线性代数练习册答案

学院班级学号姓名1第一章行列式二、三阶行列式及阶行列式的定义部分知识概要N内容概要1二阶行列式的定义12121AA2三阶行列式的定义12133AD12123132123123123AAAAA3阶行列式N212NNNNDAA121212NNNPPP（1）阶行列式是项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的个元素的乘积（是的一个排列）；（3）当是偶排列时,12NPPA1N,12NP带正号,当是奇排列时,带负号12N2P12NPA常用解题方法及注意事项1求排列的逆序数（按自然数的从小到大次序为标准次序）的一个排列的逆序数记为1,2N12NJ12NJ121NM其中是前面比大的数的个数,IMII2确定行列式中的项及符号NIJDA（1）中的项是取自不同行不同列的个数的乘积，因此，行IJ12NIJIJAN下标和列下标都没有重复数字；（2）将中的因子交2,NI,12NIJIJA换顺序使行下标是自然顺序，即，该项符号为1212NNIJIJPP12NP学院班级学号姓名2二、三阶行列式及阶行列式的定义部分习题N1计算下列二阶行列式（1）；（2）；23COSINI（3）；（4）1122AB1212AB2计算下列三阶行列式（1）；2；032112130A（3）；ACB学院班级学号姓名33按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数（1）；（2）32461435（3）52NNN4确定，使6元排列为奇排列,IJ231IJ5写出4阶行列式中含有的项132A6按定义计算下列行列式（1）；（2）012340ACDB7求的展开式中和的系数1230XFX4X3学院班级学号姓名4行列式的性质与展开部分知识概要内容概要行列式的性质1行列式与其转置行列式相等即DTTD2交换行列式的两行或列,行列式改变符号（即）IJIJRCD或3行列式中某行或列的公因子可以提到行列式符号外面做因子（即（或）10IRKD10ICKD4阶行列式可以按第行或列拆成两个行列式与的和，即其中NI12D12D的第行或列为与的第行或列的和；，的其余各行或列对应I12I元素则同的完全一样5把行列式某一行或列的元素同乘一数后加到另一行或列的对应位置元素上,行列式的值不变（即或）1IJRKD1IJCK行列式的展开1阶行列式的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为ND2行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0即120IKIKINKDIKAAAA12JTJTNJTJT常用的解题方法及注意事项行列式的计算1（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）（2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）（3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）行列式化简时注意学院班级学号姓名51尽量避免分数运算；2展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号1IJ行列式的性质与展开部分习题1计算下列行列式（1）；2；208196475123AA（3）；（4）2016D12061D学院班级学号姓名6（5）0101D2证明（1）；0CBADD（2）3AXBYZABXXYZYZ学院班级学号姓名73计算阶行列式N（1）；（2）NDABBA12NNADA120NA4利用范德猛行列式计算12349687D学院班级学号姓名8克拉默法则部分知识概要内容概要1设个变量，个方程的线性方程组为N1212212,NNNAKAKBXX如果该线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解0IJNDA12,NDXX其中是中第列换成常数项其余各列不变得到的行列式，,JJ12,NB即,JDNNJNJNJJNABA11122221111,NJ2设齐次线性方程组为211220,NNXXAA（1）如果系数行列式，则该齐次线性方程组只有零解；（2）如果该齐次线性方程0D组有非零解，那么它的系数行列式常用解题方法及注意事项1用克拉默法则解线性方程组；2利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方程组只有零解或有非零解注意克拉默法则只适合方程个数与未知量个数相同，且系数行列式不为零的线性方程组的求解学院班级学号姓名9克拉默法则部分习题1用克拉默法则解线性方程组（1）；1230BXAABCXC（2）1234123415862XX2当为何值时，齐次线性方程组043321X1仅有零解；2有非零解学院班级学号姓名10第一章自测题与答案第一章自测题一判断题（每题3分，共15分）1142234134100AAA2在四阶行列式中，的余子式与代数余子式互为相反数4IJD2323M23A3则（1213112233,BA1113222330ABAB）4,则（）12133A13231A5（）21464642078021RD二填空题（每题4分，共16分）1已知，则12133A2123134AA2已知，则12133A121312223AAA1213122233学院班级学号姓名113由行列式确定的多项式中的系数分别为XXF10234）（34，4123三计算下列行列式（各10分，共40分）1；2；21640D112222）（）（）（）（）（）（）（）（DDCCBBAA3；42NABDBA1212NNNAAD四（10分）设为阶行列式，,（为非零数）,IJNDAIJNBAIJNGK1讨论的关系；2讨论的关系,B,G学院班级学号姓名12五（10分）,求10223D12324AA六（7分）设齐次线性方程组为1231230,AXB用克拉默法则解讨论应取何值时，方程组1仅有零解；2有非零解,AB学院班级学号姓名13第一章自测题答案一1错；2对；3错；4错；5对二1；2；3；440,28,61三1；2；33；21NNDAB2NAB4各列加到第一列上，然后提取公因式2121221NCANNAA12NA四1；2NNIJIJBDNNIJIJGKAKD五2123401732AA六系数行列式112ADBA（1）；（2）或,0A0学院班级学号姓名14第二章矩阵及其运算矩阵的运算部分知识概要内容概要1矩阵的线性运算（1）加法两同型矩阵与的和矩阵为IJMNAAIJMNBBIJIJMNABAB（2）数乘法数与矩阵的数量乘积矩阵KIJIJMNK2矩阵乘法运算（1）矩阵称为矩阵与的乘积MSIJMSCCIKMNAAKJNSBB其中（）12IJIJIJINJCABB1,21,2JL2）为阶方阵的次幂，特别规定KKA6478L个K0E3）（为数）为方阵的多项式110MFAAIA3矩阵的转置以的行为列，列为行构成的矩阵为的转置矩阵IJMNANMTJINMAA是阶方阵，如果，称为对称矩阵；如果，称为反对称矩阵ATAA4方阵的行列式以阶方阵的元素构成的行列式称为方阵的行列式记为或NIJNADET常用解题方法及注意事项利用运算定义和运算律进行运算注意（）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义（）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变（）矩阵的乘法不满足消去律即且，不一定有；ABCOBC且，不一定有特别地，且，不一定有BACOBC,（）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A学院班级学号姓名15（）分别是矩阵，则,AB,MNSTTAB（）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别矩阵的运算部分习题1已知，且,求0320301,412AB2XAB（）X2计算（1）,求，,及21TAATA10T（2）121ABXXYYC（3），求10ANA（4）COSINI学院班级学号姓名163,求及312A120B,ABA4，,，求及123A201B325FXFAFB5已知三个线性替换为，12323YX1223ZY1232WZ求从到的线性替换12,X12,W学院班级学号姓名176如果,则称矩阵与可交换,求与可交换的矩阵具有的形式ABBA其中当时120NAAJIJIA,12,N7如果,证明当且仅当12ABE2A2BE8设都是阶对称矩阵，证明仍是对称矩阵当且仅当,ABNABAB学院班级学号姓名189设维列向量满足，,NA12T2,TTBECAA证明1）是对称矩阵；2）BC10已知是3阶方阵,且,计算1；2；3A2AA2AOE学院班级学号姓名19可逆矩阵部分知识概要内容概要1设是阶方阵,如果存在阶方阵，使得，称为可逆矩阵，称为ANNBAEAB的一个逆矩阵2可逆矩阵的逆矩阵唯一3设,称由以的第行元素在中的代数余子式IJNA1,2IN为第列元素构成的矩阵为的伴随矩阵1,2IJAAJIN4设是阶方阵，是的伴随矩阵，则NAAE5阶方阵是可逆的充分必要条件为而且016可逆矩阵具有如下运算性质（）是阶可逆矩阵，的逆矩阵也可逆，且；ANA11A（）是阶可逆矩阵，是非零数，则可逆，且；KK1K（）都是阶可逆矩阵,那么也可逆,且；,BB1B（）是阶可逆矩阵,也可逆，且；ANTA1TTA（）是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则，M,CMNC是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则BB常用解题方法及注意事项（设是阶方阵）A1利用求可逆矩阵的逆矩阵（适用于具体给定的数字矩阵求逆）12利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵的逆矩阵找到阶方阵，使得，则可逆，且NBAEA1B注意的第列元素是的第行元素在的代数余子式；A1,2IN,2INA的第行元素是的第列元素在的代数余子式1学院班级学号姓名20可逆矩阵部分习题1求下列矩阵的逆矩阵（1）；（2）；23ACOSINIA3；4123A12120NN2设,求矩阵使得11230,4ABXAB3设满足,其中,求,AB2AE12B学院班级学号姓名214设是阶方阵,且满足,利用定义证明可逆，并求AN25AEO3AE13E5设是阶方阵,且（为正整数），利用定义证明可逆，且ANKAOEA121KEA6设是3阶方阵，且,求1；（2）；（3）A2A1A12A学院班级学号姓名22分块矩阵及其运算部分知识概要内容概要用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵我们将这些小块称为矩阵的子块1加法对两个矩阵,进行同样分块，则为对应块相MNIJMNAAIJMNBBAB加得到的分块矩阵；2数乘法设是一个矩阵，是一个数，将为由数乘每个子块矩阵IJMNAKK得到的分块矩阵；3乘法设,，将分块为IKNAKJNTBB,AB，则121212PSSPA121212QPPQB其中为矩阵，为矩阵，1212QSSQCBIKAIKMNKJBJNT12IJIJIPJJIABL4转置设是一个矩阵，将分块为IJMNAA，则121212TSSTAA121212TTSTTTTSTA常用解题方法及注意事项1利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；2第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即列数必须等于IKA的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；KJB3由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换即上学院班级学号姓名23面的绝对不能写成IKJABKJIBA4分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置分块矩阵及其运算部分习题1将,进行适当分块，并计算10A1024B,TAB2,都是阶方阵，其中为矩阵，为1AO12BN1AMNO零矩阵，为矩阵，为矩阵，求,及NM1NM2BTAB学院班级学号姓名243设阶矩阵和阶矩阵都可逆，求NASB（1）；（2）1O1OA4利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵（1），求；（2），求0213A1A02513A1A学院班级学号姓名25第二章自测题与答案第二章自测题一判断题（每题3分，共15分）1是阶方阵，如果,且,则；（）AN2AEAO2是阶方阵,则；（）2BB3是阶方阵,且可逆，则；（）B6X16XE4都是阶方阵，则；（）ANA5都是阶方阵，满足,且可逆，则（）,CBCABC二填空题（每题4分，共20分）1（1，1，2）,则,12209BA；2已知，且,53162A53142B）（）（XBAX2则X3，则；2021FXF4设,则；12053A1A5是3阶方阵,是2阶方阵,且,，则；B21B23AOB2A学院班级学号姓名26三矩阵计算（10分）设，,求（1），（2）；（3）10A023BABTAB四10分已知，都是3阶方阵,且，,求及93EO12B五如果,则称矩阵与可交换,求与矩阵可交换的矩阵具有的形式（10分）ABBAA；102六求矩阵的伴随矩阵和逆矩阵（10分）A1A01学院班级学号姓名27七（8分）设其中，求16,AXA1034107X八（7分）设是阶方阵,且满足,利用定义证明可逆，并求AN2AEO2AE12E九（10分）设实矩阵,且,证明12133AATAO试将结论推广到是阶方阵的情况N学院班级学号姓名28第二章自测题答案一1错；2错；3错；4错；5对二1，；1124209208124BAA2；3；0213X210FFAF4；5；0203125A322143OAB11442A三；30512AB02351B12350TTAB四由，有，即得3EAE3111226OBB五六；1210BC1A1A2七116,AEXE32八,可逆，2372A137AE学院班级学号姓名29九,所以的任意位置元素为零，利用对角线上元素为零，即得TAOTATA第三章矩阵的初等变换与线性方程组初等变换与初等矩阵部分知识概要内容概要初等变换1对调两行（或列）；2以数乘矩阵某一行（或列）的所有元素；0K3把矩阵的某行（或列）所有元素乘一个数加到另一行（或列）对应位置的元素上矩阵的等价标准形1称具有如下特点矩阵为行阶梯形矩阵MNA（）的前行，每行元素均不全为0，后行元素都为零；ARMR第行的第一个非零元素为，且满足1KKJA12RJJ如果行阶梯形矩阵还满足（）第行的第一个非零元素，且1R1KJA所在的列的其它元素都为0，就称为行最简形矩阵,2KJARKJA2任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵3任何一个矩阵都可以通过初等变换化为型矩阵MNARRNMEO初等矩阵1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵E2设一个矩阵，左乘一个阶初等矩阵相当于对作一次相应的初等行变换，ANAA右乘一个阶初等矩阵相当于对作一次相应的初等列变换3与等价当且仅当存在可逆矩阵与可逆矩阵，使得BPQPB4阶方阵可逆当且仅当可以写成一些初等矩阵的乘积NA5阶方阵可逆当且仅当可以只用初等行变换化为单位矩阵常用解题方法及注意事项学院班级学号姓名301用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵的求法A1AEEA初等行变换2用初等行变换求矩阵方程可逆的求法XBBB初等行变换则即可求得1XAB初等变换与初等矩阵部分习题1先用初等行变换化下列矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形（1）；（2）；1325674A130214A3；（4）1A212446397A学院班级学号姓名312,10,A10P21P3120P求1；2209132091A3用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵（1）；（2）103A1043A4设，且，求0112053AB，AXB学院班级学号姓名32矩阵的秩部分知识概要内容概要1设是一个矩阵，如果中存在阶子式不为零，而所有阶子式（如果有的AMNAR1R话）全为零，我们称为矩阵的秩，记为或秩RRA2矩阵的秩具有如下性质（）当且仅当；0RAAO（）；T（），其中为非零数；KK（）阶方阵的秩的充分必要条件；NARN0A（）阶方阵可逆的充分必要条件为RN3行阶梯形矩阵的非零行的行数等于的秩4初等变换不改变矩阵的秩5矩阵，可逆，则PQRPA6设是秩为的矩阵，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得RMNPNQREOA常用解题方法与注意事项1求矩阵的秩利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵的秩AA2如果是阶方阵，时AN0RN求元素含有参数的方阵的秩时，先求出时的参数取值，此时；对A0RN于使的参数再特别讨论0注意1的一个阶子式是一个行列式；AK2的秩为，则的高于阶的子式（如果有的话）都为零；RR3矩阵的秩就是矩阵非零子式的最高阶数学院班级学号姓名33矩阵的秩部分习题1求下列矩阵的秩（1）；（2）13024586A10432A2已知，讨论为何值时（1）231A1RA23RA学院班级学号姓名343，讨论取何值时，可使12212AA2RA34设是矩阵，证明IA1,2IMN1122ARRA5设是矩阵，证明当且仅当存在维列向量矩阵和维行向量矩AMN1RAMN阵,使得（提示使用的等价标准形）TT学院班级学号姓名35线性方程组的解部分知识概要内容概要1线性方程组（是维列向量）的系数矩阵为,增广矩阵为，AXBNAAB则（）线性方程组无解的充分必要条件为；R（）线性方程组有唯一解的充分必要条件为；N（）线性方程组有无穷多解的充分必要条件为A2齐次线性方程组（是维列向量）永远有零解0AXN（）只有零解的充分必要条件为；RN（）有非零解的充分必要条件为XA3矩阵方程（是矩阵）的系数矩阵为,增广矩阵为,AXBNSAB则关于方程的解有与1中相同的结论常用解题方法与注意事项1求解线性方程组（是维列向量）的步骤XBN（）对进行初等行变换，把化为行阶梯形矩阵（是列向AA1BB1量）利用与同解有如果,则无解；如果X1B1RBAX，则有解1RBB2若，继续初等行变换，将化为行最简形矩阵1B1C3如果，解唯一，的最后一列对应的元素为方程组的解；如1RBNAXC果，解无穷多，将的每个台阶的头对应的未知量用其余未知量（其余的未知量即为自由未知量）表示出来，并令自由未知量取任意常数，即得含12,NRC有个自由参数的通解NR注意1解线性方程组时，对增广矩阵的初等行变换实际上是方程之间的初等变换，因此不能利用对增广矩阵进行初等列变换来解方程组学院班级学号姓名362时，必须是的行最简形，的最后一列对应的元素才RANCABC为方程组的解线性方程组的解部分习题1用初等行变换求解下列线性方程组（1）；（2）；042,513312X1231,45468X（3）；（4）1231,454X123412341,58,62XX学院班级学号姓名372用初等行变换求解下列齐次线性方程组（1）；（2）123412340,546,7XX23561423560,52XX3讨论取何值时，下面线性方程组（1）有惟一解；（2）没有解；（3）有无穷多个解A并在有解时求解1230,XAA学院班级学号姓名38第三章自测题与答案第三章自测题一判断题（每题3分，共15分）1方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解（）2在秩为的矩阵中，所有阶子式都不为零（）R1R3设是矩阵，是阶方阵，是阶方阵，（）AMNPQNRPAQ4是矩阵，且，则非齐次线性方程组有无穷多解（）XB5是矩阵，线性方程组满足，用初等行变换将AXBN化为行阶梯形矩阵，则的最后一列对应的元素为方程组的解（ABC）二填空题（每题4分，共20分）1的行最简形矩阵为；12306A2,则；214301A3设是阶方阵，,是的伴随矩阵，则AN312A4矩阵的乘积；2090110515分别为矩阵，,ABC,MNST2,RARB3AORRB,则与的关系为，与的关系为4ORR312,R412,R三求下列矩阵的秩（第一题5分，第二题10分，共15分）学院班级学号姓名391；232140A123KA四用初等行变换求解下列线性方程组（每题10分，共20分）1；212341241,5,XX123412340,6XX五10分讨论取何值时,下面线性方程组有解,并在有解的情况下求其通解AB1234123401,3XXA学院班级学号姓名40六（10分）设，且，求2013A16ABEB七（10分）设是秩为1的3阶方阵，证明存在不全为零的数和不全为零的数A1,23A，使得；并求1,23B21133ABAB10A学院班级学号姓名41第三章自测题答案一1对；2错；3对；4错；5错二1；2则；3（利用108313102A13N,则）；4（利用1A1121205左乘相当交换的2，3两行；右乘相当于的第3列乘01A01A加到第一列）；5，312R412R三1；（2）RA123KA且四1（为任意数）；2（为任意数）123401XK1234XK五时，方程组无穷多解（为任意1,AB121234100XK2,K学院班级学号姓名42数）；时，方程组有唯一解；时，方程组无解1A123410BAXBA,1B六，6AB121206630812AE七证明的秩为1，存在3阶可逆矩阵，,使得PQ0A，10,，它们均为非零向量，且11230AP123,0,QB，则；123,AAB11213233,AABABA9110232233,BAA121393KABAB其中123KB学院班级学号姓名43第四章向量组的线性相关性向量组及其线性关系部分知识概要内容概要1，是一组维向量，存在数使得，12,SN12,SK12SKK则称可由线性表示；设与是两组维向量，如12,SR12,SM果两个向量组能够相互线性表示，称这两个向量组等价2设为一组维向量，如果齐次线性方程组有非12,SN120SXX零解，称向量组是线性相关；如果有只有零解，12,S12S称向量组是线性无关,S4等价定义设是一组维向量，如果其中至少存在一个向量可以由12,SN其余的向量线性表示,称线性相关；如果任何一个向量都不能由其余向量线12,S性表示,称线性无关单独一个零向量称为线性相关的；单独一个非零向量称12,S为线性无关的5向量组线性相关，则扩充组线性相关；向量组12,T121,TS线性无关，则部分组也线性无关12,TST常用解题方法与注意事项1判断是否可由线性表示令,可由12,S12,SA学院班级学号姓名44线性表示当且仅当有解，当且仅当12,S12SXX；RA2令，,与等价当且仅12,R12,SB12,R12,S当R3讨论向量组线性相关设，解齐次线性方程组12,S120SXX（）（）如果（）只有零解，线性无关；120SXX12,S（）如果（）有非零解，线性相关12,S向量组及其线性关系部分习题1设，求向量，123,0,0,10TTT使得232设,问是否能由123,1,0,2,10,2,1TTTT线性表示如能表示，判断表示的方法是否唯一23,3设可由唯一的线性20,TK123,1,1,TTTKKK表示，求满足的条件学院班级学号姓名454设是一组维向量，12,SN122121,SS，证明向量组与向量组等价1SS,S,S5设1234,03,1,2,13,2,TTTTAA，讨论B（1）为何值时，不能由线性表示,A123,A（2）为何值时，能由唯一的线性表示（3）为何值时，能由线性表示，但表示方法不唯一,B123,学院班级学号姓名466判断下列向量组是线性相关还是线性无关（1）；234,1,1,1,1,TTTT（2）1234,0,1,4,1,02,1,36TTTT7是一组维向量，12,SN1212121,SS，证明如果线性无关，则也线性无关SSS,S学院班级学号姓名478设线性无关，且，123,122331,TTT讨论为何值时线性无关，为何值时线性相关T123,1向量组的秩与极大线性无关组部分知识概要内容概要1如果线性无关，则线性相关的充分必要条件是可由12,S12,S线性表示并且表示方法唯一S2向量组可由线性表示（）如果，则向量组12,R12,SRS必线性相关；（）如果向量组线性无关，则12,R12,R3向量组的一个部份组是线性无关的,并且中任意个向量如果有T12,RT1R都线性相关（或向量组中任一向量都可由线性表示），称为12,R2,R的一个极大线性无关组；向量组的极大线性无关组含向量的个数为向量组的秩R4矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩，都等于矩阵的秩AA向量组的极大线性无关组和秩具有1向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价；2向量组的两个极大线性无关组等价；等价向量组的极大线性无关组等价（等价的传递性）；3向量组可由向量组线性表示，则向量组的秩不超过的秩；等价的向量组秩相ABAB同常用解题方法与注意事项1212,SS初等行变换学院班级学号姓名48利用方程组与的同解有120SXX120SX初等行变换保持矩阵列向量组的线性关系求向量组的极大线性无关组和秩的步骤12,S1以为列向量做矩阵；并对进行初等行变换，化为行S12,SAA最简形矩阵；12,SB2确定的列向量组的秩和极大线性无关组及之间的线性关系；S12,S3利用矩阵与的列向量组具有完全相同的线性关系，确定的列向量组AA的秩、极大线性无关组及之间的线性关系12,S12,S5如果讨论矩阵的行向量组的线性关系，只需要讨论矩阵的列向量组的线性关系即T可向量组的秩与极大线性无关组部分习题1求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向量1234,3,4,15,61,72,10TTTT2求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量（1）；201A110023A学院班级学号姓名493确定，使矩阵的秩为2，然后求此时的列向量组的,AB113230654AABA一个极大线性无关组并用所的求极大线性无关组表示其余列向量4证明向量组与等价的充分必要条件是向量组12,R121,RN与秩相同12,RN学院班级学号姓名505证明（1）线性无关，如果不能由线性表示，则12,R12,R也线性无关；（2）向量组的秩为，则中任2,R12,N12,N何个线性无关向量都是该向量组的一个极大线性无关组线性方程组解的结构部分知识概要内容概要1向量使得或成立，称是或的一个解；A0AX02齐次线性方程组的解的线性组合仍是X12,T12TKK的解；0X3满足（1）是的解；（2）线性无关；12,T12,T0AX12,T（3）可以线性表示的任一个解称为的一个基,T12,T0AX础解系；基础解系所含解的个数等于,这里是系数矩阵的秩NRR4非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组称为的导出组；AX0AX5非齐次线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；6是非齐次线性方程组的一个特解,那么的任一个解都可以表成0,其中是的导出组的一个解AX0AX7设是的导出组的一个基础解系，如果是的12NR0AX一个特解，则（）的通解为（为任意数）；0AX12NRKK1,NRK（）的通解为（为任意数）0R,R学院班级学号姓名51常用解题方法与注意事项1求的通解一般步骤AX（）增广矩阵经初等行变换，可将对应的部分化为行最简形，不妨记为AB1122111000RNRRNRNCDBD如果存在，则原方程组无解；1IDRIN如果，则原方程组有解，此时，对应的方程组为0,IB，111221,RNRRRNRXCCXD令，则的通解可以表示为,XKXAX11111111200RNRRNRRRRRRNRNRCCDCCDKKKK记为，其中可取任意数10RN1,NRK2求的一个基础解系的步骤同上由于常数列为0，所以只需对系数矩阵进行初0AXA学院班级学号姓名52等行变换此时就是的一个基础解系111,001RNRRNRCC0AX的任意解可以表示为（为任意数）0AXNRXK1,NRK注意1分别是对应自由未知量取1,NR0A,TX时的线性无关解；,1TT2非齐次线性方程组的解的线性组合一般不再是的解因此，解非齐次XAX线性方程组时，不能利用自由未知量取特殊值得到一组线性无关解，再用这组线性无关解的线性组合表示的通解A线性方程组解的结构部分习题1求下列齐次线性方程组的基础解系和通解（1）；212340,XX1234506XX2解下列线性方程组，用导出组的基础解系表出线性方程组的通解学院班级学号姓名53（1）；（2）1234,1XX123,51XX3设都是非齐次线性方程组的解向量，是个数，12,TAX12,TK证明（1）是的解的充分必要条件是；12TKK121TK（2）是的导出组的解的充分必要条件是12TAX0AX10TKK学院班级学号姓名544设是矩阵，且，已知是非齐次线性方程组的解向量，A343RA123,AX且，求的通解1223,1X5设为矩阵，为矩阵，且证明AMNBNSABORABN向量空间部分知识概要内容概要1是维向量构成的非空集合，对向量的加法和数乘法封闭，称为一个向量空间VNVV2如果向量空间中存在个线性无关的向量,且中任何向量可由R12,R线性表示,称为的一组基，为的维数12,R12,R3称为由向量生成112,MMLKKKR12,M的向量空间4与是的两组基，且，12,R12,RV1212,RRP称方阵为由到的过渡矩阵P12,R12,R常用解题方法与注意事项1验证给定的维向量构成的集合是线性空间的步骤NV（）非空；（）任意的，有V,KR,VK学院班级学号姓名552求的两组基到的过渡矩阵的步骤V12,R12,R（）将每个用线性表示；（）以用线II12,R性表示的表示系数为第列元素做成的矩阵，则为到的P12,R过渡矩阵向量空间部分习题1证明构成向量空间的充分必要条件,TVXYZABYCZDAR是0D2求的基到，3R1230,1,01,0TTT1,T，的过渡矩阵2,T3学院班级学号姓名56第四章自测题与答案第四章自测题一判断题（每题3分，共15分）1向量组线性相关，则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示（12,S）2有零解，所以线性无关（120SXX12,S）3如果可以由线性表示，则可以由12,S线性表示12,SM（）4方程组有解的时,解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解（）AX0AX5等价的向量组含向量个数相同（）二填空题（每题4分，共16分）学院班级学号姓名571线性相关，则；1231,LALALL2，且，123,0,01,2,10TTT1230则；3，可由线性表示，1212,SRAB12,R12,S则与的关系为；R4是非齐次线性方程组的两个线性无关解，则也是12,AX12K的解的充分必要条件为AX三（10分）设，,7T123,5,1,TTT讨论（1）为何值时，不能由线性表示23A（2）为何值时，能由唯一的线性表示1,（3）为何值时，能由线性表示，但表示方法不唯一23四（10分）求向量组，的极大无关组和秩，并01,52,401314用极大无关组表示向量组中其余向量学院班级学号姓名58五（10分）求齐次线性方程组的基础解系和通解12341340,5XX六（10分）设矩阵的秩，是非齐次线性方程组MNARR121,NR的个线性无关的解向量，（1）证明AX1R线性无关；（2）求导出组的基础解系，及12,NRNRNRR0AX的通解学院班级学号姓名59七（10分）设向量可由向量组线性表示，证明线性无关12,S12,S的充分必要条件是由线性表示的表示方法唯一12,S八（10分）讨论取何值时，线性方程组；K1231XK（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解，并求方程组的通解学院班级学号姓名60九（9分）设的列向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明任意阶可MNB0AXN逆矩阵，的列向量组也是的基础解系P0AX第四章自测题答案一1错；2错；3对；4对；5错二1或；3；4；5211,2TRAB12K三，时，不能由线性表示；03549A初等行变换45123,，且时，能由唯一线性表示；41123,当时，能由线性表示，且表示方法不唯一23,四极大无关组为前3列；秩为3且（答案不唯一）1,412365学院班级学号姓名61五基础解系；通解（为任意数）124576,011223457601XK2,K六（1）提示设，1211,NRNRNRRNR，利用线性无关，得；20NRXX1,R0NRX（2）为的基础解系；为的通解1,RAX1NRNRKAX七提示当线性无关时，用反证法证明表示方法唯一；12,S当由线性表示的表示方法唯一时，设，利用S120SXX唯一性，证明只有零解120SXX八时方程组无解；所以时方程组有唯一解；K1,2K时,方程组有无穷多解，解为（为任意数）1K1230XC九证明（提示）令，由，及可1212,NNBCPABLLCBP逆，知与等价，所以的列向量组也是的基础解系,NBL1,NP0AX第五章相似矩阵及二次型向量内积、长度及正交性部分知识概要内容概要1称实数为与的内积1,TNAB1,TNA1,TNB2非负实数称为向量的长度,记为长度为1的向量称为单位向量3当时，称与正交,记为,04（柯西施瓦兹不等式）当且仅当线性相关时,等号才成立5俩俩正交的非零向量构成的向量组是线性无关的学院班级学号姓名626的一组基称为的一个规范正交基，如果VNR12,REV1,0IJIJE7设是阶实方阵,如果,则称为正交矩阵ANTTAEA常用解题方法与注意事项1从一组给定的基得到一组规范正交基的方法（施密特SCHIMIDT正交化）12,N（）正交化取；1212,，31323,，121,NNNNN（）单位化，令,则为的一组标准正交基,K12,NV注由于与的单位化向量相同，所以在将单位化时，为计算简便我们0可以将单位化K2判断阶实方阵正交的方法NA（）利用定义，为正交矩阵当且仅当；TAE（）为正交矩阵当且仅当的列（行）向量组是维列（行）空间的标准正交基NNR向量内积、长度及正交性部分习题1设,求的内积及夹角1,01TT,学院班级学号姓名632设（1）求使得正交；（2）求一个单位向量，使1,0,TT,两两正交,3判断下列矩阵是否是正交矩阵（1）；（2）3213A131023A4设,是的一组基,用施密特SCHIMIDT正10T21,0T31,0T3R交化方法将这组基化为标准正交基学院班级学号姓名64方阵的特征值与特征向量部分知识概要内容概要1设是一个阶方阵，如果存在一个数及维非零向量，使，则称为ANNXAX的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量XA2为的特征值当且仅当为的根0FEA3特征值与特征向量的性质学院班级学号姓名65（）的一个特征向量只属于的某一个特征值，不能属于的不同特征值；AAA（）阶方阵的属于同一特征值的特征向量的线性组合如果是非零向量，则该组合N仍是的属于特征值的特征向量特别地，如果都是的属于特征值的特征向量12,为两个数，且，则仍是的属于特征值的特征向量；12,K120KA（）设是阶方阵的属于特征值的特征向量，是关于的多项式，则NAF是的特征值，是的属于的特征向量；0FFF0F（）设是阶可逆方阵，是的特征值，则，且是的特征值；N1A（）的属于不同特征值的特征向量线性无关；A（）方阵的属于不同特征值的特征向量的和不再是的特征向量；（）是阶方阵的个特征值12,NIJNAA则（1）；（2）；1212NA（3）1NFAFF常用解题方法与注意事项求矩阵的特征值和特征向量的步骤1求的不同根，这些根就是的互不相同的特征值；0AFE12,SA2对每个特征值，解齐次线性方程组，求出基础解系1TS0TEX，则（为不全为12,TNTT12TTNTTKK12,TNTTK零的数）为属于的所有特征向量T2利用特征值计算行列式的方法先计算特征值，特征值的乘积即为行列式方阵的特征值与特征向量部分习题1设，016A1231,49问（1）是否是的特征向量如果是，它们分别属于哪个特征值123,A学院班级学号姓名662求下列矩阵的特征值和特征向量（1）；（2）；3216A1A（3）；（4）20816A1023A学院班级学号姓名673设3阶方阵有特征值，求（1）的特征值；（2）的特征值；A,23AE1A（3）的特征值12E4已知3阶方阵的特征值为，求1；（2）；3的特征A4,21A2AE1值；（4）其中为的伴随矩阵15设阶矩阵满足，证明的特征值只能是或NA230EA12相似矩阵与对角化部分知识概要内容概要1设都是阶方阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称与相似,ABNNP1BAPB2如果阶方阵与一个对角形矩阵相似，称可对角化A3相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值4阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量NN5阶方阵有个不同的特征值，则可对角化AN6是实对称矩阵，则（）的特征值都是实数；（）的属于不同特征值的特征AA学院班级学号姓名68向量彼此正交；（）存在正交矩阵，使得为对角矩阵P1A常用解题方法与注意事项求可逆矩阵，使得为对角矩阵的步骤P1A1求的不同根，这些根就是的互不相同的特征值；0AFE12,SA2对每个特征值，解齐次线性方程组，求出基础解系1TS0TEX；12,TNTT3属于不同特征值的线性无关的特征向量放在一起构成的向量组，112,N，还线性无关如果这些线性无关的特征向量个212,N12,SNS数之和，则可对角化；如果，不可对角A12SNNA化4可对角化时，存在以的特征向量为列做成的可逆矩阵，使得AP1，其中是的特征值，且的列向量（的特征向量）1N1,2INAA排列顺序与对角线上的相应特征值对应5是实对称时，将属于每个特征值的特征向量进行施密A1TS1