高等数学微积分习题册上册答案

学院姓名学号日期12数列的极限四川大学数学学院高等数学教研室编1一、根据数列极限的定义证明下列极限（1）01LIM2NNN；证明对任意，解不等式22111|0|NNNN取1N，当NN时21|0|NN取1N，当NN时232|515NN取21N，当NN时|10|NN取1N，当NN时SIN|0|NN0,当NN时|NXA0,当KN1时21|KXA0,当KN2时2|KXAN时|NXA0，解不等式|5212|5|2|2|5XXX0，|2|1X0，解不等式24|4|2|2XXX0，解不等式22111|0|XXX学院姓名学号日期13函数的极限四川大学数学学院高等数学教研室编4取1X，当|XX,21|0|X0，解不等式2COS11|0|XXXX取21X，当XX,COS|0|XX0，解不等式22221111|212221XXXXX取1X，当|XX,221|212XX时，就有010|11|0X2，解不等式2111|1|11XXXXX取21X，当XX,|1|1XX0，存在10,20XX，当1XX或2XX,|FXA当00|XX0，存在120,0，当100XXKXFKKXKK2,0,22，XXXFSIN在0，内无界；取0,0,2KKXFKKX，当X时，XF不是无穷大四、判断下列命题的正确性（1）两个无穷小的和也是无穷小（）（2）两个无穷大的和也是无穷大（）（3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大（）（4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大（）（5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大（）（6）无穷大与无穷大的积也是无穷大（）五、举例说明（1）两个无穷小的商不一定是无穷小；（2）无限个无穷小的和不一定是无穷小解（1）当0X时，1SINXX；02XX（2）当N时，1211210,根据不等式0,根据不等式0LN1LN1|1XXEXFX，任取0，当0,根据不等式LN1LN1|0|10，当MX,分别求函数XF在1X与1X的左极限、右极限和极限解211111LIMLIM54,LIMLIM1,LIMXXXXXFXXFXXFX不存在211111LIMLIM54,LIMLIM1,LIMXXXXXFXXFXXFX不存在八、设11LIM22NNNXXXF，试求XF的表达式解当|X|1,22111/LIMLIM1111/NNNNXXFX当X1,221LIM01NNNXFXX所以1|11|101XFXXX学院姓名学号日期16极限存在准则两个重要极限四川大学数学学院高等数学教研室编12一、利用夹逼定理求下列极限（1）222111LIM12NNNNN；解因为22222111121NNNNNNN，证明12LIMNNNNMNAAAA证明因为12NNNNNMAAAAAMA，证明0LIMNNAN证明设A1H,H0,2211101212NNNNNNNAHHNNAH成立2假设1NNXX；122NNNNXYYYYY1,521,3XXXXXF的间断点和连续区间，并确定间断点的类型解连续区间,1,1,X1跳跃间断点五、设函数4,4,4162XAXXXXF在,内连续，求A的值解24416LIMLIM484XXXAXX六、利用初等函数的连续性计算下列极限（1）XXXESIN0LIM；学院姓名学号日期1819连续性与间断点四川大学数学学院高等数学教研室编20解0SINSINLIM0LIMXXXXEEE（2）1111LIM30XXX；解233300111113LIMLIM21111XXXXXXX（3）11LIM22XXX解222222112LIM11LIMLIM0111XXXXXXXXX七、判断下列命题的正确性，并对错误的命题举出反例设XF和XG在,内有定义,（1）若XF和XG为连续函数，则XGF也为连续函数（）（2）若XF为连续函数，XG有间断点，则XGF必有间断点（）（3）若XF有间断点，XG为连续函数，则XGF必有间断点（）八、讨论函数XF，试证明存在0，使000XXXXF证明根据XF在点0X连续且00XF，取00102FX，存在0，当00XXX十一、设XF和XG是连续函数，试证明MAXXGXFX，和MINXGXFX，也是连续函数证明|MAX2FXGXFXGXXFXGX，|MIN2FXGXFXGXXFXGX，十二、（1）在点0X处XF连续,XG不连续,则FXGX和FXGX在点0X是否不连续（2）设XF和XG在点0X不连续，则FXGX和FXGX是否在点0X不连续解（1）FXGX不连续反证；FXGX不一定连续XF0，XGSGNXX0（2）FXGX和FXGX不一定连续1010,0,11010XXFXGXFXGXFXGX，在开区间0,1上连续，没有有最大值和最小值，无界函数，不满足介值性二、证明方程2SIN2XX至少有一个小于32的正根证明令2SIN2FXXX，333020,3SIN21SIN0222FF所以方程2SIN2XX至少有一个小于32的正根三、证明方程SINXAXB00AB，至少有一个不超过BA的正根证明令SINFXXAXB，00,SIN1SIN0FBFABABAABBAAB，至少有一个不超过BA的正根四、三次方程039623XXX有多少个实根并指出实根所在区间解令32693FXXXX，231293130FXXXXX11,33FF有三个实根，分别位于区间,1,1,3,3,五、设XF和XG在,BA上连续，且FAGA试证在,BA内至少存在一点C，使CGCF证明令FXFXGX，0,0FAFAGAFBFBGB，在,BA内至少存在一点C，使0FCCGCF学院姓名学号日期110连续函数的性质四川大学数学学院高等数学教研室编23六、设XF在,BA上连续，12NAXXXB0,SIN0,1LNXXXXXF学院姓名学号日期21导数概念四川大学数学学院高等数学教研室编25解函数在0X处的连续，00LN1SINLIM1LIM1HHHHFXFX可导。八、讨论取何值时，函数0,00,1SINXXXXXF在0X处（1）连续；（2）可导解（1）当0时，01LIMSIN00XXFX，连续；（2）当1时，1001SIN010LIMLIMSIN0XXXXFXXX可导九、设XAXXF，其中X在AX处连续，求AF解LIMLIMXAXAFXFAFAXXA十、设1021XXXXFL，求10F解21013101241019FXXXXXXXXXXXX,109F十一、已知0,0,SINXXXXXF，求XF解COS,01,0XXFXX十二、求曲线XYLN在点1,E处的切线方程解1LN|XEXE,切线方程110YXEXEYE十三、求曲线XEY经过原点的切线方程解0|1XXE,切线方程YX十四、设XF为偶函数，0F存在，证明00F，并用函数图形解释其几何意义解0000LIMLIM022XXFXFXFXX,偶函数在X0出导数为0学院姓名学号日期22求导法则1导数的四则运算四川大学数学学院高等数学教研室编26一、求下列函数的导数（1）22343AXXXY；解2364YXX（2）1SINCOS4SIN3XXY；解3COS4SINYXX（3）XXXY2LOG5LG2LN；解125LN10LN2YXXX（4）111XXY；解111111122YXXYXXXX（5）21LNXXXY；解22222222LN112LN11LN111XXXXXYXXX（6）XXXYCOSLN2解22LNCOSCOSLNSINYXXXXXXXX2设XXXFARCTAN12，求0F解2ARCTAN1,01FXXXF学院姓名学号日期22求导法则2复合函数反函数的导数四川大学数学学院高等数学教研室编27一、求下列函数的导数（1）563XY；解41536YX（2）XY2SIN3；解26SIN2YX（3）22XAY；解222XYAX（4）LN22XAXY；解22222212112XYXAXAXAX（5）ARCTAN3XY；解2631XYX（6）XEY1COS2解2211COSCOS22111122COSSINSINXXYEEXXXXX二、设函数可导，证明偶函数的导数是奇函数；（2）奇函数的导数是偶函数；（3）周期函数的导数是周期函数证明（1）设函数FX为偶函数，导数，则00LIMLIMHHFXHFXFXHFXFXFXHH（2）设函数FX为奇函数，导数，则学院姓名学号日期22求导法则2复合函数反函数的导数四川大学数学学院高等数学教研室编2800LIMLIMHHFXHFXFXHFXFXFXHH（3）设函数FX为周期为T的周期函数，导数，则00LIMLIMHHFXHTFXTFXHFXFXTFXHH三、设XF可导，求下列函数的导数（1）2XEFY解222222XXXXYFEEXXEFE（2）1ARCSINXFY解2222111|1ARCSINARCSIN111XYFFXXXXXX四、求下列函数的导数（1）XXY；解11122YXXX（2）21ARCSINXY；解2221112YXXX（3）XXY2SIN12SIN1；解1SIN2SINCOSLN2LNSINCOS2LNSINCOS1SIN2SINCOSXXXYYXXXXX22COSSINCOSSINSINCOSSINCOSYXXXXYXXXX332SINCOS2SINCOSCOSSINSINCOSXXXXYXXXX学院姓名学号日期22求导法则2复合函数反函数的导数四川大学数学学院高等数学教研室编29（4）TANLNSECXXY解21SECTANSECSECSECTANYXXXXXX五、设MXBFMXBFXG，其中F可导，求0G解0GMFBMXFBMX六、求4TAN2XY在1,1处的切线方程解切线方程222111TAN|1SEC|1142411XXXYXXXYX七、求XY1的经过2,0的切线方程解设切点为T,1/T,切线为211YXTTT,带入2,0,1T,切线为2YX学院姓名学号日期23高阶导数四川大学数学学院高等数学教研室编30一、求下列函数的二阶导数（1）XXYLN；解1LN1,YXYX（2）XXYARCTAN12；解2ARCTAN1,2ARCTAN2YXXYX（3）COSLNSINLNXXXY；解2SINLNCOSLNCOSLNSINLN2COSLN,SINLNYXXXXXYXX（4）XXY解21LN1,LN1XXXYYXX二、求下列函数的N阶导数（1）12121NNNNNYXAXAXAXA解YNN（2）SINBAXY解COSSIN2YAAXBAAXB22COSSIN222YAAXBAAXBNULLSIN2NNYAAXBNNULL（3）BAXY1学院姓名学号日期23高阶导数四川大学数学学院高等数学教研室编31解12111111BBYXYXBAXBAAAAAXA311112NNNBNBYXYXAAAA（4）XXY11解1212121121111XYXYXXX312121211NNNYXYNX三、设XF二阶可导，求函数的二阶导数Y（1）SINXFY；（2）XFEY解（1）2SINCOS,SINCOSSINSINYFXXYFXXFXX（2）2,FXFXFXYEFXYEFXEFX四、求函数3XYXE的15阶导数解3153153320366XXKXKYXEEXEXX五、设XF在,内有连续的二阶导数，且00F设0,0,XAXXXFXG（1）确定A的值，使XG在,内连续；（2）求XG解（1）00LIM0XFXAGFX（2）当0X，2XFXFXGXX；当0X，200000110LIMLIMLIM022HHHGHGFHFHGFFHH学院姓名学号日期23高阶导数四川大学数学学院高等数学教研室编32六、试从公式YDYDX1导出下列反函数的高阶导数公式322YYDYXD；（2）32353DXYYYDYY证明（1）222311/DXDDXDDYYYDYDYDYDXYDXYYYNULL（2）322353/DXDDXDYDYYYYDYDYDYDXYDXY学院姓名学号日期24隐函数参数方程求导相关变化四川大学数学学院高等数学教研室编33一、求下列方程所确定的隐函数YY（X）的导数DXDY（1）XYYX633；解2332222633662DYDYDYYXXYXYXYYXDXDXDXYX（2）XYYXCOSSIN2；解22SINCOSSIN12COSSINDYDYXYYXXYYXYXDXDX2SINSIN2COSSINDYXYYXDXYXXY（3）XYYXARCTANLN22222222222LNARCTAN2DYDYXYXYYDYXYDXDXXYXXYXYDXXY二、求曲线2425XXY在点1,2处的切线方程解32421,21095|2DYXXDYYXXDXYDX切线方程92192502YXXY三、证明曲线AYX上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为A证明曲线AYX上任意点X,Y处的切线YYYXXX,两坐标轴上的截距之和22XYXXYYXYXYXYA四、设函数XYY满足方程YYXEXYSIN2，试求0Y解222SINCOS2XYXYEXYYEYXYXYXYXYY学院姓名学号日期24隐函数参数方程求导相关变化四川大学数学学院高等数学教研室编34011XYY五、列函数的导数（1）XXY；解LNLNLN2XXXXXXXYXEYXXXYXXX（2）XXYLN；解LNLN1LNLNLNLNLNLNLNLNXXXXXYXEYXYXX（3）XXY11；解21111111LNLN1LN1122XXXYYXXYX（4）32211XXXY解222332221111122LNLNLN12LN1133111XXXXXYYXXXY六、设XYYX，求DXDY解LNLNLNLNLNLNYXYYDYYXDYDYXXYYXXYXYXDXXYDXDXXY七、求隐函数的一阶导数DXDY和二阶导数22DXYD（1）1644YX；解34433316440XXYXYYYY学院姓名学号日期24隐函数参数方程求导相关变化四川大学数学学院高等数学教研室编352332246267733483XYXYYXYXXYY（2）3XYEY解33YYYYYEXYEYYXYYYEXXYX223312333XYXYYYXYYYXYXXYYXYXXYX八、已知1YXEY，求202|XDYDX解1,01001YYYYYEYXEXYYEXEYYYEXE221021YYYYYEYXEEEXEYEXE九、求参数方程所确定的函数XYY的导数，DXDY（1）15313353TTYTTX，；（2）TEYTEXTTCOSSIN，；（3）2ARCSIN1TXT，21ARCCOS1YT解（1）42221515533DYTTTDXT（2）2COSSINCOSSINTTTTTDYETETEDXETET（3）22SIN2SINCOS1SIN2DYXXYDXY，21ARCCOS1YT十、求231ATXT，2231ATYT在2T处的切线和法线的方程学院姓名学号日期24隐函数参数方程求导相关变化四川大学数学学院高等数学教研室编36解曲线导数为23222222616316211DYATTATATATTTTDX在2T处612,455AADYXYDX，切线方程126455AAYX法线方程1216545AAYX11设23BTYATX，求DYDX，22DYDX解222133DYBTBDXATAT22242121213339DYBDBDXBATDTATDTATDXAT12设LN1ARCTANXTYT，求202|TDYDX解22111111DYTTDXTT2220222221111|11TDYDYDTDXTTTDTTDTTTDXDX13设233LN1ARCTANXTDYDXYTT，求解22211111DYTTDXT，2232212221DYDDXTTTTDTDTTDX33222231222621131DYDDXTTTTTDTDTTDX14设XYY是由方程01SIN3232YTETTXY所确定的隐函数，求0|TDYDX和202|TDYDX解232362DXXTTTDT学院姓名学号日期24隐函数参数方程求导相关变化四川大学数学学院高等数学教研室编37COSSIN10SINCOS01SINYYYYYDYDYDYETETYETETDTDTDTET23233,01SIN10YXTTXTYETY000COSCOS1SIN|6223122YYYTTTETDYETEETDXTTY2222202COS622312COS3123COS2COS312312623|4YYYYTDYETTTYDXDYDYETTYETYETTDTDTTYTDYEDX15一个球形雪球的体积以1CM3/MIN的速度减少，求直径为10CM时，雪球直径的减少速度解3241143400DVDRDRVRRDTDTDT16将水注入深8M，上顶直径为8M的正圆锥形容器中，注水速度为4M3/MIN，当水深为5M时，其表面上升的速度为多少表面上升的加速度又为多少解2322221116420124DVDHDHDHDHVHHHHHDTDTDTDTDT5222522251616|02037252512512|001665HHDHDTHDHDHDTHDTH学院姓名学号日期25函数的微分四川大学数学学院高等数学教研室编38一、填空题（1）2211114212DXDXX2X12DARCTAN2XD1ARCTAN22X；（2）11121212DXDXX2XD12X；（3）2ARCTANARCTAN1FXDXFXDXARCTANXD1ARCTAN2FX；（4）33ARCTANARCTAN22LN2XXDD3ARCTANX二、计算微分（1）2ARCSINLN2XXDX；（2）ARCTANXED；（3）122XDX；解（1）222LNARCSIN22LN14DXXXXXXDXX（2）211ARCTAN12XXXXDEEDXE（3）22221LN211XXXXXDD（4）,XVVXUU为可导函数，求VUYARCTAN的微分解222221ARCTAN1/UVDUUDVVDUUDVDYDVUVVUV三、求隐函数或参数方程决定函数的导数（1）YYX由方程XYEYXLN2决定，求DXDY解222311LN2YYYDYDYDYXYXYEXXYXEDXDXXDXXXE（2）YYX由参数方程74332342TTTTEEYEEX确定，求22,DXYDDXDY解43221212622TTTTTDYEEEDXEE2226126/221TTTTTTDYDEDXEEDXDTDTEEE学院姓名学号日期25函数的微分四川大学数学学院高等数学教研室编39四、求051ARCTAN的近似值解ARCTAN1ARCTAN12HHARCTAN1050025081044五、利用微分的近似公式证明XX11证明11FAXFAFAXXX学院姓名学号日期31微分中值定理四川大学数学学院高等数学教研室编40一、证明111122,1LNNNNNAAAANA证明令1,1XFXAXNN,则1111211LNNNNFNFNFNAAAAN11111112221LN1LNNNNNNNNAAAAAAAAN解1122120012LNLNLNLNLN1LIMLIM120LIMXXXXXXNNNXXXXXNAAAAAAAAANXXXAAANXXXAAAEENLLLL学院姓名学号日期32洛必达法则四川大学数学学院高等数学教研室编43120LNLIM12NXAAANNNEAALL二、0101XXXEXFX求0,0FF解2000110LIMLIM2XXXFXFEXFXX当0X时,21XXXEEFXX22300011022220LIMLIMLIM2XXXXXXXXEEFXFXEEXXFXXX2222211LIMLIMLIM633XXXXXEXEEXEEXX三、已知BXAXXXCOS12LN2LIM1求BA,解12LN2|202XXAXAA221112LN22112LIM2LIM2LIM1COSSINSINCOSXXXXXXBXXXXXX四、求BA,，使0X时32FXSINXAXBX为尽可能高阶无穷小，并求它的阶解3210022CO3LIMLIMKKXXSINXAXBXXABXXK202COS23|202XXABXAA21230002COS2234SIN268COS26LIMLIMLIM112KKKXXXXBXXBXXBKXKKXKKKX08COS26|8604/3XXBBB34008COS2816SIN2LIMLIM12123KKXXXXKKKXKKKKX学院姓名学号日期32洛必达法则四川大学数学学院高等数学教研室编445032COS2324LIM51234123415KXXKKKKKKXKKKKK附加题XF在00X处二阶可导，,32LIM20XXFX求0,0,0FFF解202LIM302XFXFX200020LIMLIM0XXFXFFXFXXXNULL2000200LIM3LIM00LIM0XXXFXFXFFXFF学院姓名学号日期33泰勒公式四川大学数学学院高等数学教研室编45一、ARCTANFXXX在10X处展开为二阶TAYLOR公式22222ARCTAN,ARCTAN,111XXFXXXFXXFXXXX111,4422FFXFX211ARCTAN114422XXXX二、432552FXXXXX展开为1X的多项式解43232552,415101,FXXXXXFXXXX2123010,2430,24FXXXFXXFX414,10,18,16,124FFFFF432232455244111XXXXXXX三、求0X时，无穷小量XXXEXSIN1的阶解法一222222000131SIN3LIMLIMLIM22XKKKXXXXOXXOXXOXEXXXKXX解法二120001SIN1SINCOS2COSSIN3LIMLIMLIM212KKKXXXEXXXEXXXEXXXKXKK四、求4202COS2SINLIMXXXX解242442440011212SIN2COS2224LIMLIMXXXOXXXOXXX44401LIM12XXOXX五、210令211,0,1XFXEXXX00,F2221112XXXFXEXGXEE2212,00,2200XXGXEXGGXEGX101101XFXEXXEX0X；证明2SINCOS1,00FXXXXXFCOSSIN12COS1FXXXXXX学院姓名学号日期3437（1）函数的单调性、极值和最值四川大学数学学院高等数学教研室编48COS1,00,1SIN00GXXXGGXXGX220SINCOS10SINCOS1FXXXXXXXXX（3）XF在,0C有严格单调递减的导函数,00FXF，则CBABAAAXX有几个实根解11LN,0FXXAXFXAXXA2110,LN,0,FXFEAFFXA时，无实根四、0X时方程112XAX有且仅有一个根，求A的取值范围解12330023412261,0,61,02AFXAXFXAXFXFXXXA当060,0,00,18AFXAFF时，无实根当060,0,00,18AFXAFF时，有一个实根学院姓名学号日期3437（1）函数的单调性、极值和最值四川大学数学学院高等数学教研室编49当060,0,00,18AFXAFF函数在4,0上单调增加,所以最小值、大最值分别为130,448FF六、1,10PX，证明1121PPPXX证明1110011,10,22PPPPPFXXXFXPXPXXFX011FF,所以根据最小值、大最值有1121PPPXX七、求322YXYX上点的纵坐标Y的最大值，最小值解222222233043402,XXYYYXYXXXXX22222,312,31XXXYYYXXXYYY222322002YXXXYYXYXYYYYX2221131,22202XXXXYYXYYYXYX纵坐标Y的最大值，最小值2,2学院姓名学号日期3437（2）函数的单调性、极值四川大学数学学院高等数学教研室编50一、确定下列函数曲线的凹凸区间和拐点（1）211XY；解2222312312111XXYYYXXX；303YX，列表FX00X3333FX凹拐点凸拐点凹（2）XXEY；解202XXXXYXEYEXEYXEX，列表FX0X2FX凸拐点凹（3）223TTYTX（T为参数）决定函数XYY解2223231311243XTDYDYDXTDXTYTT，没有拐点。列表当T0时，FXXFX凸当T于是，存在12,0,1XX，使12211101,101,FXFXFXFX于是根据LIM0,LIM0,XAXBFXFAFXFBFAFBXAXB由极限保号性，存在1212,00XXABFXFAFXFB（5）在,内方程1124COS0XXXC（A）无实根；（B）有且仅有一个实根；（C）有且仅有二个实根；（D）有无穷多个实根三、计算下列各题（16分）（1）1LIM1LNXXXXXX；解111111LN1LNLIMLIMLIM1LN11XXXXXXXXXXXXXXXXXX111LIM1LN1LN1LN2XXXXXXXXX（2）XXXCOXX11SINLIM解1110011LIMSINLIMSINCOSLIM1TANTXXTTXTCOXTTTXX0LN1TANLIMTTTE0TANLIMTTTEE四、（13分）00COS22XAXXXEXFX（1）A，处连续在0XXF；（2）求XF；（3）XF在0X处是否连续解（1）222200COSLIMLIMSIN0XXXXEXAEXX（2）2222SINCOS0,XXXEXXEXXFXX222000COSSIN0,0LIMLIMLIM02XXXXXFXEXXEXXFXXX学院姓名学号日期单元检测四川大学数学学院高等数学教研室编563222222000SINCOSSINCOSLIMLIMLIMXXXXXXXXEXXEXXXEXFXE22SINCOSSINCOS1LIM1LIM0XXXXXXEXXEXXF在0X处连续五、（10分）XEXF，00XFXFXF中,0XXF在为上满足拉格朗日中值定理，求0LIMX解0111LN0XXXFXFEEFXEXXX000011LN1LN1LIMLIMLNLIMLIM1XXXXXXXXEEEXXXEX000LIMLIMLIM1122XXXXXXXXXEEXEXEEXEEXEEXE六、（10分）1,0在XF上二阶可导，00F,且XXFXF12，试证明方程XXFXF1（0,1）内有且仅有一个根证明1111FXFXCXFXFXFXXX2322111CCFFXFXXXFXX矛盾。七、（10分）设00,010,FFFX且在内单增，试证明XXFXG在）（,0内单调增加，且XXF证明000000LIMLIMLIM01XXXFXFXFGGXFXX学院姓名学号日期单元检测四川大学数学学院高等数学教研室编5720FXFXFFXFXFXXFXFXXXGXGXXXXX001FXFXGXX八、（10分）椭圆12222BYAX的内接等腰梯形的一条底边在椭圆的长轴上问，此梯形的另外两个顶点位于椭圆上何处时，它能有最大的面积解222COSCOSSINSINSIN2SIN22SINSABABABAB222COS22COS042COS22COS0SAABSAAB2222SABABAB学院姓名学号日期41不定积分的概念与性质四川大学数学学院高等数学教研室编58一、填空题（1）已知CXXDXXFX13，则DXXF421142CXX32351111XFXFXXXX（2）221XXXFXF满足，则XFARCTANXXC二、计算下列不定积分（1）DXXXX112；解35712444424141477XXXDXXXDXXXCCXXNULL（2）DXXX22121；解22212122ARCTAN11XDXDXXXCXX（3）DXXX3241；解42346810579113331335791XXDXXXXXDXXXXXC（4）DXEXX212；解22222221222222LN2LN2LN2XXXXXXXXEEEDXEEDC（5）DXXXXSINCOS2COS解COS2SINCOSSINCOSCOSSINXDXXXDXXXCXX三、验证CXXDXX1LN1122学院姓名学号日期41不定积分的概念与性质四川大学数学学院高等数学教研室编59证明221LN11XXX四、一质点在直角坐标系XOY的原点出发，T时刻的速率为2282TT，运动方向与X轴成30，求2T时质点的位移学院姓名学号日期42换元积分法四川大学数学学院高等数学教研室编60一、填空题（1）已知CXFDXXF，则DXXFX32313FXC（2）的一个原函数为XFXF，则DXXFXF4121ARCTAN22FXC（3）的一个原函数为XFXF，21XXFXF，则XFARCTANXCE二、计算下列不定积分（1）DXXXX753562解22565663559357636XXDXDXXXX22655963576363XCXXC（2）DXXXSINLNCOT；解COT11LNSINLNLNSINLNSINLNSINXDXDXCXXX（3）DXXX239；解332222299919LN99922XXXXXDXDXXDXXXC（4）DXX43COS2；解342211431111COS34COS1COS2SIN23662TXXTXDXTDTTDTTTC168SIN6812XXC学院姓名学号日期42换元积分法四川大学数学学院高等数学教研室编61（5）DXXX22ARCCOS11；解222111ARCCOSARCCOSARCCOS1ARCCOSDXDXCXXXX（6）DXEEX1473；解3413LN1LN47117411XTEXTXEDXEDTETNULL3317LN|7LN|1|14XTECECTE（7）DXXXSIN1；解1SIN21SIN2COSXDXXDXXXCX（8）DXXXX231；解332222222111111122XXXDXXXDXXDX522221111155XCXXC（9）DXX2SIN1解法一111CSC22LNCSC2COT2SIN222DXXDXXXCX解法二21SEC111TANLN|TAN|SIN22TAN2TAN2XDXDXDXXCXXX三、计算下列不定积分（1）DXXX2021；学院姓名学号日期42换元积分法四川大学数学学院高等数学教研室编62解12202120222123111112112123TXXTXXDXTTTDTTTTC222123111111112123XXXC（2）DXXX31；解6686422231661111TXXTXTDXDTTTTDTTTX7531116ARCTAN753TTTTTC753666661116ARCTAN753XXXXXC（3）DXEX1；解22122LN1112211XTEXXTTEDXDTDTTT1112LN|21TTCT212LN11XXEEXC（4）32211DXX；解SIN3222211TANCOS11XTXDXDTTCCTXX（5）DXX2241解2TAN3232211111COS1SINSINSINSIN48883XTDXTDTTDTTTCX221114SINARCTANSINARCTAN18232823XXXXCCXX学院姓名学号日期43分部积分法四川大学数学学院高等数学教研室编63一、计算下列不定积分（1）2ARCSINXXDX；解32332111ARCSINARCSINARCSIN3331XXXDXXDXXXDXX23232221111111ARCSINARCSIN13666XXXDXXXXDXDX3222111ARCSIN111393XXXXXC23212ARCSIN133XXXXC（2）DXEXX3；解333333311111339XXXXXXXXDXXEDXXDEXEEDXXEECE（3）DXXX21LN；解2LN1LN11LN1LNLN|1|11111XXXDXXDDXCXXX（4）DXXXX221ARCSIN；解2211XDXXCX222222ARCSINARCSIN11ARCSIN2ARCSIN1XXDXXDXXXXDXX2221ARCSIN2ARCSIN21XXXXXDXX2221ARCSIN2ARCSIN21XXXXXC学院姓名学号日期43分部积分法四川大学数学学院高等数学教研室编64（5）SIN1COSXXDXX解22SINCOSSIN22TANTANTAN1COS2222COS2XXXXXXXXDXDXXDDXXCXX（6）DXXEX23SIN解323333111SINCOS2COS2262XXXXXEXDXEEXDXEEXDX33333333331212COS2COS2SIN2COS2SIN23339124124COS2SIN2COS2COS2SIN239999XXXXXXXXXXIEXDXEXEXDXEXXDEEXEXEXDXEXEXI33COS22SIN213XEIXX33231SIN3COS22SIN2626XXXEEXDXEXXC二、求DXXXINN11的递推公式解1111111111NNNNNNNXXIDXDXDXIXDXIXNXXXX11111112NNNNXIIINXN11111211NNNXIINN附加题求不定积分（1）DXXXXX22211ARCSIN；学院姓名学号日期43分部积分法四川大学数学学院高等数学教研室编65解222222ARCSIN1ARCSINARCSIN111XXXXDXDXDXXXXXX2321ARCSIN1ARCSINSGNARCSINSGNARCSIN1221XXXDXXXXDXXX2222ARCSINSGN1ARCSIN121XXXXXDXX2211ARCSINSGN1ARCSINSGNSGN2XXXXXXDXXX221ARCSINARCSIN1LN|2XXXXCX（2）DXEXEXX2解12222222222XXXXXXXXEDXXEDEXDEXEEDXE22282241224ARCTAN222XTETXEDTXETCT822242ARCTAN22XXXEXEEC学院姓名学号日期44有理函数的积分四川大学数学学院高等数学教研室编66一、计算下列不定积分（1）DXXX1165；解223356663333111111112121221TXDXTTDXDTDTDTXXXXTTTT22222111121LN|1|11121313461146642424TTTDTDTDTTTTTTTT221LN|1|1121LN1ARCTAN4612233TTCT224241LN|1|1121LN1ARCTAN462233XXXXCX（2）DXXXX1132；解22232212LN|1|LN1ARCTAN1111XXDXDXDXXXXCXXXX（3）DXX1614；解设2441,1616XIDXJDXXX，则22142224441414ARCTAN1641622228DXXXXXJIDXDXCXXX2224222444124L|16441642822DXXXXXJIDXDXCXXXX222414242ARCTANLN1632222XXXICXX（4）DXXXX74532；学院姓名学号日期44有理函数的积分四川大学数学学院高等数学教研室编67222353611123LN47ARCTAN4723233XXXDXDXXXCXXX（5）DXXX1021；解22110108910789211211111749TXXTTDXDTDTCTTTT789111714191CXXX（6）DXXX23SIN1COS；解32SIN222COS1SIN2SIN12ARCTAN1SIN1SIN1TXXXDTDXDXDTTTC2ARCTANSINSINXXC（7）DXXCOS31；解TAN2211111ARCTANARCTANTAN3COS222222XTTXDXDTCCXT（8）DXXXXXCOSSINCOSSIN2；解222222223122ARCTAN11111221DTTDTDTDTTTCTTTTTTTAN22222SINCOS11121SINCOS114111TXXXTTTDXDTDTXXTTTTT222211111LN|1|LN1ARCTAN484421DTTTTTT222111131LN|1|LN1ARCTANARCTAN48441441TTTTCTT学院姓名学号日期44有理函数的积分四川大学数学学院高等数学教研室编681LN1SIN2SIN2COS218XXXXC（9）DXXX22SIN1COS1；解22TAN2221COS23111SIN12121/21TXXTDXDTDTTTT32ARCTAN2TAN2XXC（10）DXXXX111；解22122122221111144111111XTXTXTXTTTDXTDTDTXXTTTTT21121LN|2ARCTN1111TDTTCTTTT2111LN|2ARCTAN1XXC（11）DXXX3111解663112113663111TXSTTSXTTDXDTSSDSXX3229186LNSSSSC32666621191118116LN11XXXXC学院姓名学号日期单元测验四川大学数学学院高等数学教研室编69一、填空（每小题3分，共15分）（1）为XLNXLNX1的原函数（2）的原函数为XFXF，DXXFXF1212231216FXC（3）XXSIN为XF的原函数，DXXXFSINSINCOSXXXFXDXXDXDX没有初等积分（4）XYY由参数方程3112TTYTTX决定，YDX3225LN532TTTTC（5）,10,132XFFXXXF则3321119XX二、计算下列各积分（每小题6分，共30分）（1）DXEEXX1LN；解2LN1LN11LN1XXTEXETDXDTTDLN11LN1LN1LNLN111XXTTEEDTCCTTTTTEE（2）011NDXXXXNN；解11122LNLN111NNNXXDXDXXXCXXXXN（3）DXXX221121；解222122221ARCTAN1121121STTXTDTDSDXCSXXXTT（4）DXXXXCOSSIN1SIN；学院姓名学号日期单元测验四川大学数学学院高等数学教研室编70解22SINCOSSINSIN2221SINCOS2SINCOS2COSSINCOS22222XXXXDXDXDXXXXXXXXSINCOSSINCOSCOSSIN11222222SINCOSSINCOS2222XXXXXXXDXDXDXXXX11LN1SINLN1SIN222XXCXXC