGAO和MATSUYAMA等人提出7,围绕一点使用9个细长条掩模ELONGATEDBARMASK，并用方差作为各个区域不均匀性的测度。还有一种较为复杂的平滑滤波器是小斜面模型平滑滤波器SLOPEMODELSMOOTHING。在第五届全国图像图形学学术会议上，有学者提出了有选择的局部平均化平滑方法及4R方法9，并在4R方法中提出了梯度挪用的思想。这种方法不仅能较好地保持边缘而且较快。针对人眼视觉特性和自适应性，有学者提出了对基于LIP模型的LEE图像增强算法的改进方法11。在设计中，应用到一个重要的人眼视觉特性，即人眼对在图像平缓部分的噪声比在细节部分的噪声更敏感。他们在设计滤波器时，使图像的局部对比度在细节部分增加得大一些，在平缓的部分小一些。该算法对低对比度的图像增强效果明显。在过去的二十年里，自适应滤波器在通信和信号处理领域引起了人们的极大关注。TERENCEWANG等人针对二维自适应FIR滤波器提出了一种二维最优块随机梯度算法TDOBSG19。这种算法对滤波器的所有系数使用了空间可变的收缩因子。基于使后验估计方差矢量的二范数最小的最小方差准则，在块迭代的过程中选出最优的收敛因子。线性滤波器的最大优点是算法比较简单且速度比较快，缺点是容易造成细节和边缘模糊。132非线性滤波器用于图像增强的发展状况非线性滤波器是非线性科学中的一个重要分支，它能够在很好地保持信号细节的同时，去除信号中噪声。在数字图像处理中，非线性滤波器已经得吉林大学硕士学位论文8到了广泛的应用与重视。现在有很多种非线性滤波器，而在图像处理中用到的非线性滤波器大多数是次序统计滤波器。非线性滤波器主要包括中值滤波器、形态滤波器、小波滤波器、多项式滤波器以及利用人工神经网络ANN构成的非线性滤波器等等。我们主要介绍一下中值滤波器和小波滤波器的发展。1977年TUKEY提出了中值滤波器理论14。在图像处理中应用的中值滤波器主要是二维中值滤波器。二维中值滤波器的输出定义为ASRFFSJRIIJ,MED,133其中，A为大小为N2K12K1的窗口，IJF为二维信号，2,ZJI，且2ZA是中心位置,JI的邻域。中值滤波器对脉冲的响应为零。这种性质使它在抑制脉冲噪声方面有很大的优势，中值滤波器具有稳健的性质，因此在噪声未知的情况下，它很适合于信号的平滑。因为中值滤波器有如此的优势，很多科学工作者对中值滤波器作了改进或者提出了一些新型的中值滤波器。吴小培等提出了“图像细节保持中值滤波器15”，其基本思想是使用嵌套的中值滤波器。即在33窗口内，使用4个方向模板，对每个模板内的数据进行中值滤波，然后根据需要，选一个模板的输出作为滤波器的最后输出。针对中值滤波器在处理矢量信号存在的缺点，JAKKO等人提出两种矢量中值滤波器16。在论文中他们还提出了将FIR滤波器与矢量中值滤波器相结合的思想，即先将矢量信号分组，分别求均值，然后再对矢量均值应用矢量中值滤波器。这样处理后的信号要比单纯对矢量信号的各个标量分别进行中值滤波效果要好得多。加权中值滤波器1317在过去的几年里引起了人们的极大兴趣。它继承了经典中值滤波器的稳健特性和保边缘能力，在某些特性上，它又类似于FIR滤波器。后来又有人在结构约束的基础上提出了最优加权中值滤波器。TAOCHEN等人根据图像去噪的特点，提出了三态中值滤波器18。三态中值滤波器是将标准中值滤波器SW和中心加权中值滤波器CWM相结合，给出两个阈值，再根据标准中值滤波器和中心加权中值滤波器的输出来决定使用标准中值滤波器还是中心加权中值滤波器，或者不处理该点。其定义如下吉林大学硕士学位论文92121DTFDTDFDTFFSMIJCWMIJIJTSMIJ134其中，TSMF,CWMF和SMF分别为三态中值滤波器的输出、中心加权中值滤波器的输出和标准中值滤波器的输出。SMIJIJFFD1，CWMIJIJFFD2，T为给定的阈值。改进型的中值滤波器还有极大/中值滤波器、秩统计滤波器和递归中值滤波器等等。133小波域的噪声平滑小波分析是当前应用数学中一个迅速发展的新领域，与FOURIER变换、窗口FOURIER变换（GABOR变换）相比，小波变换是空间（时间）和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析MULTISCALEANALYSIS，解决了FOURIER变换不能解决的许多问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”。小波变换在多个领域都有广泛的应用，尤其是在图像信号处理领域更是显示出极大的优势，也具有诱人的前景。1992年，MALLAT等人提出了基于信号奇异性的信号和图像多尺度表示方法以及相应的滤波方法。但是由于该方法的复杂性和计算量大的特点，JIANLU在文献11中通过直接将小波变换与信号处理方法相结合，得到了一种性能优良的滤波方法。这一方法在滤除噪声的同时，有相当强的保留信号细节的能力。但对于多尺度域值滤波迭代过程，未解决域值选取方法的规则问题。DONOHO在文献12中提出了直接对信号和图像取域值的方法。但是这只能说是ADHOC算法的一种改进。为了寻求具有更加广泛意义的算法，EEROPSEMONCELLI和EDWARDHADELSON在文献44中提出了贝叶斯估计准则进一步解决了域值问题。小波变换用于图像去噪，经常用到的方法有根据小波变换的幅度去噪、根据小波变换的相位去噪和多小波去噪等等。吉林大学硕士学位论文10DONOHO和JOHNSTONE提出了一种叫做“小波收缩”的方法来去除信号和图像中噪声202122。小波收缩是根据将小波系数向零方向收缩这一原理来进行去噪的。ANDREWBRUCE等提出了半软收缩的小波去噪方法23，它兼有软收缩和硬收缩的优点。ELWOODTOLSEN等提出在处理断层摄影图像时，提出了三种基于小波相位去噪方法边缘跟踪法、局部相位方差阈值和尺度相位变动阈值法24。与基于小波极大模的去噪方法相比它具有更好的滤波效果。彭玉华给出了一种“基于离散正交小波变换的图像去噪方法25”，该方法通过二维离散小波变换将图像投影到小波变换域，通过对小波系数进行阈值处理实现二维图像的去噪。多小波是小波变换的一个新的发展。由矩阵滤波器组到小波基的可实现性，多小波同时具有正交性、对称性和紧支撑性，而标量二通道的小波系统是不可能满足这些特性的。多小波滤波系统与标量小波系统的不同在于它需要两个通道或更多的数据输入。VASILYSTRELA等人将一类新的多小波（约束对）应用于图像的去噪26，取得了良好的效果。总之小波变换在图像的增强方面，还存在着巨大的潜力。14本文的主要研究内容图像噪声去除是图像分析和计算机视觉中最基本然而又是十分重要的技术，在常用的图像噪声去除方法中，存在一个至今尚未得到很好解决的困难，即在去除噪声的同时，引起图像边缘的模糊，在保留和增强图像边缘的同时，又增强了图像的噪声。因此，寻找能够兼容去除噪声和保留图像边缘及其他有意义特征的图像滤波算法一直是这个领域的热门课题。多年来不少研究者进行了这方面的研究，提出了一些新的算法，使噪声的去除效果得到不同程度的提高。但是，大多数法算法都是对应着具有一定特征的图像，也就是说基于图像的先验数学特征的算法。这些算法的应用具有很大的局限性。为此有一些人开始研究具有更加广泛应用程度的算法。小波变换作为一种有效的时间（空间）/尺度分析方法，近年来受到广泛的关注。小波变换为信号和图像的表示提供了一种多分辨率（多尺度）的方法，能够同时给出信吉林大学硕士学位论文11号和图像的时（空）域和频域的信息。因此，在小波变换域中进行噪声平滑具有空间和频率的双重选择性，克服了傅立叶方法和其他分析方法的不足。另一方面，理论和实验证明，噪声小波变换的性态与信号奇异性态相比具有显著的不同。充分利用这些特点，在小波变换域中对图像信号进行有效去噪，是本文研究的方向，其主要研究内容包括以下几个方面根据多小波理论，选取最优的小波基；根据图像信号与高斯白噪声在数理统计上的显著不同，为图像信号去噪提供理论依据；研究图像去噪的方法；验证该算法的有效性和去噪效果，并同典型的算法相比较。吉林大学硕士学位论文12第二章小波变换的基本理论傅里叶变换有它明显的缺陷，那就是无时间局部信息。也就是说，信号任何时刻的微小变化会牵动整个频谱。而实际信号往往是时变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很重要的。人们很自然地首先想到通过预先加窗的办法使频谱反映时间局部特性，这就是短时傅里叶变换（SHORTTIMEFOURIERTRANSFORM，缩写为STFT），由于受HEISENBERG测不准原理的限制，信号的时宽T与频宽F之积为一常数。因此，变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时任意的好。对于一个时变的非稳态信号，我们很难找到一个“好的”时间窗口来适合与不同的时间段。小波变换（WAVELETTRANSFORM,缩写WT）与STFT有本质的区别，WT是一种变分辨率的时频分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而分析高频信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号持续时间短，低频信号持续时间较长的自然规律。同STFT相比，小波变换在时频具有不可比拟的优势，因此得到了广泛的应用。由于小波变换的数学理论（小波理论）和方法在很大程度上解决了我们在前面提出的问题，在许多科学技术领域受到了人们的关注，不少人认为，小波理论为在不同信号处理应用中独立发展起来的一系列技术提供了一个统一的框架，诸如计算机视觉中的多分辨率信号处理，声音和图象压缩中的子带编码以及应用数学中的小波序列展开，如今被看成一个单一理论中以不同角度看问题。21小波的发展概况小波WAVELET是近几年国际科技界和众多学术团体高度关注的前沿领域，它目前也是在许多科学和工程技术聚会中一个非常广泛的话题，它作为一种数学理论和分析方法，正在科学技术界引起一场轩然大波。在数学领域，吉林大学硕士学位论文13它是泛函分析，FOURIER变换，样条分析，调和分析，数值分析的完美结合。在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音识别、模式识别、数据压缩、故障诊断、量子物理等众多领域中被认为是近年来在工具和方法上的重大突破。小波概念真正出现始于1984年，法国地球物理学家JMORLET在分析地震数据时提出将地震波按一个研究函数的伸缩，平移展开，随后他与AGROSSMAN共同研究发展了连续小波变换的几何体系。1985年，YMEYER,AGROSSMAN与IDAUBECHIES共同研究得到了离散的小波基（称为小波框架）。真正的小波热潮始于1986，YMEYER在试图证明不可能存在时频域都具有一定正则性的正交小波基时，却意外发现具有一定衰减性的光滑性函数，构成的规范正交基，此后，LEMARIE和BATTLE又分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数。1987年，MALLAT巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换的分解与重构，统一了以前所有具体小波函数的构造，并将MALLAT算法成功应用于图象的分解与重构。1988年，比利时女数学家IDAUBECHIES撰写的小波十讲，TENLECTURESONWAVELETS对小波的普及推广起到主要的作用。922短时傅立叶变换傅立叶变换FOURIERTRANSFORM,缩写为FT定义为DTETXFXFTJ2221此式称为基于FOURIER变换的信号分析。傅氏逆变换为DFEFXTXFTJ2222也称为基于FOURIER变换的信号综合。通常FOURIER变换不取上面的对称形式，而由下列公式定义正变换吉林大学硕士学位论文14DTTJETXX223逆变换DEXTXTJ21224对于确知信号和平稳随机过程，FOURIER变换是信号分析和信号处理技术的理论基础，有着非凡的意义，起着重大的作用。但是，傅立叶变换有它明显的缺陷，那就是无时间局部信息。也就是说，信号TX任何时刻的微小变化会牵动整个频谱；反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任何小时间范围的函数TX12。实际信号往往是时变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很重要的。人们很自然地首先想到通过预先加窗的办法使频谱反映时间局部特性，这就是短时傅立叶变换（SHORTTIMEFOURIERTRANSFORM,缩写为STFT）,也称为加窗傅立叶变换（WINDOWEDFOURIERTRANSFORM）。221短时傅立叶变换（STFT）STFT的定义为TDETTGTXFTSTFTTFJX2,225其中TG为分析窗函数。以后如不特别注明，积分限均指从到。时刻T的STFT是信号TX乘以平移滑动的分析窗TTG（中心在T，上标表示复共轭）的FOURIER变换。由于相对比较窄的窗作用，有效地抑制了分析点TT的邻域以外的信号，所以STFT可简单看作信号TX围绕分析时刻T的局部谱。STFT也可借助于信号和窗函数的谱来表示FDEFFGFXEFTSTFTTFJFTJX22,226除相位因子FTJE2，频域的STFT表达式和（225）式的时域表示很相似。频吉林大学硕士学位论文15域中的表示可看作是“窗谱”FFGFX的逆FOURIER变换，在这里谱窗FG是时窗TG的FOURIER变换222STFT的时间分辨率与频率分辨率STFT在时刻T的谱图是由信号TX通过加窗TTG得到，所有在窗函数里的信号都被看作是T时刻的信号特征。因此，我们希望用短的时间窗来刻画时刻T的信号特征，获得好的时间分辨率；另一方面，在频率F处的STFT可看作是信号TX通过带通滤波器FFG得到，因此好的频率分辨率要求窄带的滤波器，又意味着长的时间窗TG，可见两者是矛盾的。因此，联合的时频分辨率是有限制的，二者不可能同时都高，即为获得好的时间分辨率（使用短的时间窗）而必须牺牲频率分辨率，反之亦然。这里，我们考虑两个极端的例子。第一种情况取窗函数为T，此时FTJXETXFTSTFTTTG2,227STFT变成信号TX,保持信号的所有时间特性，有完美的时间分辨率，但无任何频率分辨率。第二种情况是取无穷长窗宽的窗函数，即1TG，它的FOURIER变换（即带通滤波器特性）为F，此时FXFTSTFTFFGX,228STFT变成为FOURIER变换，有极好的频率分辨率，但没有任何的时间分辨率。通常，定义带通滤波器的带宽F为9DFFGDFFGFF2222229并以此作为频率分辨率，即两个正弦波只有当它们之间的频率差大于F吉林大学硕士学位论文16时，我们才认为它们是可以区分或者说可分辨的。类似地，定义窗函数的时宽T为DTTGDTTGTT22222210并以此作为时间分辨率，即两个脉冲只有当他们在时间上的间隔大于T时，我们才认为是可以区分或可分辨的。由于窄的波形有宽的频谱而宽的波形有窄的频谱，所以波形和频谱的宽度两者不可能同时任意地小。根据HEISENBERG不等式41FT221因此，变换的时间分辨率和频率分辨率也不可能同时任意地好。通常，把一个信号的时宽T和频宽F的乘积大于等于一个常数称为不确定原理。不确定原理表明这样一个事实一个窄的波形有一个宽的频谱，而一个宽的波形有一个窄的频谱，波形和频谱的宽度两者不能同时任意地窄。23小波变换及其应用理论加窗后的傅立叶变换虽然有了时间分辨率，但时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾无法克服，应用于实际信号分析，尚有不足之处。现在我们对实际信号作些分析。研究显示12，对声音信号，人的耳蜗响应，不仅对声强是分贝关系，对频率的响应也是分贝关系。再看图象信号，通常由窄的低频分量（大面积的灰度和色彩变化不大的背景）和宽的高频分量（事物的灰度和色彩变化激烈的鲜明轮廓）组成。其他像雷达杂波等信号也具有同样的特性。所以，在分析信号时，不同的频率上应有不同的分辨率。低频处应有较高的频率分辨率，而在高频段频率分辨率可降低，使频率分辨率F随频率F而变。小波变换（WAVELETTRANSFORM,缩写为WT）正具有这样的特性。吉林大学硕士学位论文17231连续小波变换CONTINUOUSWAVELETTRANSFORM,简写CWT定义231设RBA,0,则按如下方式生成的函数族A,BT21,ABTATBA231称为连续小波或分析小波，T叫基小波或母小波（MOTHERWAVELET）。其中A是尺度参数，B是时移参数。改变A的值，对函数,TBA具有伸展1A和收缩11）鉴于T本身的波形就是小波，它生成的函数系TBA,的波形也属小波，所以常将T称为基本小波或母小波，而将,TBA统称为小波。实值小波只能提取被分析信号的幅值信息，而复值小波则可以提取被分析信号的幅值与相位信息。定义232设为T母小波，,TBA按式（231）给出，对RLTF2,TF的连续小波变换定义为吉林大学硕士学位论文18DTABTATFFBAWBAF,21,233连续小波变换具有以下重要性质29性质1（线性）一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。性质2（平移不变性）若BAWTFF,，则BAWTFF,。性质3（伸缩共变性）若BAWTFF,，则CBCAWCCTFF,1，其中0C。性质4（自相似性）对应于不同尺度参数A和不同平移参数B的连续小波变换之间是自相似的。性质5（冗余性）连续小波变换中存在信息表达的冗余度（REDUNDANCY）。本质上连续小波变换是将一维信号TF等距映射到二维尺度时间BA,平面，其自由度明显增加，从而使得小波变换含有冗余度。冗余度事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面29由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号TF的小波变换和小波反变换不存在一一对应的关系，而FOURIER变换FOURIER反变换是一一对应的。小波变换的核函数即小波族函数,TBA存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波，正交小波或双正交小波，甚至允许彼此是线性相关的）。小波T的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的（COMPACTSUPPORT），即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。连续小波变换式233是用内积来表示的，而数学上的内积表示TF与TBA,的相似程度，所以由式233，当尺度A增加时，表示以伸展了的TBA,波形去观察整个TF；反之；当尺度A减小时，则以压缩的TBA,波形去衡量TF局部。吉林大学硕士学位论文19可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例（尺度）参数看全局而小的比例（尺度）参数看局部细节。因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻人们希望既看到森林，又看清树木。所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦（ZOOMING）镜头。定理231设TF,RLT2,TF的连续小波逆变换为DADBTBAWACTFBAF,21234式234表明信号TF的小波变换没有损失任何信息，变换是守恒的。232离散小波变换DISCRETEWAVELETTRANSFORM,简写DWT前面所述的连续小波变换由于计算量、存储量大，而多用于理论分析方面。在实际应用中往往需要对尺度参数A和定位参数B进行离散化处理，可以选取AA0MM是整数，A01，BNB0A0MB00,N为整数，于是有1002/00000,NBTAAAANBTATMMMMMNM235相应的离散小波变换DTNBTATFADTTTFAFMMNMMNM,002/0,2/0,243事实上，满足框架理论的小波变换采用以“点”替“带”的方法来描述“带”的信息，即用频带的中心频率J上的小波变换来描述信号在该频带的局部频率信息。25多分辨率分析小波框架是冗余的，但这种冗余度在许多应用中是有用的。在更多的应用中，我们希望尽可能降低小波基的冗余度，在极端情况下，我们希望小波KJ,是线性独立的，即希望它是一个RIESZ基，更进一步地，由于正交基是HILBERT空间最理想的基函数，所以我们最希望小波族KJ,能够是一个正交基。考虑用多个分辨率对一个平方可积（连续）函数RLTU2进行逼近。如果该函数是一个信号，那么“用可分辨率J2去逼近它”也可以等价地叙述为“用分辨率J2取出相应的信号细节来进行分析”。因此，多分辨逼近和多分辨分析等价。令T是一个平方可积的连续函数，即RLT2，并且KTTJJKJ222/,251是由T生成的二维离散序列。另一方面，令参考子空间0V由RL2生成,00ZKCLOSEVK252并且其它所有子空间JV也由生成0,JZJZKCLOSEVKJJ253它表示JV是TJ2通过平移形成的所有子空间的闭集，即JV代表与分辨率J2对应的多分辨分析子空间。吉林大学硕士学位论文23定义251（多分辨率分析的定义）空间RL2内的多分辨分析是指构造RL2空间内的一个子空间序列ZJVJ，使它具备以下性质29单调性（包容性）21012VVVVV254或简写作ZJVVJJ,1；逼近性0,2JJJJVRLVCLOSE255伸缩性12JJVTVT时移不变性ZKVKTVTJJJ,2256RIESZ基存在性28存在0VT，使得,2ZKKTJ构成JV的RIESZ基若令JA是用分辨率J2逼近信号TU的算子，则在分辨率J2的所有逼近中，TUAJ是最类似于TU的函数，即JJVTGTUTUATUTG,257也就是说，逼近算子JA是在向量空间JV上的正交投影（投影定理）。这一性质成为多分辨分析的类似性。定理251令JV（其中ZJ）是2L空间的一多分辨逼近，则存在一个唯一函数2RLT使得ZKKTJJJKJ,222/,258必定是JV内的一个标准正交基，其中T称为尺度函数。上述定理告诉我们，在任何JV内的正交基都可以通过上式构造。或者说，先将尺度函数用J2作伸缩，然后在一网格内将伸缩后的结果平移，这样就吉林大学硕士学位论文24可以构造任何JV空间的正交基。综合分析，可以归纳出为了使KTJJJKJ222/,构造JV子空间的正交基，生成元T即尺度函数应该具有下列基本性质尺度函数的容许条件1DTT259能量归一化条件1222510尺度函数T本身应该具有正交性，即ZLKLKKTLT,2511尺度函数T与基小波函数T正交，即0,TT2512跨尺度的尺度函数T和T2满足双尺度方程KKTKHT222513基小波T与尺度函数T2相关，即满足小波函数的双尺度方程KKTKGT222514将尺度函数的容许条件与小波的容许条件0DTT作一比较知，尺度函数的FOURIER变换具有低通滤波特性，而小波的FOURIER变换则具有高通滤波特性。除了以上要求外，尺度函数T还应该是R域上实值函数，并且是次可微分的，其导数连续，具有足够的下降速度。吉林大学硕士学位论文25分别对尺度函数的性质5两边分别作FOURIER变换，可以得到22H2515其中KKJEKHH2，系数KH常称作尺度系数。同理，对尺度函数的性质5两边分别作FOURIER变换，可以得到22G2515KKJEKGG22516系数KG常称为小波系数。显然，H和G都是以2为周期的周期函数。由于我们讨论的对象是小波函数，而它又是由尺度函数的平移和伸缩的线性组合获得的，所以小波函数T和尺度函数T均必须是正交的。26MALLAT塔形算法非平稳信号的频率是随时间变化的，这种变化可分为慢变和快变两部分。慢变部分对应为非平稳信号的低频部分，代表信号的主体轮廓；而快变部分对应为信号的高频部分，表示信号的细节。与此相似，任何一幅图象也可以分解为两个部分轮廓边缘和细部底纹。正是在这一基础上发展了图象分解与重构的塔式算法（PYRAMIDALALGORITHM）。在塔式算法的启发下，结合多分辨分析，MALLAT提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，习惯上被简称作MALLAT算法，MALLAT算法在小波分析中的地位类似于FFT在经典FOURIER分析中的地位。吉林大学硕士学位论文26MALLAT塔形算法的基本思想如下假定我们已经计算出一函数或信号RLTF2在分辨率J2下的离散逼近FAJ，则TF在分辨率12J的离散逼近TFAJ1可通过用离散低通滤波器对TFAJ滤波获得。令T和T分别是函数TF在J2分辨率逼近下的尺度函数和小波函数，则其离散逼近TFAJ和细节部分TFDI可分别表示为TCTFAKJKKJJ,261和TDTFDKJKKJJ,262式中KJC,和KJD,分别为J2分辨率下的粗糙像系数和细节系数。根据MALLAT算法的分解思想，TFAJ分解为粗糙像TFAJ1与细节TFDJ1之和。TFDTFATFAJJJ11263式中TCTFAMJMMJJ,1,11264TDTFDMJMMJJ,1,11265而MJC,1与KJC,的关系，以及MJD,1与KJD,的关系如下KKJMJCMKHC,12266KKJMJCMKGD,12267MMJMMJKJDMKGCMKHC,1,1,22268其中KJMJMKH,1,2269MJKJMKG,1,22610引入无穷矩阵KMKMHH,和KMKMGG,，其中MKHHKM2,，且吉林大学硕士学位论文27MKGGKM2,，则式266268可分别简记为JJJJGCDHCC11JJ,1,02611和11JJJDGCHC0,1,JJ2612式中H和G分别是H和G的对偶算子，也可分别理解为H和G的共轭转移矩阵。式2611便是著名的MALLAT塔式分解算法，而式2612即是MALLAT塔式重构算法，它们分别如图22所示。27多小波理论众所周知，在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性线性相位既适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工C0C1C2C3C4D1D2D3D4HHHHGGGGC0C1C2C3C4D1D2D3D4HHHHGGGGAB图22MALLAT算法吉林大学硕士学位论文28具同时拥有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷。为了弥补平凡单小波的不足，GOODMAN等提出多小波的概念1，其基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。1994年，GERONIMO,HARDIN和MASSOPUS构造了著名的GHM多小波23。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矢量滤波器组、块滤波器组810，初步形成了矢量滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系。矢量滤波器组中处理的对象是矢量信号，在去除矢量之间相关性的同时，它保持矢量内部的相关性，所以它更适合于矢量量化。作为矢量滤波器组的特例。28贝叶斯估计准则由于小波对信号具有一种集中的能力，所以含有噪声的信号在经过小波变换后，其有用信号的小波系数大部分为零，或接近零，只有少数值不为零，且幅值较大。而噪声的小波变换系数分布则比较均匀232530，根据这一特点我们可以考虑在信号和噪声的统计分布中寻找去噪的方法。下面我们先简单的介绍一下贝叶斯估计的类似于域值的统计方法。考虑一个被噪声N污染的信号X，则有YNX我们可以根据被测得的Y值得出X的最小无偏估计。贝叶斯规则允许我们根据信号及噪声的概率密度函数列出下面的等式XDXYXPXYX吉林大学硕士学位论文29DXXPXYPXDXXPXYPDXXPXYPXDXXPXYPXNXNXXYXXY281NP指的是噪声的概率密度函数；XP指的是信号的概率密度函数；为了计算出X的估值，应先知道NP和XP。考虑到一些简单的情况，首先，假设噪声具有零均值高斯分布，且方差为2N；再设信号也具有零均值高斯分布，且方差为2X。此时，上式变为222NXXYX282这是一种对估计信号所做的简单线性调整。当我们将其应用于傅立叶变换的系数时，所得到的估计就是维纳滤波器；当我们将其应用于小波变换的子波中的时候，所得到的估计也非常类似于维纳滤波器，因为维纳滤波器的能量谱密度是平均分布在每一个子波中的。考虑到信号点处概率密度的分布是具有宽尾和较高的尖峰不同于噪声的高斯分布。在这种情况下，若希望对信号的估计接近其真实量，等式1就不合适了，但是我们有更多的办法可以是使用。我们已经计算了对图1所表达的信号进行估计的函数的一系列近似，图2中的曲线说明了估计函数的特性。此时，该估计函数已经是非线性的算法函数了，它保留大幅值，去掉小幅值。通过图2，我们可以直观地看到如下信息在集中了大量信号的X0处，幅值小的Y被提高。该曲线非常类似于很多即兴算法所设计的软门限函数，（该BAYESIAN的推导给出了该类算法的判别标准）。2、小波的统计参数的参数模型以上所讨论的贝叶斯估计是基于信号点的概率统计特性。为此，我们需吉林大学硕士学位论文30要建立概率密度函数的参数模型。1，该参数模型应提供对原图像适当的统计特性，2，从所观察的噪声中估计参数模型。由于我们的目的所制，构造一个MALAT也曾经用过的二参数的拉普拉斯分布PSXXEXP283该分布具有零均值和对称性。参数（S，P）直接同方差和峰态有关。通过查积分表，得出PPS1322284PPPK3512285其中，01DTETXTX是著名的GAMMAR函数29本章小结本章介绍了小波理论的时频分析、离散小波、多分辨率分析及MALLAT算法等基础理论,并且过度到多小波理论，同时简单的介绍了本文后续将要用到的贝叶斯估计理论。由于篇幅关系小波理论很多精彩的内容（如小波包理论，自适应域值理论等）没有涉及，事实上，在我们的研究工作中，我们已经直接或间接地提及了这些理论及其相关内容。在最近的研究中，小波理论（包括多小波和贝叶斯估计理论）发展迅猛，很多新的理论和思想正在出现。在以后的内容里我们要利用多小波小波分析对本课题进行处理。吉林大学硕士学位论文31第三章多小波变换域中的图像信号去噪与重构为了更好的介绍本文的去噪方法，首先在前面的单小波理论基础之上进一步介绍一下多小波理论的知识。31引言如前所述，在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性线性相位既适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷。为了弥补上述不足，GOODMAN等提出多小波的概念1，其基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。1994年，GERONIMO,HARDIN和MASSOPUS构造了著名的GHM多小波23。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。32多小波变换多小波与单小波的区别在于13多小波基是由多个小波母函数经过伸缩平移生成，相应地有多个尺度函数，而在单小波中，仅有一个。在多分辨分析中，设101JVVVV，吉林大学硕士学位论文32且RLVJJ2JJV0则多小波中，V0由R个尺度函数的平移0TK，1TK，R1TK生成。另外，令V1V0W0，与0T，1T,R1T相应的R个小波函数0T,1T，R1T构成子空间W0的基。如果记T0T,1T,R1TT，T0T,1T，R1TT。则T、T满足下列二尺度方程1022NKKKTHT3211022NKKKTGT322以上两式中，HK、GK为RR的常数矩阵。从信号处理的角度看，KJWKKEHH、KJWKKEGG是与尺度函数和小波函数对应的矢量滤波器。其次，如果T满足IK,JLI,JK,L1,0RJI，其中，GFGF,则称T为正交多尺度函数。同时，若IK,JLI,JK,L，且IK，JL0，那么00VW，IK,ZK，I0,，R1构成W0的一组正交基。和单小波中类似，对于0VTF，可分解为KTDKTCKTCTFJJZKJKJJZKJKZKKTT00002222220323吉林大学硕士学位论文33这里CJKCJ0,K,CJ1,KCJR1,KT，DJKDJ0,K，DJ1,KDJR1,KT324将正交单小波中的分析与合成算法推广至正交多小波，可以得到分解过程1021NNJNKNJKCHC1021NNJNKNJKCGDZKJ,325合成过程1212JKKTKNJKKTKNJNDGCHC32633数字图像的多小波预处理离散单小波中，MALLAT分解算法已为其实现提供了良好的框架。而在用矢量滤波器组来实现多小波变换时，首先需对原始的标量输入信号FN进行临界采样，得到矢量XKFRKFRKR1T。然后，让XK通过RR的预滤波器Q，获得用于多小波分解的初始矢量信号C0K。相应地，在进行反变换后，要加后滤波器P，将C0K还原为FN。在不平衡多小波中，如直接取QIRR，则即使输入端是平稳的常数信号，经多小波分解运算后，输出端得到的将是有起伏的信号，对于图像去噪来说，这将变得十分不利34。因此，预滤波器的设计是多小波中特有的问题。目前，预滤波器的设计方法包括1STRELA32根据MALLAT分解算法和多小波的紧支性提出的“逼近法”。当尺度函数对称时，由此得到的预滤波器具有线性相位，但却很难获得很高的编码增益；2XIA等37把预滤波器和多小波的第一级分解结合起来考虑，将预滤波器的构造转化为低通滤波器和高通滤波器的设计。由于要求Q可逆，按文献33得到的Q并不是对于所有的多小波变换都存在，并且，Q通常既不具备正交性，也不具有线性吉林大学硕士学位论文34相位；3MILER等提出的自适应法38。该方法选取不同分辨率下的小波分量，并以其能量最小化为目标，进行预滤波器的优化设计。当用编码增益来评价预滤波器的优劣时，在目前已报道的结果中，该方案具有最好的性能，但计算量相对较大。本文使用KWOKCHEUNG和LANPO经过探讨的快速预滤