第四章-n维向量与线性方程组ppt课件

1、2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,1,第四章,n 维向量与线性方程组,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,2,4.1 向量组及其线性组合,三维空间的向量:有向线段,建立标准直角坐标系后,它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,3,在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便,由于

2、解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,4,定义,n 个数组成的有序数组,称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为 . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示. 向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样,或

3、,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,5,由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组. 如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组,如: mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组,再如: 解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组,定义,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,6,观察如图三维空间中的向量, 必有,再观察下面方程组增广矩阵的行组,有如下关系,这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,7,对于向量组

4、 , 表达式,称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线性组合, 即,则称向量 可由向量组 A 线性表示,定义,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,8,1) 向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,上面方程组有解,另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果,按定义,转换为方程组,用矩阵的秩,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,9,2) 如果向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性表示,有解,改写为矩阵,转换为矩阵方程,用矩阵的秩,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,10,3) 如果向量组 与向量组 可以相互表示

5、,则称这两个向量组等价,向量组 A 与向量组 B 等价,1) 向量组的等价关系是不是等价关系,用矩阵的秩,关于线性表示的三种情况关键是学会转换,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,11,解,记,结论是,时,方程组无解, 不能由 A 表示,时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,12,时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示,通解为,所有表示方法,其中 k 为任意实数,即,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,13,向量组 A 与向量组 B 等价吗,解法一,又易知 , 故等价,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,14,解法二,

6、最简阶形一样(不计零行), 故等价,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,15,已知,证明(1) 能 线性表示; (2) 不能由 线性表示,证,如果 则,与条件矛盾,2) 要证,1) 要证,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,16,4.2 向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量(如图,这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示, 说明它们是异面的,这三个向量在一个平面内(共面,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,17,我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法,定义,该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式,2021/1/31,南京

7、邮电大学 邱中华,18,等价定义,则称该向量组线性相关. 否则,如果设,按后者不妨设 则,符合前面定义,反之,按前者不妨设,又符合后者定义,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,19,存在不全为零的数 使,按定义,转化为方程组,上面方程组有非零解,用矩阵的秩,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,20,设,的线性相关,的线性无关,例1,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,21,t 取何值时,下列向量组线性相关 ,解,记,当 t = 5 时, 上面向量组线性相关,例2,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,22,A, B 为非零矩阵且 AB = O, 则,A) A 的列组线性相

8、关, B 的行组线性相关 (B) A 的列组线性相关, B 的列组线性相关 (C) A 的行组线性相关, B 的行组线性相关 (D) A 的行组线性相关, B 的列组线性相关,设 说明 Ax = 0 或 AX=O 有非零解, 故r(A)n, 从而 A 的列组相关; 考虑转置 ,同样的道理, 矩阵 列组即 B 的行组相关,另, r(A)+r(B)n, r(A)0, r(B)0, 得 r(A)n 和 r(B)n, 从而 A 的列组和 B 的行组相关,例3,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,23,设 线性无关, 问 满足什么时,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 首先要把它改写成矩阵

9、乘积的形式,则,例4,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,24,设,要讨论上面方程组何时有非零解,由于 故,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,25,上面方程组有非零解,当 时, 线性相关,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,26,另证,由于 是列满秩矩阵, 故,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,27,证明向量组 线性无关,证,1)式成为,2,2)式左乘,同理推出,例5,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,28,1) “部分相关,则整体相关.反之,观察知 相关, 从而 相关,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,29,2) “个数大于维数必相关,A 的列组是

10、 4 个 3 维向量, 必相关,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,30,则 可由 A 唯一表示,这由,有唯一解,又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的,为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,31,写成矩阵乘积,从而,4) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则,后者的 A, B是矩阵,存在矩阵 C 使得 B = AC,为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,32,5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关.(Steinitz定理,表示, 又 mn,

11、则 B 必相关,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,33,6) “短的无关, 则长的也无关”.反之,是无关的,也是无关的,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,34,4.3 向量组的秩,对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示,希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示,这样的部分组要满足什么条件,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,35,假设向量组 A 的部分组 A0 是所找的. 首先 A0 要是线性无关的. 否则, 其中至少有一个向量可由其余的向量表示, 这说明 A

12、0 中向量个数不是最少的; 其次 A0 中无关向量个数还要是最多的. 否则, 如果还有无关的部分组 B0 所含向量个数比 A0 多, 那么因 B0 可由 A0 表示, B0 必相关, 这就矛盾了. 反之如果 A0 满足上面两个条件, 则 A0 必可表示 A 中所有的向量. 因为把 A 中任一向量合并到 A0 中必相关, 由唯一表示定理知这个向量可由 A0 唯一表示,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,36,1) 线性无关,2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关,定义1,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组,2)

13、 A 中任一向量都可由 A0 表示,定义2,1) 线性无关,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,37,定义,向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,38,回答,1) 向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗? (3) 向量组与其任一最大无关组等价吗? (4) 向量组的任意两个最

14、大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等吗,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,39,求向量组,的一个最大无关组和该向量组的秩,同理, 等也是最大无关组,易求得,说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行,那么 , 从而 线性无关,再看 A 的任意三列 , 因为,所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,40,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,41,求向量组,的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出,接例1, 已求得一个最大无关组为,要求 用 表出, 这相当于要解方程组,2021/1/31,南京邮电

15、大学 邱中华,42,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,43,设向量,向量用该最大无关组表出,矩阵的秩=3,线性无关吗,是最大无关组吗,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,44,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,45,再深入,说明: 矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系,前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,46,右边的最大无关组,左边的最大无关组,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,47,为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了,说明,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,4

16、8,4.4 线性方程组解的结构,本节主要讨论,2) 解集的秩是多少,3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求,1) 解集的特点,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,49,首先回答第一问题,记 Ax = 0 的解集为,1) N(A) 对线性运算封闭,证,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,50,证,记,设 , 由于 是 N(A) 的最大无关组,从而,由(1) x 是解,从而,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,51,通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答所提问题,再讨论第(2)和第(3)个问题,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,52,可知道矩阵 A 的秩 r

17、，又说明原方程组只有 r 个独立的方程且 B 的前 r 行对应的方程组是与原方程同解的“最简”方程组,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化最简阶梯形 B,最简阶梯形说明了什么,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量,自由变量的个数=,n r (未知数的个数减独立方程的个数,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,53,是解吗,线性无关吗,任一解都 可由 表示吗,是基础解系吗,基础解系所含向量的个数 = ,n r (自由变量的个数,第四步:写出基础解系,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,54,再来分析一下基础解系的由来,第二步的同

18、解方程组为,第三步的通解为,就是,类似的,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,55,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个,必然是线性无关的, 从而也是基础解系,由此得到下面的解法二,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,56,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:写出通解,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,57,齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为,则通解为,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,58,设 , 是 的,两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是,2021/1/31,

19、南京邮电大学 邱中华,59,设 ,证明,证,因此,移项,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,60,证明,设 , 首先证明,利用这一结论,注:第二个结论决不是同理可证,证,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,61,设 A 为 n 阶方阵 , 证明,1,2,3,证,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,62,求一个齐次方程组, 使它的基础解系为,记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知,然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为 , 则,解,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,63,下面讨论:非齐次方程组 解的结构,以下总假

20、设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,64,性质,2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解,由此得,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,65,设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,66,即得方程组的一个解,解,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,67,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,6

21、8,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,69,设 是非齐次 Ax = b 的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,则 Ax = b 的通解是(多选,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,70,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,71,4.5 向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,72,证明下列集合是向量空间,证,所以 构成了向量空间,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,73,证(以前的,证明齐次方程组的解集,是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间,2021/1/31,南京邮电大学 邱中华,