第5章多元函数积分学及其应用

1、第5章 多元函数积分学及其应用5.1 二重积分5.1.1 二重积分的概念 1.引例 设一立体,它的底是xOy面上的有界闭区域,侧面是以的边界曲线为准线,母线平行于轴的柱面,顶是二元非连续函数所表示的曲面,称该立体为曲顶柱体.求这一曲顶柱体的体积. 考虑如何求曲顶柱体的体积V的问题,如果曲顶柱体的高度不变,即为平顶柱体时,它的体积=底面积高,但曲面柱体的顶是曲面,即当点(x,y)在上变动时,其高度是连续变化的,因此不能直接用上述方法求其体积.下面,我们采用与计算曲边梯形的面积相类似的方法来处理这个问题. 第一步:由若干条曲线将闭区域作任意的分割,分成个小的闭区域,记为，它们既表示小区域,也表示小

2、区域的面积,如图5-1所示,以每个小区域的边界线为准线作母线平行于轴的柱面,它们将大曲顶住体分割成个小曲顶柱体.图51 第二步:在每个小区域上任取一点，以作为小曲顶柱体的高,其体积近似为 第三步 这些小体积近似值的累加等于大曲顶柱体体积的近似值,即 V= 第四步:令表示个小区域直径的最大值区域的直径（是指区域内任一两点间距离的最大值),当0时,有 从上例中抛开它的实际含义抽象出解决问题的思想方法得到如下二重积分的概念. 2.二重积分的概念 定义5-1 设二元函数是定义在有界闭区域上的有界函数,将任一分割成个小区域,也表示该小闭区域的面积,在每个小闭区域上任取一点，作乘积,将这些乘积取和,令n个

3、小闭区域直径的最大值0,如果极限存在,则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分,记作，即= 其中, 称为被积函数,称为面积元素, 称为积分变量, 称为积分区域. 二重积分存在的充分条件:若在积分区域上连续,则二重积分一定存在. 这时,我们也称在积分区域上可积. 例如,曲顶柱体的体积为 . 3.二重积分的几何意义 如果，则二重积分就是以所确定的曲面为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积,若，柱体就是在面的下方，二重积分的绝对值仍表示柱体的体积. 5.1.2 二重积分的性质 二重积分也有与定积分相类似的性质,现叙述如下(假设性质中所有二重积分都存在). 性质5-1 设为常数,则. 性质5-2 若积分区域被有

4、限条曲线划分为若干区域，如被分为和,则 =+ 称这条性质为二重积分对于积分区域具有可加性. 性质5-3 若在积分区域上, ,是的面积,则 = 性质5-4(比较性质) 若在积分区域上 , ,则 推论5-1： 性质5-5(估值性质) 若在上有最大值为M,最小值为,则 (为的面积). 性质5-6 (二重积分中值定理) 若在有界闭区域上连续,则在上至少存在一点，使得 =(为D的面积) 例5 -1 比较二重积分与的大小,其中由圆围成. 解，直线是圆周在点处的切线，如图5-2所示，显然，对于任何点，都有，从而有，于是由性质5-4,得 . 例5-2 估计二重积分的值,其中 解 如图5-3所示,在上, ,所以

5、 从而 的面积=1,于是,即 . 5.2 二重积分的计算 5.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 1.积分区域的分类 在直角坐标系下,二重积分的计算取决于,具体地, 的类型分成三种,即型区域, 型区域,杂合性区域. (1) 型区域 如图5-4所示的称为型区域, 可表示为D: . 图55 例5 -3 直线及轴所围成的区域,它就是型区域,可表示为:，如图5-5所示. (2) 型区域 如图5-6所示的,称之为型区域, : . 例5-4，抛物线,直线及轴所围成的区域就是型区域,D: 如图5-6所示.图56 (3)杂合型区域 所谓杂合型,就是通过分割,将分成若干个型区域和型区域就是杂合型. 例5-5 曲

6、线,直线及轴所围成的区域就是杂合型,如图5-7 所示. , 以上就是的三种类型,而各种类型是可以相互转化的,例如,例5-3中的也可以表示为y型,即,例5-4中也可以表示为杂合型区域,而D=D1D2. 一般而言,各类型的转化,首先必须画出的形状,以此图为依据,表示成型和型或杂合型. 2.化二重积分为二次积分 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积,依此,可利用定积分来计算二重积分. 设D为x型区域,即D:,在x轴上取一点,过点,作垂直于轴的平面,截曲顶柱体得一曲边梯形,如图5-8阴影部分所示,显然,该曲边梯形的两条平行直线分别是和,曲边就是,因此,该曲边梯形的面积的函数,而. 再根据已知平行截面面积

7、求体积的定积分应用, 恰好是平行截面的截面积,因此,该曲顶柱面的体积是：，所以 = 显然,此处进行了二次定积分,故称此为二次定积分,以上的二次积分,是先后 的二次积分,即二次积分是有序的,为了书写方便,先后的二次积分也可表示为: = 例5-6 计算二重积分,其中为. 解 积分区域为型,故可以写成= 同样的道理,y型区域可化成先后的二次积分, 而杂合型区域必须分成若干个型或型区域来计算. 例5-7 计算二重积分，其中D: .解 原式 = 例5-8 将化为二次积分,其中:.解 将分成三个区域,如图5-9所示：所以,原式=+ 3.改变积分次序 改变积分次序就是将二次积分的次序交换.由积分区城的类型决

8、定积分次序,故要改变积分次序,首先就要改变积分区域的类型,一般的步骤是画图改变类型改变积分次序. 例5-9，改变积分的次序.解，如图5-10，即，也可表示为: ， 原式 = 例5-10，改变积分次序. 解：如图5-11，即，也可表示为，于是，原式=.图511 例5-11，改变积分次序. 解:画图,即.该区域不能直接改变为 型,可以先将分割成. ， 因此,原式= 5.2.2 利用极坐标计算二重积分 在计算二重积分时,有时利用极坐标替换比较方便.用为常数所画出的射线与为常数的同心圆将区域分割成若干块,出去靠近边界, =，这里是的主要部分,当分割无细密时，,于是,当在有界闭区域上连续时,有下面公式.

9、 = 一般来说，区域,则 = 例5-12 求，。 解:利用函数的奇偶性与积分域的对称性,有 = = = 例5-13 设a0,，求. 解：= = = 5.2.3 二重积分的换元法 上面得到的二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,是二重积分换元法的一种特殊情形.在那里,我们把平面上同一个点,既用直角坐标 表示,又用极坐标表示, 它们间的关系为 (5-1) 也就是说,由(5-1)式联系的点和点看成是同一个平面上的同一个点,只是采用不同的坐标罢了. 现在,我们采用另一种观点来加以解释,把(5-1)式看成是从极坐标平面到直角坐标平面的一种变换,即对于平面上的一点 ,通过变换(5-1),变成平面

10、上的一点.在两个平面各自限定的某个范围内,这种变换还是一对一的(即是一一映射).下面就采用这种观点来讨论二重积分换元法的一般情形. 定理 设在平面上的闭区域上连续,若变换,将平面上的闭区域变为平面上的,且满足 (1) 在上具有一阶连续偏导数; (2)在上雅可比式 (3)变换是一对一的,则有 = (5-2) 公式(5-2)称重积分的换元公式. 5.3 三重积分 5.3.1 三重积分的概念由与性质 1.三重积分的概念 二重积分作为和的极限的概念,可以很自然的推广到三重积分. 定义5-2 设为空间有界闭区域,函数在上有界,将任意分成个小闭区域v1,v2,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体

11、积,在每个vi上任取一点 ,作乘积,并作和.如果当各个小闭区域的直径中的最大值时,则和的极限总存在,则称极限为函数在闭区域上的三重积分,记作.即 = 在直角坐标系中,如果用,则 ,因此也把体积元素记为,三重积分记作 ，即 = 当函数f在闭区域上连续时,极限必定存在,因此 在上的三重积分存在的,以后也总假定在闭区域上式连续的. 2.三重积分的性质 三重积分有与二重积分类似的性质. 比如=+ ,其中为区域的体积. 3.三重积分的物理意义 如果表示某物体在处的体密度, 是该物体所占有的空间闭区域, 且在上连续,则和式就是该物体质量的近似值,该和式当时该物体的质量. 所以, = 5.3.2 三重积分的

12、计算 1.利用直角坐标系计算三重积分 三重积分也可以化为三次积分来计算,设空间闭区域可表示为, ,计算. 对于平面区域D1: ,内任意一点,将只看做的函数,在区间上对积分,得到一个二元函数. 然后计算在闭区域上的二重积分,这就求出了在空间闭区域上三重积分. 即 = =， 其中: ,它是闭区域在面上的投影区域. 例5-16 计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域. 解：作区域,如图5-12所示,将区域投影到上,得到投影区域为三角形区域OAB,直线OA、OB及AB的方程依次是，于是区域D可表示为.图512 在内任取一点 ,过此点作平行于轴的直线,该直线通过平面穿入内,在通过 平面钻出，

13、于是可表示为： 由公式(2)得= = = 对于二重积分,我们也可以利用极坐标来计算，设面上的点的极坐标为，则空间点也可用坐标表示，称为点M的柱面坐标. 2.利用柱面坐标计算三重积分 设区域用极坐标表示为，区域的下曲面及上曲面的方程用柱面坐标表示为 则区域可用柱面表示为于是 =上列等式常记作= 这就是把三重积分转化为柱面坐标的三次积分公式，其中为柱面坐标系中的体积元素. 例5-17 利用柱面坐标计算三重积分,其中区域为半球体， 解：把区域投影到面上,得投影区域为半径等于的圆形区域D: ,在内任取一点,过此点作平行于轴的直线,该直线通过平面穿入内,然后通过上半球面=钻出,因此区域可用柱面坐标表示为

14、.于是= 3.利用球面坐标计算三重积分 设为空间内一点,则点也可用这样三个有次序的数来确定,其中为原点与点间的距离,为有向线段与轴正向所夹的角, 为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里为点在面上的投影(图5-13).这样的三个数叫做点M的球面坐标,这里的变化范围为 图513三组坐标面分别为:= 常数,即以原点为心的球面;= 常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面;= 常数,即过z轴的半平面.设点在面上的投影为,点在轴上的投影为,则,.因此,点M的直角坐标与球面坐标的关系为 (5-3) 为了把三重积分中的变量从直角坐标变为球面坐标,用三组坐标面=常数,=常数,=常数把积分区域分成许多

15、小闭区域.考虑由各取得微小增量所成的六面体的体积(图 5-14).不计高阶无穷小,可把这个六面体看做长方体,其经线方向的长为,纬线方向的宽径方向的高 ,向径方向的高为,于是得 , , 这就是球面坐标系中的体积元素.再注意到关系式(5-3),就有直角坐标变换为球面坐标的公式. = (5-4)其中. (5-4)式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式.图514 要计算变量变换为球面坐标后的三重积分,可把它化为的三次积分. 若积分区域的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面,其球面坐标方程为 ,则 = 当积分区域为球面所围成时，则 特别地,当=1时,由上式既得球的体积 =5.4 重积分的应用

16、 5.4.1 几何应用 设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,我们要计算曲面的面积.在闭区域上任取一直径很小的闭区域,在上任取一点,对应地曲面上有一点,点M在上的投影即点P,点M处曲面S的切平面设为T,以小闭区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,这柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小平面,由于的直径很小,切平面上的那一小片平面的面积面积可以近似代替相应的那小片曲面的面积,设点处曲面上的法线(指向朝上)与轴所成的角为, 则. 因为 所以 这就是曲面S的面积元素,以它为被积表达式在闭区域上积分,得 上式也可以写成 这就是计算曲面面积的公式. 设曲面的方程为

17、或,可分别把曲面投影到平面(投影区域记为)或面(投影区域记作)类似地可得 或 例5-18 求半径为a的球的表面积. 解：取上半球面方程为,则它在面上的投影区域.由, 得=. 因为这个函数在闭区域上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取为积分区域,算出相应上的球面面积A1后,令ba， A1取得极限就得半球面的面积.= 利用极坐标,得= = 于是 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为 例5-19 设例5-18中的球面被椭圆柱面所截,求含在柱面内的那部分球面的面积,如图5-15所示.解 由例5-18及对称性, = = = 5.4.2 物理应用 1.平面薄片的重心 设 面有个质点,分别位于

18、, 处,质量分别为,由力学知道,该质点的重心坐标为,.设有一平面薄片,占有面的区域,在点处的面密度为,把区域分成n个小块,面积为,在每一小块上任取一点,当的直径很小时,这小块上各点的密度与处的密度相差很小. , 当而且i中的最大直径时,得到 , , 如果物质分布是均匀的,是一个常数,则, 其中,是区域的面积,把均匀薄片的重心称为该薄片所占平面图形的形心. 例5-20 设有一等腰直角三角形薄片,已知其上任一点处的密度与该点到直角顶点的距离的平方成正比,求薄片的重心. 解：建立坐标系如图5-16所示,设直角边长为,依题意,为比例常数,由密度函数知,物质分布与直线对称,即有,由于斜边的方程为,从而得=,根据对称性可求得,则薄片的重心为. 2.平面薄片的转动惯量 由力学知道,质量为的位于点处的质点,对于轴,轴,通过原点而垂直于平面的轴的转动惯量依次为 , , 设平面薄片占有平面上的闭区域,其面密度为,像上面处理重心那样,我们不难求出平面薄片对于坐标轴和原点的转动惯量: , 当,而且i中的最大直径时,得到 , 例5-21 设有一高边长为的等腰三角形均匀薄片,求它对底边的转动惯量. 解： 建立坐标系如图5-17所示,设密度为,薄片与它的高对称