椭圆第一定义的相关应用

1、椭圆,椭圆的定义,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记：平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（即|MF1|+|MF2|=2a），两焦点的距离为2c,1）当2a=2c时, 点M的轨迹为线段F1F2,2）当2a2c时,点M的轨迹不存在,3）当2a2c时,点M的轨迹是为椭圆,图 形,方 程,焦 点,F(c，0)在轴上,F(0，c)在轴上,a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0,定 义,注,哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上,椭圆

2、的标准方程,例1.已知ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程,解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为,2a=10, 2c=6 a=5, c=3 b2=a2c2=5232=16,顶点A的轨迹方程为,思考：焦点建在 Y轴上的椭圆的标准方程呢,应用1,例题,AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8, |AB|+|AC|=12|BC|, 点A的轨迹是以BC为焦点的椭圆(除去与x轴的交点). 且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方

3、程是 (y0,练习：已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程,解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则BC两点的坐标分别为(-4,0)(4,0,定义法,变式1：在三角形ABC 中 ，B(-3,0)，C(3,0),且三边长 |AC|, |BC| , |AB|成等差数列，求顶点 A的轨迹方程,变式2：在三角形ABC中，B（0，-3），C（0，3）且 sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程,变式3：在三角形ABC中，BC=24，AC,AB边上的中线 长之和等于39，求三角形ABC的中心的轨迹方程,例2. 已知经过椭圆 的右焦点F2作垂直

4、于 x轴的直线AB交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点。 （1）求三角形AF1B的周长 （2）如果AB不垂直于x轴，三角形AF1B的周长 有变化吗？为什么,B,解（1）三角形AF1B的周长为 |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| 又A,B两点在椭圆上 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a（椭圆定义,例题,应用2,椭圆方程为 a2=25 a=5 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10 三角形的周长为20,2）三角形AF1B的周长不会发生变化。 三角形AF1B的周长= |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF

5、1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| A,B两点在椭圆上， |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始终成立 所以三角形的周长不会发生变化,变式：已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且a=2c，过 F1的直线l脚椭圆于AB两点，且三角形ABF2 的周长为16，那么椭圆的标准方程是,例3.已知椭圆 的左右焦点为F1，F2。 点P是椭圆上任意一点，求|PF1|.|PF2|的最大值,解：由椭圆方程可知，a=5， |PF1|.|PF2| (|PF1|+|PF2|)24=25 当且仅当|PF1|=|PF2| =5时等号成立。 所以|PF1|.|PF2| 的最大值为25,应用3,例题

6、,P,变式,应用4,例：已知点A（-2，0），B 是圆F（x-2）2+y2=64 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动 点P的 轨迹方程,例题,变式：习题2.1A组第7题,变式：已知点A（-1/2，0），B 是圆F（x-1/2）2+y2=4 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动 点P的 轨迹方程是什么,相关点法求椭圆方程,例、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么,例题,应用5,变式：已知点M在椭圆x2+4y2=36上，MP0垂直于椭圆焦点所在直线，垂足为P0，且M为线段PP0的中点，求点P的轨迹方程,变式：习题2.1B组第1题,x2+y2=36,A,B,M,x,y,o,交轨法求椭圆方程,变式：36页练习第四题,例题,应用6,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,因此, 所求椭圆的标准方程为,应用7,给定条件求椭圆方程,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,联立,因此, 所求椭圆的