北师大数学七上有理数的乘方、混合运算及科学记数法(提高)

1、有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）【学习目标】1理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)即有：.在中，叫做底数， n叫做指数要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来（3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5就是51，指数1通常省略不写 要点二、乘方运算的符号法则（1）正

2、数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 0要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有

3、多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l|10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1（2016虞城县一模）下列各数：12；（1）2；13；（1）2，其中结果等于1的是（）A B C D【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断【答案】A【解析】解：12

4、=1，符合题意；（1）2=1，符合题意；13=1，符合题意；（1）2=1，不符合题意故选A【总结升华】注意与的意义的区别（n为正整数），（n为正整数）举一反三：【变式】已知，且，则的倒数的相反数是 【答案】类型二、乘方运算的符号法则2不做运算，判断下列各运算结果的符号(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得： (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负【总结升华】 “一看底

5、数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负举一反三：【变式】（2015春富阳市校级期中）计算（2）2015+（2）2014所得的结果是（）A2B2C22014D22015【答案】C解：（2）2015+（2）2014=（2）2014（2+1）=22014（1）=22014.类型三、有理数的混合运算3计算： （1）-(-3)2+(-2)3(-3)-(-5)（2）73-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214)（3）；（4）【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3(-3)-(-

6、5) -9+(-8)(-3+5) -9+(-8)2 -9+(-4)-13（2）73-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214) (772-672-1)(-214+214-24) 72(7-6)-1(-24) (49-1)(-24) -2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提类型四、科学记数法4（2015酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨将数67500用科学记数法表示为（）A0.675105B6.75104C67.5103D67

7、5102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【答案】B将67500用科学记数法表示为：6.75104 【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中1|a|10，n为比整数位数少1的数在进行运算时，a部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式类型五、探索规律 5下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；第n个数：那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大

8、的数是（ ）A第10个数 B第11个数 C第12个数 D第13个数【答案】A【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循举一反三：【变式】观察下面三行数：-3，9，-27，81，-243，729，0，12，-24，84，-240，732，-1，3，-9，27，-81，243，(1)第行数按什么规律排列?(2)第行数与第行数分别有什么关系?(

9、3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和【答案】解：(1)第行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，；(2)第行数是第行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，；第行数是第行数相应的数的，即，；(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683【巩固练习】一、选择题1下列说法中，正确的个数为( )对于任何有理数m，都有m20；对于任何有理数m，都有m2(m)2；对于任何有理数m、n(mn)，都有(mn)20；对于任何有理数m，都有m3(m)3A1 B2 C3D02.（2015春句容市校级期中）与算式22+22+22+22

10、的运算结果相等的是（）A24B82C28D2163设，则a、b、c的大小关系为（ ）Aacb Bcab Ccba Dabc4（2016朝阳区校级模拟）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A2 B4 C6 D85现规定一种新的运算“*”，a*bab，如3*2329，则等于（ ）A B8 C D6“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1 300 000 000度，这个数用科学记数法表示，正确的是( )A 1.30109B 1.3

11、109 C 0.131010D 1.310107计算的结果是（ ）A-33 B-31 C31 D33二、填空题8 对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是_9为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 10若，则 11（2016春张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的结果应为 12如果有理数m、n满足，且，则 13.（2015春濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇

12、身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空三、解答题14 计算：(1) (2)(3) (4)-9+5(-6)-(-4)2(-8)(5)15用简便方法计算： (1)； (2)16.（2015宜兴市期末）阅读并回答下列问题在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒

13、当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+22+23+24+263的值如何求它的值呢？设s=1+2+22+23+24+263；则2s=2（1+2+22+23+24+263）=2+22+23+24+263+264；两式相减得s=2641问题1：求1+5+52+53+54+52014的值问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头：指塔顶层）答：尖头有 盏灯

14、？【答案与解析】一、选择题1【答案】B 【解析】错：当m为0时，不满足；对；错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数2. 【答案】A3【答案】 B 【解析】a-342-48，b(-34)2144，c-(34)2-144故cab4【答案】C 【解析】解：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，220的末位数字是6故选C5【答案】A 【解析】6【答案】B 【解析】题目中涉及的数都是准确数，A,B选项中的数是完全一样的，没必要写成A，所以答案为：B7【答案】C 【解析】原式=二、填空题8【答案】15【解析】每组数中，左边的幂的底数与最下方的数的关系是：9【答案】【解析】将160亿=用科学记数法表示为10【答案】0【解析】绝对值与平方均具有非负性，所以，代入计算即可11【答案】7.【解析】解：依题意，所求代数式为（a22）（3）+4=（1）22（3）+4=12（3）+4=1（3）+4=3+4=7故答案为：712【答案】 【解析】由m+2n=0 得：m=-2n，所以13.【答案】230