高一数学竞赛辅导集合的相关问题

1、集合的相关问题一集合的确定性：任给一个元素 a，则 a A 与a A 二者必居其一。1例 1已知 S 是由实数组成的数集，且满足： （i）1 A （ii）若 a S ，则 S1 a请回答下列问题：1（1）求证：若 2 S，则 S 中至少还有其它两个元素；若 a S ，则 S1a（2）试问集合 S 是否为单元素集1 1 ，由（ii）知，当 2 S 时， 1 S ，又当 a 1解：（1）当a 2时， 11 a 1 21 1 1时， S1 a 1 ( 1) 2，所以当 2 S时， S 中至少还有其它两个元素 1，12。 1若 a S ，则 S 1 a1 1 a 1，由（ i）知， a 0，进而有 S

2、11a a11 a1 1有意义。若 S 为单元素集，只有 a（2）因 1 S ，故当 a S 时，则 ，即1 a 1 a2 aa 1 0 ，而其判别式 3 0 ，所以它无实根，故 S 不可能为单元素集。二集合的描述法：若 A x | x 具有性质 p ，则判断对象是否为集合 A 的元素的基本方法就是检验 a是否具有蛋白质 p2 2例 2设 M a | a x y , x , y Z，试证：（1） 2k 1 M k Z ；（2）4k 2 M k Z（3）若 p M ， q M ，则 pq M证明：（1）因为 k , k 1 Z 且22 12k 1 k k ， 2k 1 M 。（ 2 ） 设 4k

3、 2 M k Z ， 则 存 在 x , y Z 使2 24k 2 x y ， 即x y x y 2 2k 1 由于 x y与 x y 具有相同的奇偶性， 所以式的左边仅有两种可能： 奇数或 4 的倍数；另一方面， 式右边只可能是被 4 除余 2 的数， 从而式不成立， 所以 4k 2 M k Z（3）设2 2p x1 y ，12 2q x2 y ，其中 x1 ， x2 ， y1 ， y2 Z ，2则pq2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x1 y x y x x y y x y x y1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12x1 x y y x y x y2 1 2 1 2 2

4、 12因为 x1 x y y Z ， x1 y2 x2 y1 Z ，所以 pq M2 1 2三集合的关系：（1） A B x A x B ，（2） A B A B ，且 x B 但 x A2 ， P y | y b2 4b 5 , b N ，则 M P 例 3若 M x | x a 1, a N2证明：设任意的 x M ，则 2 1 a 2 4 a 2 5 x a ，a N ，2因为 a 2 N ，所以 x P ，故 M P 。当 b 2 时， y 2 2 2 5 1， 1 P ，2又 a N 时， 1 1a ， 1 M ，从而 M Px11,x ,12,x1n例 4如右图， n为奇数，x 表

5、示位于表中第 i 行第 j 列的数，ijx21,x ,22,xnn1 i n ，1 j n ，且满足xn1,x ,n 2,xnn（i） xij xji （ii）对于任意的 i ， 1, 2 , , n xi1 , xi 2 , , xin求证：1, 2 , ,n x , x , ,11 22xnn证明：当 i j 时，如果 1x ，根椐（ i） x ji 1，故表中必有偶数个 1；根椐（ ii）ij表中恰好每行都有一个 1，又 n为奇数，故整个表中应有奇数个 1。综上所述，1x , x , ,11 x ，同理， 2 , 3 , , n x11 , x22 , , xnn ，22 nn所以1 ,

6、 2 , , n x11 , x22 , ,xnn四集合相等： A B A B 且 B A例 5 已 知 下 列 集 合 ： 集 合 M u |u 12m 8n 4l , m , n , l Z ， 集 合N v | v 20p 16q 12r , p , q , r Z ，求证： M N证明：任取 u M ，则存在 m , n , l Z ，使u 12m 8n 4l 20n 16l 12( m n l)m n l Z ， u N ， M N ；任取 v N ，则存在 p , q , r Z ，使得v 20 p 16q 12r 12r 8 2q 4 5 p2p Z ， 5p Z ， v M ，

7、 N M综上所述， M N五集合的交与并的运算2 x 2 ax a例 7集合 A x | x 3 2 0 ， B x | x 1 0 ，2 mxC x | x 2 0 ，若 A B A ， A C C ，求 a，m的值解：依题意，得 A 1 , 2 。2 ax a因 A B A ， B A ，故 B 至多含有两个元素 1 与 2，而方程 x 1 0的两个根为 1， a 1，故（1）当 a 1 2时，即 a 3，此时 B 1 , 2 ；（2）当 a 1 1时，即 a 2，此时 B 1 。又 A C C ， C A ，当C 1, 2 时， m 3 ；2 mx2当 C 时 ， 方 程 2 0x 无

8、实 根 ， 判 别 式 m 8 0 ， 即2 2 m 2 22 mx2当 C 为 单 元 集时 ，方程 x 2 0 有 两 个相 等实 根， m 8 0 ，m 2 2此 时 ， C 2 或 C 2 ， 不 满 足 C A ， 所 以 实 数 m 的 值 为 m 3 或2 2 m 2 2六集合的子集问题一般地，集合a1 , a2 , , a 有nn2 个子集，由于每个子集的构成取决于元素 a1 ，a ，, ，2a 是否属于该集合，只要熟练地运用乘法原理立即可得出上述结论。n例 8一个集合含有 10 个互不相同的十进制两位数，证明：这个集合必有两个无公共元素的子集合，这两个集合中的数字之和相等证明

9、：由于该集合共有 210 1 1023 个非空子集合，每一个这样的子集合内各数之和不会超过 99 98 90 945 1024 个，故由抽屉原则知， 其中必有两个不同的子集A1与A ， A1 的数字之和与 A2 的数字之的相等。划去公共元素，可得两个无公共元素的非空2子集，其所含各数之和相等。例 9 设 n N ， n 15 ， A ， B 都 是 1, 2 , , n 的真 子集， A B ，A B 1 , 2 , , n ，证明： A 或 B 中必有两个不同数的和为完全平方数证明：设存在满足题设的集合 A 和 B ，不论 A 还是 B 中任意两个数的和都不是完全平方数。不妨设 1 A ，那

10、么 3 B ，否则 1 3 22 与假设矛盾，于是 3 B ，同样 6 B ，应有 6 A ，这样 10 A ，应有10 B ，由于 n 15，所以 15 A 或 15 B 。当 15 A 时，21 15 4 ，当 15 B 时，210 15 5 ，均与题设矛盾。从而 A 或 B 中必有两个不同数的和为完全平方数七、集合的划分若集合 I 的非空子集中任何两个都没有公共元素， 且它们的并集等于集合 I ，则由这些子集的全体组成的集合 P ，称为集合 I 的一个划分。例如， P 偶数 ，Q 奇数 ，则P Q ， P Q I ，集合 P ，Q 为集合 Z 的一个划分。一般地， 一个集合的划分不是唯一

11、的， 特殊的划分往往来自直接构造， 而有些过于 “苛刻”的划分实际上是不存在的。例 10试证：集合 1, 2 , , 1991, 1992 中存在一个由 1593 个元素组成的子集，其中没有一个元素是另一个元素的四倍。证明：因 1992 4 498 ，故任何一个大于 498 的整数与 4 的乘积都大于 1992，记A 499 , 500 , , 1992 ， A1 中共有 1494 个元素。1因为 498 4 124 2 ，记 A2 125 , 126 , , 498 ， A2 中有 374 个元素，每个元素的 4 倍所得的数是 A1 中的元素。因为124 4 31，记 32 , 33 , , 124A ， A3 中有 93 个元素，每个元素的 4 倍3所得的数是 A2 中的元素31 4 7 3，记 A4 8 , 9 , , 31 ，A4 中有 24 个元素， 每个元素的 4 倍是A3中的元素。7 4 1 3，记 A5 2 , 3, , 7 ， A5